E-Learning Boxplot/Lernpfad E-Learning Boxplot

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Die Situation

Die Klassen GHR11A und GHR11B haben eine Klassenarbeit im Fach Biologie geschrieben. Folgendermaßen sind die Klassenarbeiten ausgefallen:

GHR11A

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	6	5	3	1	6	3

GHR11B

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	0	6	7	11	0	0

Nun stellt sich die Lehrerin die Frage welche Klasse wohl besser ist. Was meinen Sie? Schauen Sie sich die Notenspiegel an und vergleichen Sie diese. Überlegen Sie kurz, bevor Sie sich den Lösungsvorschlag ansehen.

Um herauszufinden, welche Klasse besser ist, könnte der Klassendurchschnitt betrachtet werden. Auch, wenn wir bereits gelernt haben, dass das arithmetische Mittel nur bei metrischen Skalen sinnhaft ist, wird der Klassendurchschnitt häufig mithilfe des arithmetischen Mittels bestimmt, indem alle Noten addiert werden und die Summe anschließend durch die Anzahl der Klassenarbeiten geteilt wird. Was fällt auf, wenn Sie den Klassendurchschnitt beider Klassen miteinander vergleichen?

Wir brauchen also ein anderes Instrument, das uns einen Vergleich der beiden Klassenarbeitssätze ermmöglicht.

Der Boxplot

Ein Boxplot ist ein Diagramm, das die graphische Darstellung der wichtigsten fünf Lagemaße anschaulich ermöglicht. Als erstes lernen wir nun diese fünf Maße kennen.

Minimum: Als Minimum wird der kleinste Wert in einem der Größe nach sortierten Datensatz bezeichnet.

Maximum: Als Maximum wird der größte Wert in einem der Größe nach sortierten Datensatz bezeichnet.

Spannweite: Als Spannweite wird der Abstand bzw. die Differenz zwischen dem Minimum und dem Maximum bezeichnet.

Median: Der Median (oder Zentralwert) teilt einen Datensatz in zwei gleichgroße Hälften ein. Er ist die Zahl, die bei der Größe nach geordneten Zahlenwerten in der Mitte liegt. Hier können nun zwei Fälle unterschieden werden:

1. Ist die Anzahl der Zahlenwerte ungerade, dann wird die mittlere Zahl ausgewählt.
2. Ist die Anzahl der Zahlenwerte gerade, dann wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte genommen.

Quartile: Quartile teilen einen nach der Größe sortierten Datensatz in vier gleichgroße Viertel ein (ähnlich wie beim Median, der es in zwei Hälften unterteilt). Bei Quartilen interessieren uns vor allem das erste Quartil und das dritte Quartil. Das zweite Quartil haben wir bereits kennen gelernt, denn es ist der Median. Zur Bestimmung vom ersten und dritten Quartil werden die durch des Median entstandenen Hälften noch einmal auf die selbe Weise unterteilt, wie wir es bereits beim Median gemacht haben:

1. Ist die Anzahl der Zahlenwerte ungerade, dann wird die mittlere Zahl ausgewählt.
2. Ist die Anzahl der Zahlenwerte gerade, dann wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte genommen

Das erste Quartil wird häufig auch als unteres Quartil und das dritte Quartil als oberes Quartil bezeichnet.

Der Quartilsabstand ist der Abstand bzw. die Differenz zwischen dem ersten und dem dritten Quartil.

Mit einem Boxplot ist es nun möglich, diese Größen anschaulich darzustellen:

Puh, das war viel auf einmal und sehr theoretisch. An einem Beispiel wird das Ganze klarer.

Beispiel 1: GHR11B

Schauen wir uns doch einmal den Notenspiegel der GHR11B an.

GHR11B

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	0	6	7	11	0	0

Anstatt des Notenspiegels betrachten wir nun die Notenliste. Zudem nummerieren wir die Zahlenwerte durch.

Das Minimum und das Maximum können wir schnell ablesen

GHR11B

Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Note	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4

Minimum: 2 Maximum: 4

Somit beträgt die Spannweite 2, denn die Differenz zwischen den Maximum (=4) und dem Minimum (=2) ist 2.

Da die Noten von 24 SchülerInnen angegeben sind, haben die eine gerade Anzahl an Zahlenwerten. Um den Median zu bestimmen, nehmen also den Durchschnitt vom 12. und 13. Zahlenwert.

GHR11B

Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Note	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4

Da es sich bei beiden Zahlenwerten um die Zahl 3 handelt, lautet der Median 3.

Durch den Median erhalten wir nun zwei Häften:

GHR11B

Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Note	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4

Um das erste und das dritte Quartil zu bestimmen teilen wir diese Hälften genauso, wie bei der Bestimmung des Medians. Jede Hälfte besteht aus 12 Zahlenwerten. Somit ist das erste Quartil der Durchschnitt vom 6. und 7. Zahlenwert und das 3. Quartil der Durchschnitt vom 18. und 19. Zahlenwert.

GHR11B

Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Note	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4

Das erste Quartil liegt also bei 2,5 und das dritte Quartil bei 4. Der Quartilsabstand liegt also bei 1,5.

Nun haben wir alle notwendigen Größen bestimmt und sind in der Lage, den Boxplot zu diesem Beispiel darzustellen:

Dies ist nun ein besonderer Boxplot, da sowohl das dritte Quartil als auch das Maximum bei 4 liegen. Wie können wir den Boxplot nun deuten?

Deutung eines Boxplots

Die Quartile sind so definiert, dass zwischen dem ersten und dem viertel Quartil 50% der Zahlenwerte liegen. (...Resi fragen)

Aufgabe: GHR11A

Wir haben an einem Beispiel gesehen, wie ein Boxplot erstellt wird. Die Aufgabe lautet nun einen Boxplot für die Biologiearbeit der Klasse GHR11A zu erstellen.

GHR11A

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	6	5	3	1	6	3

Geben Sie die folgenden Größen an:

• Minimum: 1()
• Maximum: 6()
• Spannweite: 5()
• Median: 3()
• Erstes Quartil: 1,5()
• Drittes Quartil: 5()
• Quartilsabstand: 3,5()

Zeichnen Sie den Boxplot auf ein Blatt Papier. Wenn Sie das erledigt haben, können Sie Ihren Boxplot hier mit der Lösung abgleichen.

Datei:Lösung Boxplot GHR11A.png

Nun, wo wir beide Boxplots erstellt haben, möchten wir der Biologielehrerin der Klassen helfen zu beurteilen, welche der beiden Klassen besser ist.