Benutzer:Buss-Haskert/Ganzrationale Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. November 2025, 20:21 Uhr

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Ganzrationale Funktionen

Vorwissen:

Nullstellenberechnung linearer und quadratischer Funktionen
Eigenschaften von Potenzfunktionen
Transformation

Übungen: S. 41

Ganzrationale Funktionen

Funktionen, die aus Addition und Subtraktion von Potenzfunktionen entstehen, heißen ganzrationale Funktionen. Der Exponent mit der größten Potenz heißt Grad der ganzrationalen Funktion.
Charakteristische Punkte einer ganzrationalen Funktion:

Nullstellen (f(x) = 0
y-Achsenabschnitt (f(0))
Extrempunkte: Hochpunkt und Tiefpunkt

...

Grenzverhalten

Zunächst schauen wir für ganzrationale Funktionen, wie sie sich für ganz kleine x-Werte ( $x \to -\infty$ , ganz weit links auf der x-Achse) und sehr große x-Werte ( $x \to \infty$ , ganz weit rechts auf der x-Achse) verhalten. Werden die Funktionswerte (Werte auf der y-Achse) dann sehr klein ( $-\infty$ ) oder sehr groß ( $\infty$ )? Das Bild zeigt dir, was die Schreibweisen bedeuten:

Grenzverhalten einer ganzrationalen Funktion

Um das Grenzverhalten für x

\longrightarrow

∞ und x

\longrightarrow

-∞ reicht es, den Term mit dem höchsten Exponenten zu betrachten.

Übungen Grenzverhalten

Tipps zu einigen Aufgaben aus dem Buch (Lambacher Schweizer, EF, Klett)

a) f(x) = -3x³+x²+x
Für das Grenzverhalten ist nur der Term -3x³ verantwortlich:
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$
Umgangssprachliche Begründung: Setze für x $-\infty$ ein: -3· $-\infty$ · $-\infty$ · $-\infty$ , also (-)·(-)·(-)·(-) $\infty$ , also $+\infty$
$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$
Umgangssprachliche Begründung: Setze für x $\infty$ ein: -3· $\infty$ · $\infty$ · $\infty$ , also (-)·(+)·(+)·(+) $\infty$ , also $-\infty$
Prüfe dies am Graphen mit GeoGebra:

b) Vorsicht: Suche zunächst den Term mit dem höchsten Exponenten! Es ist f(x) = -3x⁹

a) f(x) = (x-2)² Tipp: Klammer auflösen mit 2. binomische Formel
f(x) = x² - 2·x·2 + 2²
f(x) = x² - 4x + 4
Für das Grenzverhalten ist also nur x² (Term mit höchstem Exponenten) verantwortlich.
b) f(x) = -x(x² + 5x) Tipp: Klammern auflösen mit ausmultiplizieren
f(x) = -x³ - 5x²
Für das Grenzverhalten ist also nur -x³ verantwortlich.
c) Tipp: Klammern auflösen mit ausmultiplizieren
d) Tipp: Klammern auflösen mit ausmutplizizieren
f(x) = (x - 5)(12 - x):25
f(x) = (12x - x² - 60 + 5x):25
f(x) = (-x² + 17x - 60):25

Der Ausdruck :25 hat keinen Einfluss auf das Grenzverhalten.

a) Tipp: Klammer auflösen mit ausmultplizieren
b) f(x) = 2(x+3)² Tipp: Klammer auflösen mit 1. binomischer Formel und danach ausmultiplizieren
f(x) = 2(x² + 6x + 9)
f(x) = 2x² + 12x + 18

c) und d) Tipp: ausmutliplizieren

Symmetrie

Symmetrie ganzrationaler Funktionen

Das Symmetrieverhalten hängt ab von den Exponenten der Terme der Funktion.

Arbeite mit dem nachfolgenden Applet. Was fällt dir bei den Funktionsgleichungen auf?

Originallink:https://www.geogebra.org/m/h2qvqhmn

Applet von M. Tillmann

Symmetrie

Der Graph einer ganzrationalen Funktion verläuft

achsensymmetrisch, wenn ...
punktsymmmetrisch, wenn ...

Übungen zur Symmetrie

Tipps zu einigen Aufgaben aus dem Buch.

a) ausmultiplizieren
b) 2. binomische Formel
f(x) = (x-2)² + 1
f(x) = x² - 4x + 4 + 1
f(x) = x² - 4x + 5
c) 3. binomische Formel
f(x) = (x-1)(x-1)
f(x) = x² - 1
d), e) ausmultiplizieren
f) 2. und 1. binomische Formel
f(x) = (2-x)²(2+x)²
f(x) = (4 - 2x + x²)(4 + 2x + x²) ausmultiplizieren

...

Nullstellen

Ideen:

ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt
bei quadratischen Termen: pq-Formel bzw. Mitternachtsformel
Substitution

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty</math><br>
 Umgangssprachliche Begründung: Setze für x <math>\infty</math> ein: -3·<math>\infty</math>·<math>\infty</math>·<math>\infty</math>, also (-)·(+)·(+)·(+)<math>\infty</math>, also <math>-\infty</math><br>
-Prüfe dies am Graphen mit GeoGebra:[[Datei:Bild S. 52, Nr. 3a (Lambacher Schweizer EF).png|rahmenlos|600x600px]]
+Prüfe dies am Graphen mit GeoGebra:[[Datei:Bild S. 52, Nr. 3a (Lambacher Schweizer EF).png|rahmenlos|600x600px]]<br>
+b) Vorsicht: Suche zunächst den Term mit dem höchsten Exponenten! Es ist f(x) = -3x<sup>9</sup>
 |2=Tipp zu S. 52, Nr. 3|3=Schließen}}
 {{Lösung versteckt|1=a) f(x) = (x-2)² Tipp: Klammer auflösen mit 2. binomische Formel<br>

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