Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum

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Vorwissen
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum
4) Die Exponentialfunktion

Wachstum und Abnahme

Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.

Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?

Mögliche Antworten:

• Bevölkerungswachstum
• Bakterienwachstum
• Haarwachstum
• Druckzunahme je nach Meerestiefe
• Temperaturanstieg
• Sprunghöhe Flummi
• Zerfall von Bierschaum
• Kerzenhöhe je nach Dauer
• Lichtintensität
• Wertverlust bei Neuwagen

Wachstum und Abnahme

Wir sprechen von positivem Wachstum, wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert größer ist als der alte Wert.
Wir sprechen von negativem Wachstum oder auch Abnahme, wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert kleiner ist als der alte.
Die Zu- bzw. Abnahme kann absolut oder prozentual angegeben werden.

absoluter Wert: d = neue Größe - alte Größe = W₁ - W₀
prozentual: p% = $\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}$

Die prozentuale Zu- bzw. Abnahme eines Wertes innerhalb einer Zeitspanne heißt Wachstumsrate p%.

Übung 1: Wachstum

Löse aus dem Buch

• S. 69 Nr. 2

1 Lineares und exponentielles Wachstum

Sparmodell (vgl. Zinseszins) Erinnerung: Sparmodelle

1) Einstieg: Sparschwein

Sparschwein

Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.

Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich anlegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.

1. Möglichkeit:
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre	Guthaben(€)
0	1000
1	1050
2	1100
3	1150
...	...
18	...

2. Möglichkeit:
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre	Guthaben(€)
0	1000
1	1050
2	1102,50
3	1157,625
...	...
18	...

Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02

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Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?

Kapital nach 18 Jahren:

K₁₈ = ...

Das Startkapital beträgt K₀ = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den festen Wert d = 50€ zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.
K₁₈ = K₀ + n · d
    = 1000 + 18 · 50
    = 1000 + 900
    = 1900 (€)

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein lineares Wachstum.

Kapital nach 18 Jahren:

K₁₈ = ...

Das Startkapital beträgt K₀ = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den gleichen Faktor q=100%+5% = 105% = 1,05 zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.
K₁₈ = K₀ · qⁿ
    = 1000 · 1,05¹⁸
    ≈ 2406,62 (€)

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.

Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins

Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.
Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals.
blau: einfache Verzinsung
rot: Zinseszins

Was fällt dir auf?

nach Pöchtrager

Lineares und exponentielles Wachstum

Lineares Wachstum:

W_n = W₀ + d·n

mit dem Anfangswert W₀ und der gleichmäßigen Zunahme bzw. Abnahme d.


Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:
y = a + mx
a ist der Anfangswert, m ist die gleichmäßige Zu-bzw. Abnahme.

Exponentielles Wachstum:

W_n = W₀ · qⁿ

mit dem Anfangswert W₀ und dem Wachstumsfaktor
q = 1 ± p%.

Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:
y = a · q^x

a ist der Anfangswert, q ist der Wachstumsfaktor.

Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):

Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.

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Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum

Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs und die nachfolgenden LearningApps.

• Aufgabenfuchs: Aufgabe 1, 2 und 3

Übung 2: Lineares oder exponentielles Wachstum (Wertetabelle)

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

• S. 74, Nr. 7
• S. 82, Nr. 5 (a-d)

Wie verändern sich die Funktionswerte, wenn der x-Wert jeweils um 1 Einheit zunimmt.
Lineares Wachstum: f(x) = mx + b
Exponentielles Wachstum: f(x) = a^x (+c)

quadratisches Wachstum: f(x) = ax² (+bx+c)

Bei a) ändern sich die Funktionswerte immer um +3 , also ist das Wachstum linear. f(x) = 3x+1
Bei b) sind die Funktionswerte die 10er Potenzen, also f(x) = 10^x, es liegt also exponentielles Wachstum vor.
Bei c) ändern sich die Funktionswerte immer um -1, also ist das Wachstum linear. f(x) = -x+2
Bei d) sind die Funktionswerte Potenzen von 2,5, also f(x) = 2,5^x, es liegt also exponentielles Wachstum vor.
Bei e) ändern sich die Funktionswerte weder linear, noch quadratisch oder exponentiell.

Bei f) fallen die Funktionswerte zunächst, dann steigen sie wieder. Hier liegt quadratisches Wachstum vor. f(x) = 3x²

2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz Wachstumsrate p%.
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr um 5% . Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.
Das Kapital wächst also auf das 1,05-Fache.
Dies ist der Wachstumsfaktor q = 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:
q = 100% + p%
Den neuen Wert W₁ berechnest du also mit der Gleichung:

W₁ = W₀ · q

Übung 3

Löse die nachfolgenden LearningApps.

Beispiele
1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.
Geg: W₀ = 550; Wachstumsrate p% = 8%
Ges: W₁ ; q
Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.
Wachstumsfaktor q             q = 1 + p%    
           Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:
W₁ = W₀ ∙ q              
W₁= 550 ∙ 1,08
   = 594 (Schüler)
Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.

2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2017 bis 2018 von 540 auf 567. Bestimme die Wachstumsrate.
Geg: W₀ = 540; W₁ = 567
Ges: p% Wachstumsrate
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:
Wachstumsrate:     p% = $\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}$  = $\tfrac{567 - 540}{540}$ = 0,05 = 5%
Wachstumsfaktor: q = $\tfrac{W_1}{W_0}$  = $\tfrac{567}{540}$ = 1,05        (Formel W₁ = W₀ ∙ q nach q umgestellt)
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05           ( Probe: 540 ∙ 1,05 = 567)

Übung 4

Löse die nachfolgenden LearningApps.

Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

• S. 71 Nr. 1 a,b,c
• S. 71 Nr. 2
• S. 82 Nr. 1
• S. 82 Nr. 2

Unterscheide die Begriffe:
Wachstumsrate: p%
Wachstumsfaktor: q
Wie hängen die beiden Größen zusammen? q = 1 + p%

Wenn p% = 35% = 0,35 ist, ist q = 1 + 0,35 = 1,35.

Du berechnest den Wachstumsfaktor q wie folgt:
q = $\tfrac{W_1}{W_0}$, wobei W₁ die neue Größe ist und W₀ die alte Größe.

Erinnerung: G⁺ = G · p⁺% (Vermehrter Grundwert). Hier ist G⁺ = W₁, G = W₀ und p⁺% = q.

Exponentielles Wachstum