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Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.<br />
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.<br />
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Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.
<ggb_applet id="ryydnrna" width="863" height="522" border="888888" /> Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Maulwurf sehr '''m'''utig sein!
Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Wanderer sehr '''m'''utig sein!
Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in deine Mappe (Goodnotes):
{{Box|Übung 1: Steigende und fallende Geraden|Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in deine Mappe (Goodnotes):|Üben}}
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
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{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.|Üben}}
{{Box|Übung 2: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.|Üben}}
{{Box|1=Übung 4|2=Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:<br>
{{Box|1=Übung 3|2=Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:<br>
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph <span style="color:green">flach</span> <span style="color:red">fällt</span>." Lösung z.B. f(x) = <span style="color:red">'''-'''</span>[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph <span style="color:green">flach</span> <span style="color:red">fällt</span>." Lösung z.B. f(x) = <span style="color:red">'''-'''</span>[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.|3=Meinung}}
Prüft die Antworten mit GeoGebra.|3=Meinung}}
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Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).
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{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen:<br>
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.JPG|rahmenlos|800x800px]]<br>
Was meinst du?<br>
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5<br>
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin.<br>
{{Box|1=Übung 9|2=Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt:<br>
{{Box|1=Übung 8|2=Löse die Aufgaben auf der Seite 5 aus dem Arbeitsheft.
g<sub>1</sub>: f(x) = ...<br>
|3=Üben}}
g<sub>2</sub>: f(x) = ...<br>
* S. 126 Nr. 5
* S. 126 Nr. 6|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke.<br>
|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}}
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{{Box|1=Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|2=
* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
* 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.|3=Üben}}
{| class="wikitable"
|-
|x
|1
|2
|3
|...
|-
|y-Strecke
|5
|10
|...
|
|-
|y-Eintrittskosten
|13
|...
|
|
|-
|y-Trainingskosten
|...
|
|
|
|-
|}
{{Lösung versteckt|1=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub<br>
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an.<br>
Aktivurlaub an der Nordsee:<br>
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin.<br>
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€.<br>
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde.<br>
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€.<br>
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz)<br>
Wanderurlaub:<br>
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€.<br>
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden.<br>
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.)<br>
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde.<br>
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€.<br>
Reiterferien:<br>
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€.<br>
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€.<br>|2=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|3=Verbergen}}
===Der y-Achsenabschnitt b===
<br>
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
<br>
Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.
{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.<br>
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)|Beobachtung|Verbergen}}
{{Box|Übung 11-Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
{{Box|1=Merke: Der y-Achsenabschnitt b|2=Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.<br>
* S. 127 Nr. 10
Der Graph ist eine Gerade.<br>
* S. 127 Nr. 11
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).<br>
* S. 127 Nr. 12|Üben}}
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Werte für Δy und Δx ab. Es gilt m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math><br>|2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 9|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}
m = <math>\tfrac{40}{1000} = \tfrac{4}{100}</math> = 4%.
Lösungen: 4%; 28%; 75%; 90%|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende verschiedene Darstellungen:<br>[[Datei:S. 127 Nr. 11a Darstellungen.jpg|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne jeweils den gegebenen Punkt in ein Koordinatenkreuz und zeichne die Ursprungsgerade. Lies die Steigung m ab und gib die Funktionsgleichung f(x) = mx an.|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Du kannst deine Lösung mithilfe von GeoGebra prüfen: Gib die Koordinaten des gegebenen Punktes ein und zeichne eine Gerade durch den Ursprung und den gegebenen Punkt. Lass dir dann das Steigungsdreieck einzeichnen. Nun kannst du die Funktionsgleichung angeben. Zoome so, dass du das Steigungsdreieck besser erkennen kannst.|Tipp 3 zu Nr. 11|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung lässt sich auch wie in Aufgabe 10 berechnen. m = m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math><br>
a) m = <math>\tfrac{5}{100} = 0,05</math>, also f(x) = 0,05x<br>
b) m = <math>\tfrac{275}{25} = \tfrac{11}{1}</math> = 11, also ...<br>
c) m = <math>\tfrac{320}{8}</math> = 40 ct.<br>
d) m = <math>\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}</math>|2=Tipp 4 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Welche Bedeutung haben die x- bzw. y-Achse? Erkläre. <br>
Welche Bedeutung hat dann ein steiler Verlauf des Graphen? Erkläre.|2=Tipp zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Da es sich um Ursprungsgeraden handelt, müssen die Funktionsgleichungen die Form f(x)=mx haben (proportionale Funktionen). Bestimme die Steiung m mit einem geeigneten Steigungsdreieck. <br>
Welchen Punkt kannst du jeweils ablesen? <br>
m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math><br>
m<sub>1</sub> = ... = 0,08<br>
m<sub>2</sub> = ... = 0,16|2=Tipp zu Nr. 12b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Füllhöhe im Würfel steigt doppelt so schnell wie im Quader, also muss die Grundfläche ... so groß sein.|2=Tipp zu Nr. 12c|3=Verbergen}}
=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen.<br>
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. <br>
Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.<br>
{{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie du zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.<br>
<br>
<br>
{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}
* S. 126 Nr. 2
* S. 126 Nr. 4
* S. 126 Nr. 3|Üben}}
{{Lösung versteckt|
<div class="grid">
{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
</div>
{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i)<br>
Gehe so viele Schritte, wie der <span style="color:green">NENNER</span> angibt, nach <span style="color:green>RECHTS</span> und <br>
so viele Schritte wie der <span style="color:blue">ZÄHLER</Span> angibt nach <span style="color:blue">OBEN</span> (m positiv) oder <span style="color:blue">UNTEN</span> (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}
|Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}
Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}
Und nun noch einmal übersichtlich als in GeoGebra und als Bild:<br>
'''Beispiel 1 (leicht)''': m ist eine natürliche Zahl<br>
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]
{{Box|Übung 10: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse.
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.
Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.
Die Steigung m
Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden
Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:
Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.
Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.
Wenn die Steigung m steil ist, muss der Wanderer sehr mutig sein!
Übung 1: Steigende und fallende Geraden
Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in deine Mappe (Goodnotes):
Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:
Für m > 0 steigt die Gerade und für m < 0 fällt die Gerade.
Die Gerade steigt flach für 0 < m < 1 und steil für m > 1.
Die Gerade fällt flach für -1 < m < 0 und steil für m < -1.
Übung 2: Steigende und fallende Geraden
Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.
Übung 3
Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flachfällt." Lösung z.B. f(x) = -x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.
Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?
Das Steigungsdreieck
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.
Merke: Die Steigung m
Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Es gilt: m==
Die Steigung m eines Graphen ablesen
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.
Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.
Übertrage jeweils das Beispiel in deine Mappe und bearbeite anschließend die LearningApp.
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):
Übung 6
Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.
Übung 7
Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
Löse die Aufgaben auf der Seite 5 aus dem Arbeitsheft.
Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).
Der y-Achsenabschnitt b
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von m, also der Steigung einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter b für den Graphen der Funktion hat.
Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)
Merke: Der y-Achsenabschnitt b
Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.
Der Graph ist eine Gerade.
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).
Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.
Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie du zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.
Von der Geraden zu Funktionsgleichung
Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung
Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.
Und nun noch einmal übersichtlich als in GeoGebra und als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
Originallink https://www.geogebra.org/m/a2ew5np7
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