Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. September 2025, 15:47 Uhr

Grundlage: Klett Lambacher Schweizer Q1 GK/LK

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Einstiegsaufgabe S. 16

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen - Einstieg

geg: g(x) = - $\tfrac{5}{3}$ x + 5; Rechteck mit Eckpunkt C auf der Geraden, Eckpunkt A(0 0), B auf der x-Achse und D auf der y-Achse.
ges: Maximaler Flächeninhalt
Nutze das Applet, um die Seitenlängen zu bestimmen, bei denen der Flächeninhalt maximal wird.
Verschiebe den Punkt P so, dass der Flächeninhalt maximal wird.

Wie könntest du rechnerisch vorgehen?

Originallink https://www.geogebra.org/m/yhxtyx27

Applet von C. Buß-Haskert

Extremwertproblem: rechnerische Lösung

gesucht: maximaler Flächeninhalt (Rechteck)
1. Formel aufstellen: A = a·b
2. Nebenbedingung: Was haben a und b mit der gegebenen Geraden zu tun?
Der Punkt P liegt immer auf der Geraden g(x) = - $\tfrac{5}{3}$ x + 5
Länge a = x
Breite b = g(x) = - $\tfrac{5}{3}$ x + 5
3. Zielfunktion: Setze ein:
A = a·b
    = x·g(X)
    = x·(- $\tfrac{5}{3}$ x + 5)   |ausmultiplizieren
    = - $\tfrac{5}{3}$ x² + 5x
Also lautet die Zielfunktion:
f(x) = - $\tfrac{5}{3}$ x² + 5x
4. Bestimme das globale Maximum. Beachte den Definitionsbereich und die Randbetrachtung.
Erinnerung:
notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle: f'(x) = 0

hinreichende Bedingung f‘’(x₀)

\lessgtr

0

Extremwertproblem - minimale Oberfläche berechnen (Beispiel S. 15)

Bestimme die minimale Oberfläche eines Zylinders mit 1 Liter Volumen. (S. 17 oben)
Finde die Maße zunächst mithilfe des GeoGebra-Applets und dem Schieberegler für den Radius r heraus.

Berechne danach.

Originallink https://www.geogebra.org/m/cgntwxbh

Applet von C. Buß-Haskert

Extremwertproblem Beispiel S. 15: rechnerische Lösung

gesucht: minimale Oberfläche (Zylinder)
1. Formel aufstellen: O = 2G + M = 2πr² + 2πr·h
2. Nebenbedingung: Was hat das gegebene Volumen von 1 l mit r und h zu tun?
V = G·h    = πr²·h |Setze V = 1 (Liter) ein.
1 = πr²·h | Stelle nach h um, also :πr²
$\tfrac{1}{πr²}$ = h 3. Zielfunktion: Setze für h ein:
O = 2πr² + 2πr·h
    = 2πr² + 2πr· $\tfrac{1}{πr²}$ | Kürze (mit π und r).
    = 2πr² + $\tfrac{2}{r}$
Also lautet die Zielfunktion:
O = = 2πr² + $\tfrac{2}{r}$
Definitionsbereich: (Welche Werte darf ich für r einsetzen?) D = ]0;&x221E;] 4. Bestimme das globale Minimum. Beachte den Definitionsbereich und die Randbetrachtung.
Erinnerung:
notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle: O'(x) = 0
hinreichende Bedingung O‘’(x₀) $\lessgtr$ 0

Löse mit MMS.

Extremwertproblem: minimalen Umfang berechnen

Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks mit A=400 mit einem minimalen Umfang. (S. 17, Nr. 3)

Nutze zunächst das Applet unten, löse dann rechnerisch.

Origianllink https://www.geogebra.org/m/stmxskmy

Applet von C. Buß-Haskert

Lösungshinweise für die rechnerische Lösung:
1. Formel: Umfang u = 2a + 2b
2. Nebenbedingung: A = a·b |umstellen nach b
$\tfrac{A}{a}$ = b
$\tfrac{400}{a}$ = b

3. Zielfunktion: u(a) = 2a + 2b
= 2·a + 2· $\tfrac{400}{a}$

Das nachfolgende Video zeigt das Vorgehen noch einmal schrittweise an einem Beispiel:

Hinweise zu den Aufgaben im Buch

Applet zu S. 18, Nr. 4 Originallink https://www.geogebra.org/m/mwx4bgtg

Applet von C. Buß-Haskert

Tipps zu den weiteren Aufgaben:

1.Formel: A = a·b

2. Nebenbedingung: u = 50 (50 cm Draht, also steht der Umfang fest)

Formel: Materialbedarf = G + M = πr² + 2πrh
Nebenbedingung:
V = πr²h

10 = πr²h |umstellen nach h und dann einsetzen, um die Zielfunktion zu erhalten

Originallink https://www.geogebra.org/m/ptj2ja97

Originallink https://www.geogebra.org/m/bymgtymm

Applet zu Nr. 9
Originallink https://www.geogebra.org/m/n8eyw7yd

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 11
Originallink https://www.geogebra.org/m/zazebqc7

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 12
Originallink https://www.geogebra.org/m/dqv2dven

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 15
Originallink https://www.geogebra.org/m/v9qm9bkk

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 16
Originallink https://www.geogebra.org/m/f6mzrwvc

Applet von C. Buß-Haskert

Ganzrationale Funktionen bestimmen - Steckbriefaufgaben

Bisher war die Funktionsgleichung gegeben, du hast dann den Verlauf des Graphen untersucht (Verhalten gegen Unendlich, Nullstellen, Extrema, Wendestellen usw.). Nun arbeitest du umgekehrt. Du hast Informationen zum Verlauf des Graphen und sollst die Funktionsgleichung aufstellen:

Einstiegsaufgabe S. 20

Ganzrationale Funktionen bestimmen - Einstieg

gesucht: ganzrationale Funktion 3. Grades.
gegeben: * T(1|-3), Tiefpunkt

schneidet die x-Achse bei x₀ = 2
geht durch Punkt B(3|5)

Wie gehst du vor?

1. Stelle die allgemeine Funktionsgleichung auf mit den Parametern a, b, c, ... . Der höchste Exponent richtet sich nach dem Grad der Funktion.
hier: Funktion 3. Grades, also ist der höchste Exponent 3:
   f(x) = ax³ + bx² + cx + d.
2. Bestimme die 1. und 2. Ableitung (allgemein):
   f'(x) = 3ax² + 2bx + c
   f(x) = 6ax + b

Jede Eigenschaft des Graphen hat eine Bedingung für die Funktionsgleichung bzw. die Ableitungen. Aus diesen Bedingungen ergeben sich Gleichungen, mithilfe derer die Werte für die Parameter a, b, c usw. berechnet werden (mit dem MMS/Geogebra).
Wie viele Gleichungen musst du finden?
Du musst so viele Gleichungen finden, wie du Parameter hast, hier also 4 Gleichungen (a, b, c und d):

Eigenschaft: T(1|-3): Der Punkt liegt auf dem Graphen, also gilt: f(1) = -3

Gleichung: I. a·1³ + b·1² + c·1 + d = -3 bzw. 1a + 1b + 1c + d = -3

Eigenschaft: T(1|-3) ist ein Tiefpunkt, also gilt: f'(1) = 0 (notwendige Bedingung für Extrema)

Gleichung: II. 3a·1² + 2b·1 + c = 0 bzw. 3a + 2b + c = 0

Eigenschaft: schneidet die x-Achse bei x0 = 2, also hat der Graph die Nullstelle N(2|0), es gilt: f(2) = 0

Gleichung: III. a·2³ + b·2² + c·2 + d = 0 bzw. 8a + 4b + 2c + d = 0

Eigenschaft: B(3|5): Der Punkt liegt auf dem Graphen, also gilt: f(3) = 5

Gleichung: IV. a·3³ + b·3² + c·3 + d = 5 bzw. 27a + 9b + 3c + d = 5

3. Stelle mit den Gleichungen ein lineares Gleichungssystem auf löse es mit dem MMS/GeoGebra.
I. 1a + 1b + 1c + d = -3
II. 3a + 2b + c = 0
III. 8a + 4b + 2c + d = 0
IV. 27a + 9b + 3c + d = 5
Also a=-1, b=7, c=-11, d=2
4. Setze die Werte für a, b, ... in die Funktionsgleichung ein:
f(x) = -x³ + 7x²-11x+2
Dies ist die gesuchte Gleichung.

Originallink https://www.geogebra.org/m/v93mdqwe

Ganzrationale Funktionen bestimmen - Lösungsschritte

Allgemeine Funktionsgleichung f(x) aufstellen (entsprechend dem Grad der Funktion) und f'(x) und f(x) bestimmen.
Mithilfe der gegebenen Eigenschaften Gleichungen aufstellen. (Hier hilft die Tabelle unten!)
Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen (mit MMS/GeoGebra)
Funktionsgleichung angeben (Werte von a, b, ... einsetzen) und mit GeoGebra prüfen.

**Von der Eigenschaft des Graphen zur Bedingung für die Gleichung**
Eigenschaft des Graphen	Bedingung	Beispiel
Punkt P(x₀\|y₀) ist gegeben: x₀ einsetzten in f(x)	f(x₀) = y₀	P(3\|5), f(3) = 5
Extremstelle bei x₀ gegeben: Steigung ist 0, also	f'(x₀) = 0 (Notwendige Bedingung für Extrema)	x₀ = 1, dann gilt f'(1) = 0
Extrempunkt (Hochpunkt/Tiefpunkt) H/T(x₀\|y₀) ist gegeben: Du kennst dann 2 Bedingungen! (Punkt und Extremstelle)	f(x₀) = y₀ und f'(x₀) = 0	H(1\|2), f(1) = 2 und f'(1) = 0
Wendestelle x₀ist gegeben	f''(x₀) = 0 (Notwendige Bedingung für Wendestellen)	x₀ = 3, dann gilt f''(3) = 0
Wendepunkt (x₀\|y₀) ist gegeben: Du kennst dann 2 Bedingungen! (Punkt und Wendestelle)	f(x₀) = y₀ und f''(x₀) = 0	W(3\|4), f(3) = 4 und f''(3) = 0
Der Graph ist achsensymmetrisch, also hat x nur gerade Exponenten.	Beispiel: f(x) = ax⁴+bx²+c
Der Graph ist punktsymmetrisch, also hat x nur ungerade Exponenten.	Beispiel: f(x) = ax³+bx
Tangenten: Der Graph hat eine waagerechte Tangente an der Stelle x₀, also ist die Steigung an dieser Stelle 0 (Steigung, also 1. Ableitung!)	f'(x₀) = 0	Der Graph hat eine waagerechte Tangente im Punkt P(3\|4) f(3) = 4 und f'(3) = 0
Die Steigung der Tangenten an der Stelle x₀ beträgt m_t	f'(x₀) = m_t	Steigung der Tangenten an der Stelle x₀=3 beträgt 6 f'(3) = 6
Die Tangentengleichung an der Stelle x₀ lautet t(x) = -2x+5 Du kennst also den Wert der Steigung der Tangenten (m=-2) und damit die Steigung der Funktion an dieser Stelle.	f'(x₀) = m_t	Stelle x₀ = 3lautet t(x) = -2x+5 f'(3) = -2
Gleichung der Wendetangenten im Punkt (x₀\|y₀) ist gegeben: Du kennst 3 Bedingungen:	f(x₀) = y₀ (Punkt einsetzen) f'(x₀) = m_t (Steigung der Tangenten = Wert der 1. Ableitung bei x₀) f''(x₀) = 0 (Notwendige Bedingung für Wendestellen)	Gleichung der Wendetangenten im Punkt (1\|-1) ist t(x) = -2x+4 f(1) = -1 (Punkt einsetzen) f'(1) = -2 (m_t=-2) f''(1) = 0 (Notwendige Bedingung für Wendestellen)

Das nachfolgende Video zeigt das Vorgehen noch einmal schrittweise an einem Beispiel:

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 hinreichende Bedingung f‘’(x<sub>0</sub>) <math>\lessgtr</math> 0|3=Unterrichtsidee}}
-{{Box|Extremwertproblem - minimale Oberfläche berechnen|Bestimme die minimale Oberfläche eines Zylinders mit 1 Liter Volumen. (S. 17 oben)<br>
+{{Box|Extremwertproblem - minimale Oberfläche berechnen (Beispiel S. 15)|Bestimme die minimale Oberfläche eines Zylinders mit 1 Liter Volumen. (S. 17 oben)<br>
 Finde die Maße zunächst mithilfe des GeoGebra-Applets und dem Schieberegler für den Radius r heraus.<br>
 Berechne danach.|Üben}}
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 <ggb_applet id="cgntwxbh" width="1046" height="556" border="888888" />
 Applet von C. Buß-Haskert<br>
+{{Box|1=Extremwertproblem Beispiel S. 15: rechnerische Lösung|2=gesucht: minimale Oberfläche (Zylinder)<br>
+'''1. Formel aufstellen:''' O = 2G + M = 2πr² + 2πr·h<br>
+'''2. Nebenbedingung:''' Was hat das gegebene Volumen von 1 l mit r und h zu tun?<br>
+V = G·h
+&nbsp;&nbsp; = πr²·h &#124;Setze V = 1 (Liter) ein.<br>
+= πr²·h &#124; Stelle nach h um, also :πr² <br>
+<math>\tfrac{1}{πr²}</math> = h
+'''3. Zielfunktion:''' Setze für h ein:<br>
+O = 2πr² + 2πr·h<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 2πr² + 2πr·<math>\tfrac{1}{πr²}</math> &#124; Kürze (mit π und r).<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 2πr² + <math>\tfrac{2}{r}</math> <br>
+Also lautet die Zielfunktion:<br>
+O = = 2πr² + <math>\tfrac{2}{r}</math><br>
+Definitionsbereich: (Welche Werte darf ich für r einsetzen?) D = ]0;&x221E;]
+'''4. Bestimme das globale Minimum.''' Beachte den '''Definitionsbereich '''und die '''Randbetrachtung'''.<br>
+Erinnerung:<br>
+notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle: O'(x) = 0<br>
+hinreichende Bedingung O‘’(x<sub>0</sub>) <math>\lessgtr</math> 0<br>
+Löse mit MMS.|3=Unterrichtsidee}}
 {{Box|1=Extremwertproblem: minimalen Umfang berechnen|2=Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks mit A=400 mit einem minimalen Umfang. (S. 17, Nr. 3)<br>
@@ Zeile 49: / Zeile 69: @@
 Lösungshinweise für die rechnerische Lösung:<br>
 . Formel: Umfang u = 2a + 2b<br>
 . Nebenbedingung: A = a·b &#124;umstellen nach b<br>
 <math>\tfrac{A}{a}</math> = b<br>

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