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Spielwiese

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Kombinationen

Merke

Bei linearen Funktionen der Form $y=mx+n$ gibt $n$ den Y-Achsenabschnitt des Graphen an.

Arbeitsmethode

Bestimme die y-Achsenabschnitte folgender Funktionen:

(1) $y=2x+5$,          (2) $y=\frac{2}{3}x-1$      und     (3) $y=3$ ?

Lösungsvorschläge anzeigen

(1) $5$,          (2) $-1$      und     (3) $3$

Test für unseren Lernpfad

Das Steigungsdreieck

Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:

1. Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$.
2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$.
   $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P$
3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$.
   $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P$
4. Für die Steigung $m$ der Geraden gilt:
   $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}$

Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen

Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen

Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form $f(x) = mx + n$.

Tipp: Allgemeines Vorgehen

1. Berechne zunächst die Steigung $m$, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
2. Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt $n$, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + n$ einsetzt.

Tipp: Alternative Vorgehen

Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:

• Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
  • Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten $m$ und $n$ auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $x$ und die y-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $f(x)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ einsetzt.
  • Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten $m$ und $n$ zu bestimmen.
  • Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.
• Lösung mit Hilfe eines Graphen:
  • Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem ein.
  • Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft.
  • Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung $m$.
  • Lies den y-Achsenabschnitt $n$ am Graphen ab.
  • Setze alles in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

a) Gegeben seien die Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$.

Lösung

Funktionsgleichung: $f(x) = 2x$

Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = 2$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n$
• Als letztes setzt du $m = 2$ und $n = 0$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ergeben sind $2 = m \cdot 1 + n$ und $6 = m \cdot 3 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = 2$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = 0$.
• Als letztes setzt du $m = 2$ und $n = 0$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen

Graphischer Lösungsweg

b) Gegeben seien die Punkte $P(2/1)$ und $Q(6/-5)$.

Lösung

Funktionsgleichung: $f(x) = -1,5x + 4$

Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = -1,5$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n$
• Als letztes setzt du $m = -1,5$ und $n = 4$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(2|1)$ und $Q(6|-5)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ergeben sind $1 = m \cdot 2 + n$ und $-5 = m \cdot 6 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = -1,5$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = 4$.
• Als letztes setzt du $m = -1,5$ und $n = 4$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen

Graphischer Lösungsweg

c) Gegeben seien die Punkte $P(-7/4)$ und $Q(11/-3)$.

Lösung

Funktionsgleichung: $f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}$

Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(-7|4)$ und $Q(11/-3)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(-7|4)$ und $Q(11/-3)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = -\frac{7}{18}$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n$
• Als letztes setzt du $m = -\frac{7}{18}$ und $n = \frac{23}{18}$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(-7/4)$ und $Q(11/-3)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ergeben sind $4 = m \cdot -7 + n$ und $-3 = m \cdot 11 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = -\frac{7}{18}$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = \frac{23}{18}$.
• Als letztes setzt du $m = -\frac{7}{18}$ und $n = \frac{23}{18}$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen

Graphischer Lösungsweg

Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen

Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen

Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Im Hintergrund Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.

Tipp 1

Beginne mit Punkten, die du leichter zuordnen kannst.

Tipp 2

Überlege, wie du feststellen kannst, welchen Funktionswert die Funktionen an einer bestimmten Stelle x annehmen.

Lösung

Wir setzen beispielhaft den x-Wert des Punktes $(-1|1)$ in die Funktion $f(x) = 2x + 3$ ein und prüfen den Funktionswert. Dann ergibt sich: $f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$. Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes $(2|10)$ ein. Es ergibt sich: $f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$. Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7. Der Punkt $(2|10)$ liegt also nicht auf dem Graphen.
Für die anderen Punkte und Funktionen geht man genauso vor und erhält:
Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = 2x + 3$ liegen die Punkte: $(-1|1)$,$(0|3)$,$(2|7)$,$(1|5)$.
Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = -x + 12$ liegen die Punkte: $(2|10)$,$(12|0)$,$(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})$,$(9|3)$.
Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$ liegen die Punkte: $(-1|-1)$,$(5|-5)$.
Auf dem Graphen der Funktion $f(x) = \frac{3}{8}$ liegen die Punkte: $(4|\frac{3}{8})$,$(9|\frac{9}{24})$.