Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
(37 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 32: Zeile 32:
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung vermehrter/verminderter Grundwert in der Prozentrechnung:<br>
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung vermehrter/verminderter Grundwert in der Prozentrechnung:<br>
vermehrter Grundert: G<sup>+</sup> = G · p<sup>+</sup>% (mit p<sup>+</sup>% = 1+p% = q)<br>
vermehrter Grundert: G<sup>+</sup> = G · p<sup>+</sup>% (mit p<sup>+</sup>% = 1+p% = q)<br>
verminderter Grundwert: G<sup>-</sup> = G · p<sup>-</sup>% (mit p<sup>+</sup>% = 1-p% = q)<br>|2=Zusammenhang Prozentrechnung|3=Verbergen}}
verminderter Grundwert: G<sup>-</sup> = G · p<sup>-</sup>% (mit p<sup>-</sup>% = 1-p% = q)<br>|2=Zusammenhang Prozentrechnung|3=Verbergen}}


<ggb_applet id="jtgzqdtf" width="1138" height="787" border="888888" />
<ggb_applet id="jtgzqdtf" width="1138" height="787" border="888888" />
Zeile 42: Zeile 42:


==3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen==
==3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen==
===3.1.1 W<sub>n</sub> gesucht===
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (W<sub>n</sub> gesucht)|Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%. <br>
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (W<sub>n</sub> gesucht)|Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%. <br>
Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?|Üben}}
Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?|Üben}}
Zeile 53: Zeile 54:
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):<br>
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):<br>
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
{{#ev:youtube|5daf0ozfr3o|800|center|||start=0&end=115}}
<br>
<br>
{{Box|Übung 1: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.  
{{Box|Übung 1: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.  
Zeile 68: Zeile 71:
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Formel auch nach n umstellen. Die Lösung erfolgt durch Logarithmieren. Eine Erklärung hierzu, findest du unten auf der Seite.|2=Hinweis zur Berechnung von n (Logarithmieren)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Formel auch nach n umstellen. Die Lösung erfolgt durch Logarithmieren. Eine Erklärung hierzu, findest du unten auf der Seite.|2=Hinweis zur Berechnung von n (Logarithmieren)|3=Verbergen}}


===3.1.2 W<sub>0</sub> gesucht===
{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W<sub>0</sub> gesucht)|[[Datei:Iceberg-g3d68c08ff 1920.jpg|rechts|rahmenlos|100x100px]]Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%.<br>
{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W<sub>0</sub> gesucht)|[[Datei:Iceberg-g3d68c08ff 1920.jpg|rechts|rahmenlos|100x100px]]Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%.<br>
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?|Üben}}
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?|Üben}}
Zeile 79: Zeile 83:
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 7,86<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈ 7,86<br>
Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{#ev:youtube|5u28338-gfc|800|center|||start=23&end=111}}
{{Box|Übung 2: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.  
{{Box|Übung 2: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.  
* 22
* 22
Zeile 85: Zeile 92:
* 25|Üben}}
* 25|Üben}}


===3.1.3 q bzw. p% gesucht===
{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.<br>
{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.<br>
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen? |Üben}}
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen? |Üben}}
Zeile 100: Zeile 108:
[[Datei:Taschenrechner Bild n-te Wurzel.png|rahmenlos]]|Tipp: n-te Wurzel in den Taschenrechner eingeben|Verbergen}}
[[Datei:Taschenrechner Bild n-te Wurzel.png|rahmenlos]]|Tipp: n-te Wurzel in den Taschenrechner eingeben|Verbergen}}
<br>
<br>
{{#ev:youtube|0Wf4oYr0ZnY|800|center|||start=23&end=122}}


{{Box|Übung 3: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.  
{{Box|Übung 3: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.  
Zeile 108: Zeile 117:
* 30|Üben}}
* 30|Üben}}
<br>
<br>
{{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65° zu trinken. <br>
===3.1.4 n gesucht===
{{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65°C zu trinken. <br>
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}}
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W<sub>0</sub> = 100°; W<sub>n</sub> = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95 <br>
{{Lösung versteckt|1=geg: W<sub>0</sub> = 100°C; W<sub>n</sub> = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95 <br>
ges: n<br>
ges: n<br>
<br>
<br>
W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup> &nbsp;&nbsp;&#124; Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle)<br>
W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup>
Für n = 1 gilt:<br>
65 = 100 · 0,95<sup>n</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;:100<br>
W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>1</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;  
0,65 = 0,95<sup>n</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;Setze für n verschiedene Werte ein<br><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 100 · 0,95<sup>1</sup> <br>
Für n = 1 gilt: 0,95<sup>1</sup> = 0,95 > 0,65 <br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 95 (°C)<br>
...<br>
...<br>
Für n = 8 gilt:
Für n = 8 gilt: 0,95<sup>8</sup> ≈ 0,66 '''>''' 0,65 <br>
W<sub>8</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>8</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 100 · 0,95<sup>8</sup> <br>
Für n = 9 gilt: 0,95<sup>9</sup> ≈ 0,63 '''<''' 0,65 <br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; ≈ 66,3 (°C)<br>
 
Für n = 9 gilt:
Also ist der Tee nach ca. 9 Minuten auf unter 65°C abgekühlt.<br>
W<sub>9</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>9</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;
<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 100 · 0,95<sup>9</sup> <br>
Alternativ kannst du das Probieren auch in einer Wertetabelle notieren:<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; ≈ 63,0 (°C)<br>
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} n (Zeit in Minuten)
{{!}} 1
{{!}}...
{{!}}8
{{!}}9
{{!}}...
{{!-}}
{{!}} W<sub>n</sub> (Temperatur in °C)
W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub>·q<sup>n</sup>
{{!}} 95
{{!}}...
{{!}} 66
{{!}} 63
{{!}}...
{{!)}}
<br>
|2=Lösen durch Probieren|3=Verbergen}}


Nach ca. 9 Minuten ist der Tee auf unter 65°C abgekühlt.
|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Lösung auch durch Logarithmieren lösen:<br>
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Lösung auch durch Logarithmieren lösen:<br>
W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup> <br>
W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup> <br>
65 = 100 · 0,95<sup>n</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;:100<br>
65 = 100 · 0,95<sup>n</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;:100<br>
0,65 = 0,95<sup>n</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;log<br>
0,65 = 0,95<sup>n</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;log<br>
<math>\tfrac{\log0,65}{\log0,95}</math> = n <br>
log<sub>0,95</sub>0,65 = n<br>
8,4 ≈ n<br>
8,4 ≈ n<br>
Also ist der Tee nach ca. 9 Minuten auf unter 65°C abgekühlt|2=Lösen mit Logarithmieren|3=Verbergen}}
Also ist der Tee nach ca. 9 Minuten auf unter 65°C abgekühlt.|2=Lösen mit Logarithmieren|3=Verbergen}}


{{Box|Übung 4: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.  
{{Box|Übung 4: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.  
Zeile 204: Zeile 229:
{{Box|Übung 7: ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der [https://anton.app/de/ ANTON-App].|Üben}}
{{Box|Übung 7: ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der [https://anton.app/de/ ANTON-App].|Üben}}
<br>
<br>
===3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung===
==3.2 Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung==
{{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden  in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br>
{{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden  in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br>
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br>
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br>
Zeile 283: Zeile 308:
Bestimme n durch Probieren.<br>
Bestimme n durch Probieren.<br>
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}}
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=e) geg: K<sub>0</sub> = 2500€; K<sub>n</sub> = 3359,79€; p% = 3% = 0,03<br>
ges: q; n<br>
q = 1 + p% = 1 + 0,03 = 1,03<br>
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ·q<sup>n</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;Werte einsetzen<br>
3359,79 = 2500 ·1,03<sup>n</sup> &nbsp;&nbsp;&#124;:2500<br>
&nbsp;&nbsp;1,34 ≈ 1,03<sup>n</sup><br>
Setze verschiedene Werte für n ein und vergleiche den Wert im Taschenrechner mit 1,34:<br>
n = 9: 1,03<sup>9</sup> ≈ 1,304 < 1,34<br>
n = 10: 1,03<sup>10</sup> ≈ 1,34 = 1,34<br>
Also n = 10 (Jahre).|2=Lösung zu Nr. 3e (Probieren)|3=Verbergen}}
{{#ev:youtube|dV4Z13x9pJo|800|center}}
{{#ev:youtube|KNHx5kpGbjY|800|center}}
{{#ev:youtube|qyVqgnueWvg|800|center}}


{{Box|Übung 12 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
{{Box|Übung 12 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
Zeile 289: Zeile 328:
* S. 79 Nr. 1
* S. 79 Nr. 1
* S. 83 Nr. 10
* S. 83 Nr. 10
* S. 87 Nr. 6
* S. 87 Nr. 6 (links)
* S. 87 Nr. 7
* S. 87 Nr. 7 (links)
|Üben}}
|Üben}}


{{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K<sub>0</sub> = 1000€<br>
{{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K<sub>0</sub> = 1000€<br>
geg: K<sub>0</sub> = 1000€; K<sub>n</sub> = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018<br>
geg: K<sub>0</sub> = 1000€; K<sub>n</sub> = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,018, q = 1 + 0,018 = 1,018<br>
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder K<sub>n</sub> mehr als 2000€ beträgt.|2=Tipp zu Nr. 5a|3=Verbergen}}
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder K<sub>n</sub> mehr als 2000€ beträgt.|2=Tipp zu Nr. 5a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Stelle die passende Gleichung auf und gib diese bei GeoGebra ein. Löse damit Aufgabenteil c) und d),<br>
{{Lösung versteckt|1=Stelle die passende Gleichung auf und gib diese bei GeoGebra ein. Löse damit Aufgabenteil c) und d),<br>
(K<sub>n</sub>=7200∙1,018<sup>n</sup><br>
K<sub>n</sub>=7200∙1,018<sup>n</sup><br>
Funktionsgleichung: f(x) = 7200∙1,018<sup>n</sup><br><sup>x</sup>|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}
Funktionsgleichung: f(x) = 7200∙1,018<sup>x</sup><br>|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche die beiden Angebote:<br>
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche die beiden Angebote:<br>
Angebot A: <br>
Angebot A: <br>
Zeile 324: Zeile 363:
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%; <br>
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%; <br>
q=1,015;  q = 1,01; q =1,03<br>
q=1,015;  q = 1,01; q =1,03<br>
K<sub>n</sub>=8079,63€; K<sub>n</sub> = 11685,39€; K<sub>n</sub> = 11098,45€<br>
K<sub>n</sub>=8079,63€; K<sub>n</sub> = 11685,39€; K<sub>n</sub> = 11098,45€; K<sub>n</sub> = 12208,29€<br>
n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre|2=Vergleiche deine Lösungen zu den Übungen 12 und 13|3=Verbergen}}
n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre|2=Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben (Übung 12)|3=Verbergen}}




===3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)===
==3.3 Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)==
 
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf  [https://www.leifiphysik.de/kern-teilchenphysik/radioaktivitaet-einfuehrung/versuche/bierschaumzerfall leifiphysik])
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf  [https://www.leifiphysik.de/kern-teilchenphysik/radioaktivitaet-einfuehrung/versuche/bierschaumzerfall leifiphysik])
{{Box|1=Halbwertszeit|2=Die Halbwertszeit T<sub><math>\tfrac{1}{2}</math></sub> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat.<br>
 
Der Wachstumsfaktor ist also q=100% - 50% = 1 - 0,5 = 0,5 und <br>
{{Box|1=Halbwertszeit|2=Die Halbwertszeit T<sub><math>\tfrac{1}{2}</math></sub> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials '''halbiert''' hat.<br>
die Anzahl n der Zerfallsprozesse wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Der '''Wachstumsfaktor''' ist also '''q = '''100% - 50% = 1 - 0,5 = '''0,5''' und <br>
die Anzahl '''n der Zerfallsprozesse''' wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:
Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:


Zeile 341: Zeile 382:
<small>Applet von Hegius, Mathezone</small>
<small>Applet von Hegius, Mathezone</small>


{{Box|1=Generationszeit/ Verdopplungszeit|2= Die Generationszeit T<sub>2</sub> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge / Population verdoppelt hat.<br>
{{Box|1=Generationszeit/ Verdopplungszeit|2= Die Generationszeit T<sub>2</sub> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge / Population '''verdoppelt''' hat.<br>
Der Wachstumsfaktor ist also q = 100%+100% = 1 + 1 = 2 und <br>
Der '''Wachstumsfaktor''' ist also '''q ='''100%+100% = 1 + 1 = '''2 '''und <br>
die Anzahl n der Generationszeiten wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Generationszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
die Anzahl n der Generationszeiten wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Generationszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:
Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:
Zeile 353: Zeile 394:




{{Box|Übung 13 - Generationszeit und Halbwertszeit|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
{{Box|Übung 13 - Halbwertszeit und Generationszeit(Verdopplungszeit)|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
* S. 75 Nr. 10
* S. 75 Nr. 10
* S. 79 Nr. 4
* S. 79 Nr. 4
Zeile 454: Zeile 495:
Für die Berechnung des Exponenten in den Aufgaben zum exponentiellen Wachstum nutzt du die folgende Tastenfolge:<br>
Für die Berechnung des Exponenten in den Aufgaben zum exponentiellen Wachstum nutzt du die folgende Tastenfolge:<br>
5<sup>x</sup> = 25<br>
5<sup>x</sup> = 25<br>
x = log<sub>5</sub>25 <br>
x = 2 (Zeigt dein Taschenrechner dann als Ergebnis an.)
|3=Kurzinfo}}<br>
{{Lösung versteckt|1=Falls du einen Taschenrechner nutzt, der diese Möglichkeit nicht hat, tippe wie folgt:<br>
x = <math>\tfrac{log25}{log5}</math><br>
x = <math>\tfrac{log25}{log5}</math><br>
x = 2 |3=Kurzinfo}}<br>
x = 2|2=andere Möglichkeit: Taschenrechnereingabe|3=Verbergen}}
{{#ev:youtube|f1tFVT0_Iz8|800|center}}
{{#ev:youtube|f1tFVT0_Iz8|800|center}}


{{Box|1=Übung zum Logarithmieren|2=Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners:<br>
{{Box|1=Übung zum Logarithmieren|2=Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners:<br>
3<sup>x</sup> = 50 also ist <br>
3<sup>x</sup> = 50 also ist <br>
x = <math>\tfrac{log50}{log3}</math><br>
x = log<sub>3</sub>50<br>
x ≈ 3,56|3=Üben}}
x ≈ 3,56|3=Üben}}


<br>
<br>
{{Fortsetzung|weiter=4 Die Exponentialfunktion|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion}}
{{Fortsetzung|weiter=4 Die Exponentialfunktion|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion}}

Aktuelle Version vom 12. Januar 2025, 16:54 Uhr

Schullogo HLR.jpg



3 Exponentielles Wachstum

Einstieg: Weltbevölkerung
Person-2829500 1920.png
Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%.
Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125

Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde?

Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph)


Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung

Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt.
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit
Wn = W0 · qn,
wobei q der Wachstumsfaktor ist.

Zunahme: q = 1 + p%, also q > 1
Abnahme: q = 1 - p%, also q < 1
 


Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.

Applet von C. Buß-Haskert Originallink https://www.geogebra.org/m/jtgzqdtf





3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen

3.1.1 Wn gesucht

Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (Wn gesucht)

Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%.

Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?


Übung 1: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.

  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
  • 21


Exponentialgleichung - Formel umstellen
Umstellen der Exponentialgleichung.png

3.1.2 W0 gesucht

Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W0 gesucht)
Iceberg-g3d68c08ff 1920.jpg
Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%.
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?


Übung 2: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.

  • 22
  • 23
  • 24
  • 25

3.1.3 q bzw. p% gesucht

Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)
House-g7ece683db 1280.png
Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen?



Übung 3: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.

  • 26
  • 27
  • 28
  • 29
  • 30


3.1.4 n gesucht

Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)
Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png
Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65°C zu trinken.
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug?


Übung 4: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.

  • 37
  • 38
  • 39
  • 40
  • 41


Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.

  • S. 73 Nr. 1
  • S. 73 Nr. 2
  • S. 73 Nr. 4
  • S. 75 Nr. 9
  • S. 75 Nr. 11
  • S. 80 Nr. 7


Übung 6: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die vermischten Aufgaben.

  • 31
  • 32
  • 33
  • 34
  • 35
  • 36


Übung 7: ANTON-APP
Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der ANTON-App.


3.2 Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung

Zinseszins

Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel

Kn = K0 ∙ qn       mit q = 1 + p%

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.


Übung 8 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen)
  • 2 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)
  • 3 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)



Übung 9
Business-g97f006239 1280.png
a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren.
b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.


Umstellen der Zinseszinformel
Formel umstellen nach K0
("Wie hoch war das Startkapital...?):

Kn = K0 ∙ qn  |:qn
= K0


Formel umstellen nach q
("Mit welchem Prozentsatz ...?):

Kn = K0 ∙ qn  |:K0
= qn  |
= q
Bestimme dann p% mit q = 1+p%,
also q-1 = p%.


 

Formel umstellen nach n
("Nach wie vielen Jahren...?"):

Löse hier also durch systematisches Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird. (Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Du darfst auch durch Logarithmieren lösen.)




Hefteintrag: Beispiele
Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.


Übung 10 (online)

Wähle aus den folgenden Aufgaben mindestens zwei Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9


Übung 11 - Zinseszinsrechnung

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.

  • S. 73 Nr. 3


Übung 12 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.

  • S. 73 Nr. 5a (**)
  • S. 75 Nr. 8 (Nutze GeoGeogebra)
  • S. 79 Nr. 1
  • S. 83 Nr. 10
  • S. 87 Nr. 6 (links)
  • S. 87 Nr. 7 (links)


3.3 Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)

Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf leifiphysik)


Halbwertszeit

Die Halbwertszeit T gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat.
Der Wachstumsfaktor ist also q = 100% - 50% = 1 - 0,5 = 0,5 und

die Anzahl n der Zerfallsprozesse wird berechnet mit n = .

Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:

  • Halbwertszeit (Atome)

Direkter Link: https://www.geogebra.org/m/cq62nsqj

Applet von Hegius, Mathezone


Generationszeit/ Verdopplungszeit

Die Generationszeit T2 gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge / Population verdoppelt hat.
Der Wachstumsfaktor ist also q =100%+100% = 1 + 1 = 2 und

die Anzahl n der Generationszeiten wird berechnet mit n = .

Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:

  • Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)

Direkter Link: passt das Applet??

Applet von Hegius, R. Schürz


Übung 13 - Halbwertszeit und Generationszeit(Verdopplungszeit)

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.

  • S. 75 Nr. 10
  • S. 79 Nr. 4
  • S. 79 Nr. 5
  • S. 80 Nr. 8
  • S. 80 Nr. 9
  • S. 80 Nr. 10
  • S. 83 Nr. 12 (**)
  • S. 85 Nr. 23 (***)
  • S. 85 Nr. 26 (**)


Einschub: Logarithmieren

Ist beim exponentiellen Wachstum der Exponent n gesucht, kannst du diesen Wert durch systematisches Probieren erhalten. Eine genauere Möglichkeit ist das Logarithmieren.

Definition Logarithmus

Als Logarithmus wird der Exponent n bezeichnet, mit dem man die Basis b potenziert, um die Zahl a zu erhalten (a und b positiv):
bn=a, dann gilt logba = n
Beispiele:

  • log28 = 3; denn 23 = 8
  • log10100000 = 5; denn 105 = 100000

Für die Berechnung des Exponenten in den Aufgaben zum exponentiellen Wachstum nutzt du die folgende Tastenfolge:
5x = 25
x = log525

x = 2 (Zeigt dein Taschenrechner dann als Ergebnis an.)



Übung zum Logarithmieren

Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners:
3x = 50 also ist
x = log350

x ≈ 3,56