Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion

partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:

$\int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx$

Dabei ist $\int f'(x)*g(x)\,dx$ das ursprüngliche Integral.

$f'(x)$ ist die leicht zu integrierende Funktion.

$g(x)$ ist die leicht abzuleitende Funktion.

Beispiel

Die Beispiel-Funktion lautet: $h(x) = e^x * x$

$e^x$ lässt sich leicht integrieren. Also $f(x)=e^x$ und $f'(x)=e^x$

$x$ lässt sich leicht ableiten. Also $g(x)=x$ und $g'(x)=1$

Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden:

$\int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx$

$\int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1)$

Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von $h(x) = e^x * x$ lautet somit:

$H(x) = e^x * (x-1)$