Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/3) Strahlensätze

3) Strahlensätze

In der Umwelt lassen viele Strecken sich nicht messen, wie z.B. die Höhe von Bäumen oder die Breite eines Sees. Hier hilft die Mathematik!

Wir können mithilfe von Vergleichsstrecken jeweils die Breite bzw. Höhe bestimmen. Wie genau, das lernst du in diesem Kapitel. Wir werden verschiedene Messmethoden kennen lernen, zur "Schattenmethode" sollt ihr schon jetzt Aufgaben selbst zusammenstellen (natürliche ohne sie schon zu lösen):

Aufgabensammlung Schattenmethode

Suche bei Sonnenschein ein Gebäude, einen Baum, eine Straßenlaterne, ein Windrad,... mit zugehörigem Schattenwurf und fotografiere den Gegenstand samt Schatten. Nun wird gemessen: Miss die Länge des Schattens des Gegenstandes und miss deine Körpergröße sowie die Länge deines eigenen Schattens. Das Foto samt der 3 gemessenen Längen lade im Gruppenordner Mathematik deiner Klasse hoch. Wir werden damit später berechnen, wie hoch das Gebäude, der Baum, die Laterne, das Windrad... ist. Die Aufgabe oben (Baumhöhe) und das Bild S. 103 Nr. 10 zeigen mögliche Situationen.

Nun aber zunächst zu den nötigen mathematischen Fähigkeiten, die du zur Lösung der Aufgaben benötigst.

Einstiegsbeispiel

Konstruiere die ähnlichen Dreiecke: ① a = 3cm; c = 5cm; β = 110° und ② a = 6cm; c = 10 cm; β = 110°. a) Begründe, warum die Dreiecke ähnlich sind. b) Bestimme den Streckungsfaktor k. Notiere verschiedene Möglichkeiten. c) Bilde verschiedene Streckenverhältnisse $\tfrac{a}{b}$, $\tfrac{a'}{b'}$, $\tfrac{a'}{a}$ uws.

Was fällt dir auf?

Streckenverhältnisse

Für die Streckenverhältnisse ergeben sich immer gleiche Werte:

$\tfrac{a}{b}$=$\tfrac{3}{6,7}$ $\approx$0,45

$\tfrac{a'}{b'}$=$\tfrac{6}{13,4}$ $\approx$0,45

$\tfrac{a}{c}$=$\tfrac{3}{5}$ = 0,6

$\tfrac{a'}{c'}$=$\tfrac{6}{10}$ = 0,6

$\tfrac{b}{c}$=$\tfrac{6,7}{5}$ $\approx$ 1,3

$\tfrac{b'}{c'}$=$\tfrac{13,4}{10}$ $\approx$ 1,3

$\tfrac{a'}{a}$=$\tfrac{6}{3}= 2$ Erinnerung: Das ist der Streckungsfaktor k

$\tfrac{b'}{b}$=$\tfrac{13,4}{6,7}$ = 2

$\tfrac{c'}{c}$=$\tfrac{10}{5}$ = 2

Diese Dreiecke "schieben" wir nun übereinander.

Datei:Dreiecke Konstruktion übereinander gelegt mit Maßen.png.

Und wenn wir die Seiten jeweils mit Geraden ergänzen und die Beschriftungen anpassen, erhalten wir eine sogenannte Strahlensatzfigur. Sie besteht aus zwei Geraden, die von zwei Parallelen geschnitten werden. Es entstehen dabei unsere zwei kongruenten Dreiecke.

Der Name "Strahlensatzfigur" wird gewählt, weil die Dreiecksseiten c und b bzw. c' und b' vom Punkt S aus gesehen zwei Strahlen (mit dem Anfangspunkt S) sind. Die parallelen Geraden g und g' sind die Verlängerungen der Seiten a bzw. a'. Die Strahlensätze machen Aussagen über die Streckenverhältnisse, die du oben für die zwei ähnlichen Dreieck aufgestellt hast. Die Bezeichnungen der Strecken ist dann entsprechend der Strahlensatzfigur, also c =$\overline{SA}$ ; c' = $\overline{SA'}$ usw. Die Streckenverhältnisse des Einsteigsbeispiels gelten demnach auch hier. Dies sind die Strahlensätze.

Hefteintrag: Die Strahlensätze

Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei parallelen Geraden geschnitten, entstehen zwei zueinander ähnliche Dreiecke SAB und SA'B'. Die Seitenlängen einander entsprechender Seiten stehen im gleichen Verhältnis zueinander.

Schreibe die Strahlensätze in dein Heft und zeichne auch die Strahlensatzfiguren

Der erste Strahlensatz mach also Aussagen über die Streckenverhältnisse von Strecken auf den Strahlen, der zweite Strahlensatz über die Streckenverhältnisse von Strecken auf den parallelen Geraden und den Strahlen.

Erklärung am Einsteigsbeispiel

Die Streckenverhältnisse des ersten Strahlensatz heißen für unsere ähnlichen Dreiecke im Beispiel

$\tfrac{c'}{c}$=$\tfrac{b'}{b}$=k

Die Streckenverhältnisse des zweiten Strahlensatzes sind in unserem Beispiel entsprechend

$\tfrac{a'}{a}$=$\tfrac{c'}{c}$=k und $\tfrac{a'}{a}$=$\tfrac{b'}{b}$=k

Zum besseren Verständnis noch einmal links die Erklärung und rechts einige Beispiele in Videos:

1. Strahlensatz - erster Strahlensatz | Streckenverhältnis | Mathematik | Lehrerschmidt

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2 Erster Strahlensatz - Beispiele

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4 Zweiter Strahlensatz - Beispiele

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Übung 1

Formuliere die Strahlensätze in der folgenden App.

Längen mit den Strahlensätzen berechnen: Beispiele

Um Längen mit den Strahlensätzen zu berechnen, gehen wir schrittweise vor. Übertrage die Beispiele in dein Heft.

Übung 2

Berechne die Länge der fehlenden Strecke x. Übe die Schreibweisen in der nachfolgenden LearningApp

Übung 3

Bearbeite Buch S. 99 Nr. 1 und 2, S. 100 Nr. 3 und S. 100 Nr. 7 a, b, d. Notiere die Lösungsschritte ausführlich wie in den Beispielen.

Du kannst eine Ergebnisse mithilfe des GeoGebra-Applets prüfen. Stelle dazu die Längen mit den Schiebereglern passend ein.

Um die Strecke $\overline{SB'}$ einzustellen, nutze den Schieberegler für die Strecke $\overline{SB}$ (oder bei Nr. 3 auch Schieberegler für die Strecke $\overline{SA}$) und verändere diese Länge so lange, bis der passende Wert für die Länge von $\overline{SB'}$ erscheint.

Die Figur sieht teils anders aus, als die Abbildungen im Buch, entscheidend sind aber nur die Streckenverhältnisse.

Die Strahlensätze für die x-Figur

Bisher haben wir nur Strahlensatzfiguren betrachtet, bei denen beide ähnlichen Dreiecke auf einer Seite vom Punkt S lagen. Bewege die roten Punkte beim folgenden GeoGebra-Applet und erkläre, wie sich die Strahlensatzfigur ändert. Welche Strecken entsprechen sich nun?

Die nachfolgendne Video zeigt die Strahlensätze in dieser sogenannten x-Figur und Beispiele zu Streckenberechnungen.

Strahlensätze: (3.) Strahlensätze in der X-Figur

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Übung 4

Löse Buch S. 100 Nr. 4 und 7c. Kontrolliere deine Ergebnisse (von Nr. 4) mit GeoGebra.

Kontrolliere hier deine Ergebnisse der Verhältnisgleichungen zu Aufgabe 4. Stelle dazu mit den Schiebereglern die Länge der Strecken passend ein:

Tipp zu Nr. 7c

Die Verhältnisgleichung, die du aufstellen und lösen musst, heißt z.B. $\frac{x}{27}$=$\frac{5}{8}$

3.1) Die Strahlensätze anwenden

Die Strahlensätze helfen, schwer zugängliche oder weit entfernte Streckenlängen zu bestimmen.

Strahlensätze anwenden

Gehe schrittweise vor: 1. Was ist gegeben, was gesucht? Erstelle eine Strahlensatzfigur und trage die gegebenen Werte in die Skizze ein.

  Falls keine Strahlensatzfigur erkennbar ist, zeichne Hilfslinien ein. 

2. Stelle eine Verhältnisgleichung mithilfe der Strahlensätze auf. Tipp: Notiere die gesuchte Größe im Zähler, dann kannst du leichter rechnen. 3. Löse die Gleichung.

4. Notiere einen Antwortsatz mit Bezug zur gesuchten Größe.

Beispiel: Die Länge eines Sees soll bestimmt werden. Dazu werden drei Strecken an Land gemessen und dann mit dem Strahlensatz die Länge des Sees berechnet.

1. Die Strahlensatzfigur ist in der Skizze gegeben. Wo sind die Strahlen? Wo sind die Parallelen? 2. Verhältnisgleichung: $\frac{x}{120}$=$\frac{200}{160}$ 3. Gleichung lösen: x = $\frac{200}{160}$·120

                   x = 150

4. Antwort: Der See ist 120m lang.

Übung 1

Löse das Einstiegsproblem: Wie hoch ist der Baum auf dem Schulhof? Zeichne eine passende Strahlensatzfigur in dein Heft und bestimme die Höhe des Baums.

Welche Größen mussten gemessen werden, um die Höhe des Baumes berechnen zu können? Zeichne eine passende Strahlensatzfigur in dein Heft und bestimme die Höhe des Baums.

Hilfe: Strahlensatzfigur

Strahlensatzfigur:

Hilfe: Verhältnisgleichung

Verhältnisgleichung: $\frac{x}{1,7}$=$\frac{12,4}{2,4}$

Übung 2

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Anwendungsaufgaben Nr. 23 - 28. Zeichne jeweils die Strahlensatzfigur in dein HEft und löse schrittweise. Gib deine Lösung auf der Seite zur Kontrolle ein.

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