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| <div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Terme und Gleichungen. </div> | | <div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Aufbau eines Lernpfades. </div> |
| [[Datei:Calcul mental.png|250 px|right]]
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| | Folgende Aufgabentypen gibt es in den Lernpfaden <br/> <br/> <br/> |
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| In diesem Lernpfad geht es um das Vertiefen deines Wissens über '''Terme, Variablen und Gleichungen'''.
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| Du findest hier eine Wiederholung zu den Begriffen und Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen. <s>.</s>
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| =='''1.Terme, Variablen und Gleichungen'''==
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| {{Box|1='''Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Variablen sind '''Zeichen''' (meistens kleine Buchstaben). Sie sind '''Platzhalter'''. Du kannst '''Zahlen''' für sie einsetzen. Terme sind '''Rechenausdrücke'''. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und '''Variable''' enthalten. Werden zwei '''Terme''' mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine '''Gleichung'''. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die '''linearen''' und die '''quadratischen''' Gleichungen.
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| </div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}} | |
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| {{Box|Begriffstraining |
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| Teste dein Wissen! {{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pgvznoxrk23}}
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| |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}
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| =='''2.Terme '''==
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| === '''Terme aufstellen''' ===
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| {{Box|Terme in Sachsituationen|Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen.
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| a)
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| {{H5p-zum|id= 12396|height=250}}
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| b)
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| {{H5p-zum|id= 21668|height=250}}
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| | {{Box|Aufgaben zum Entdecken|Hier sollt ihr Dinge herausfinden. Oft geschieht das mit Hilfe von Apps. |
| | {{LearningApp|app=7046234|width=100%|height=350px}} |
| |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} | | |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} |
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| ==='''Terme vereinfachen'''===
| | {{Box|Aufgaben zum Entdecken|Manchmal müsst ihr auch sogenannte Geogebraapplets benutzen: |
| | | <br /><ggb_applet id="sgnhnzgm" width="20%" height="20%" border="888888" /> |
| {{Box|Info|Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}} | |
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| {{Box|Erinnerung: Überflüssige Malpunkte|Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.
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| {{LearningApp|app=pynxyt0qk20|width=100%|height=350px}}
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| |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
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| {{Box|Info|Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}
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| {{Box|Terme zusammenfassen|
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| Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmateria. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an. <br/>
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| '''Zusammenfassen von Summen:''' <br/>
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| a) <math>2a+10a+11+7</math> <br/>
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| b) <math>-4x+5+9x-7</math><br/>
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| c) <math>3a+5a +7b-2b</math> <br/>
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| d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math> <br/>
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| e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math> <br/>
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| f) <math> 2x+xy-3y-2xy+2xy^2 </math>
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| {{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/>
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| * Nur gleiche Variablen dürfen zusammengefasst werden.
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| * Auch die Potenz muss übereinstimmen.
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| * Die Rechenregeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen müssen beachtet werden.
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| * Es kann helfen, gleiche Summanden farbig zu markieren.
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| |2= Tipp 1|3=einklappen}}
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| {{Lösung versteckt|1= Beispiele: <br/>
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| 1) <math> {\color{blue}b}{\color{red}+a+3a} </math> <math> = {\color{blue}b}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/>
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| 2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math>
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| <math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math>
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| <math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/>
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| Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/>
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| |2= Tipp 2|3=einklappen}} <br/>
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| '''Zusammenfassen von Produkten''' <br/>
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| f) <math> 5{r} 4{r}{s} </math> <br/>
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| g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <br/>
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| {{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/>
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| * Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/>
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| * Der Multiplikationspunkt muss nicht notiert werden <math> {2}\cdot {a} </math> = '''2a''' <br/>
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| * Beachte die Vorzeichen der Faktoren!
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| |2= Tipp 3|3=einklappen}}
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| |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} | | |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}} |
| <br />
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| {{Lösung versteckt|1=
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| a) <math>2a+10b+11+7</math> = <math>12a+18</math> <br/>
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| b) <math>-4x+5+9x-7</math>= <math>5x-2</math> <br/>
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| c) <math>3a+5a+7b-2b</math> = <math>8a+5b</math> <br/>
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| d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math>= <math>-5c-4d+10</math> <br/>
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| e) <math>13x^2+3x^2+9y-3y</math>= <math>13x^2+3x^2+9y-3y</math> <br/>
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| f) <math> 5{r}4{r}{s}</math>
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| <math> = 5 \cdot 4 {x} {x} {y} </math> <math> = 20 {x^2}{y} </math> <br/>
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| g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) {x} {x^2} {y} {y^3} </math> <math> = 42{x^3}{y^4} </math> <br/>
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| |3=Üben}}
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| {{Box|Idee|Wichtig: Unterscheide <br/> <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/>
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| <math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/>
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| Denke daran. Es gilt: <br/>
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| <math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br />
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| <math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br />
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| <math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math> <br/>
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| <math> + \cdot - </math> ergibt: <math> - </math> <br/> <br/>
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| Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: '''Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung''', die '''Klammer''' geht immer vor. |Unterrichtsidee }}
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| {{Box|Termtraining. |Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}} | | {{Box|Übungsaufgaben |Bei der Bearbeitung dieser Aufgaben sollte ihr euer neues Wissen anwenden. |
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| |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} | | |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} |
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| | {{Box|Sprinteraufgabe 3|Zusatzaufgaben |
| | |Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}} |
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| === Klammern in Termen === | | Zu den Aufgaben gibt es Lösungen oder Tipps, die ihr ein- und ausklappen könnt. |
| Klammern auflösen:
| | {{Lösung versteckt|1= Hier versteckt sich eine Lösung oder ein Tipp. Manchmal auch eine Appe oder ein Applet. |
| Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen.
| | |2= Lösung|3=einklappen}} |
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| {{Box|1 = Auflösen von Klammern|
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| 2 = Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:
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| [[Datei:Distr1.png|mini]]
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| <math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
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| <math>(b+c){\color{green}a} = b{\color{green}a} + {\color{green}a} </math>.
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| Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.
| | {{ Box|1 = Merksätze|2 = Zusammenfassung wichtiger Inhalt. Häufig müsst ihr einen Lückentext ergänzen und in eurer Begleitheft übertragen. <div class="lueckentext-quiz"> |
| | | Zum Beispeil '''so''' |
| {{Lösung versteckt|1= Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert. | |
| [[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|mini | links | thumb ]]
| |
| Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
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| <math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.
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| |2= Lösung|3=einklappen}}<br />
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| Erinnerung
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| # Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: <math>a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c </math>
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| # Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:
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| <math> {\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.
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| <math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.
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| b)
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| Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:
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| <math> (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd </math>. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung
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| [[Datei:Distr2.png|mini]]
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| {{Lösung versteckt|1= Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''
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| [[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links| thumb]] <br /> <br />
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| Es ist
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| (2+3) (7-2) = 5 \cdot 5 = 25
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| (2+3)(7-2) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 14 - 4 + 21 - 6 = 25
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| <br /> <br /> <br /> <br />
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| |2= Lösung|3=einklappen}}<br />
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| {{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.
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| <math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.
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| <math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.
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| <math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.
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| |2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}
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| |3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
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| {{Box|1=Klammern in Termen|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitmaterial.
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine '''Klammer aufzulösen'''. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer '''multipliziert'''.
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| <math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
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| Diese Regel nennt man '''Distributivgesetz'''. <br /> Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:
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| <math>(b+c) \cdot {\color{green}a} = b \cdot {\color{green}a} + c\cdot {\color{green}a} = ac + bc </math> = <math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
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| Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden''' der ersten Klammer mit '''jedem Summanden''' der zweiten Klammer '''multipliziert:'''
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| <math>(a+b)(c+d) ='''ac''' + ad + bc + bd</math>.
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| </div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
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| {{Box|1 = Training zum Ausklammern |2 =In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. Trage die richtige Lösung in di
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| <div class="lueckentext-quiz"> | |
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| a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br />
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| b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br />
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| c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br />
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| d) <math> (2x+5)(3x-7) = </math> '''<math> 6x^2+x-35 </math>''' <br />
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| d) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br />
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| f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br />
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| </div> | | </div> |
| |3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}
| | |3 = Merksatz}} |
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| '''Ausklammern'''
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| Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also Klammern hinzugefügt.
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| Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden gemeinsame Faktoren haben.
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| {{Box|1=Ausklammern|2 = Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus.
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| Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an.
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| {{Lösung versteckt|1= 8x + 12xy<br>
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| = <span style="color:red">4x</span>⋅2 + <span style="color:red">4x</span>⋅3y<br>
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| = <span style="color:red">4x</span>⋅(2 + 3y)
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| |2=Beispiel |3=Beispiel ausblenden}}
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| {{LearningApp|app=p5pcm6z0a20|width=100%|height=400px}}
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| {{LearningApp|app=p1on72s7319|width=100%|height=400px}}
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| |3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
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| == '''3. Gleichungen''' ==
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| Lineare Gleichungen lösen
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| {{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich |
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| 2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt.
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| '''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst.
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| {{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
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| '''b)''' Die Waage steht immer noch im Gleichgewicht. Füge nun ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?
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| {{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
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| '''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?
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| {{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
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| <ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
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| {{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen|
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| 2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.
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| {{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen |
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| 2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:
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| <math>3y+5=y+35</math>.
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| Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.
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| <math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\
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| \Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\
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| \end{align}</math>
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| Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.
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| <math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\
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| \Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\
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| \Leftrightarrow & & y&=15
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| \end{align}</math>
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| Probe:
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| <math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\
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| \Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\
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| \Leftrightarrow & & 50 &=50
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| \end{align}</math>
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| Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}
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| {{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}
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| '''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math>
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| {{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht.
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| [[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]]
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| Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln.
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| [[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]]
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| <math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\
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| \Leftrightarrow & & x &=2
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| \end{align}</math>
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| Probe:
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| <math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\
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| \Leftrightarrow & & 5 &=5
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| \end{align}</math>
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| Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.
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| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
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| '''b)''' <math>a-64=5</math>
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| {{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\
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| \Leftrightarrow & & a &=69 \\
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| & & \mathbb{L}=\{69\}
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| \end{align}</math>
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| Probe:
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| <math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\
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| \Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\
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| \Leftrightarrow & & 5 &=5
| |
| \end{align}</math>
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| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
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| '''c)''' <math>3x+7=16</math>
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| {{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\
| |
| \Leftrightarrow & & x &=3\\
| |
| & & \mathbb{L}=\{3\}
| |
| \end{align}</math>
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| Probe:
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| <math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\
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| \Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\
| |
| \Leftrightarrow & & 16 &=16
| |
| \end{align}</math>
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| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
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| '''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math>
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| {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:
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| | |
| <math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\
| |
| & & \mathbb{L}=\{0,5\}
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Probe:
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| <math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & 0&=0
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & 0&=0
| |
| \end{align}</math>
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
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| | |
| '''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math>
| |
| {{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\
| |
| \Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\
| |
| \Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\
| |
| \Leftrightarrow & & -1 &=1
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
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| | |
| '''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math>
| |
| {{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\
| |
| \Leftrightarrow & & 1 &=x\\
| |
| & & \mathbb{L}=\{1\}
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Probe:
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| <math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5
| |
| \end{align}</math>
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
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| | |
| '''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>
| |
| {{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\
| |
| \Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\
| |
| \Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\
| |
| \Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\
| |
| & & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Probe:
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| | |
| <math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}
| |
| \end{align}</math>
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| |
| | 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
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| | |
| Quadratische Gleichungen lösen
| |
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| {{Box|1=15. Einfache quadratische Gleichungen|2=
| |
| Löse die quadratischen Gleichungen </nowiki>'''ohne p-q-Formel'''.
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| a) <math>0=x^2-64</math>
| |
| | |
| b) <math>0=x^2+13x</math>
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| | |
| c) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math>
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=zu a): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+c</math>, also ohne linearen Summanden <math>bx</math> kannst du die Gleichung umstellen, sodass <math>x^2</math> alleine steht und anschließend die Wurzel ziehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.|2=Tipp 2|3=schließen}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=zu b): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+bx</math>, also ohne konstanten Summanden <math>c</math> kannst du <math>x</math> ausklammern.|2=Tipp 3|3=schließen}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=zu b): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.|2=Tipp 4|3=schließen}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 5|3=schließen}}
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| zu a)
| |
| <math>
| |
| \begin{alignat}{3}
| |
| & & 0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\
| |
| &\Leftrightarrow \qquad & 64 &= x^2 &&| \sqrt{\text{ }}\\
| |
| &\Leftrightarrow &\pm 8 &= x &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&&
| |
| \end{alignat}
| |
| </math>
| |
| | |
| zu b)
| |
| <math>
| |
| \begin{alignat}{5}
| |
| & & & & 0 &= x^2+13x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
| |
| &\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= x \cdot (x+13) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
| |
| &\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\
| |
| &\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -13 &= x_2 &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -13 &&
| |
| \end{alignat}
| |
| </math>
| |
| | |
| zu c)
| |
| <math>
| |
| \begin{alignat}{5}
| |
| & & & & -2x &= \frac{1}{2}x^2 & & &&| +2x\\
| |
| &\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= \frac{1}{2}x^2+2x & & &&| \cdot 2\\
| |
| &\Leftrightarrow & & & 0 &= x^2+4x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
| |
| &\Leftrightarrow & & & 0 &= x \cdot (x+4) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
| |
| &\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\
| |
| &\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -4 &= x_2 &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -4 &&
| |
| \end{alignat}
| |
| </math>}}
| |
| |3=Üben}}
| |
| | |
| | |
| {{Box|1=16. Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren|2=
| |
| Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>
| |
| | |
| a) <math>0=x^2+12x+27</math>
| |
| | |
| b) <math>0=x^2+6x-7</math>
| |
| | |
| c) <math>16x=x^2-17</math>
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|1=Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 2|3=schließen}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| zu a)
| |
| <math>
| |
| \begin{alignat}{3}
| |
| & & 0 &= x^2+12x+27 &&| p=12, q=27\\
| |
| &\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= -6 \pm 3 &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3 &&
| |
| \end{alignat}
| |
| </math>
| |
| | |
| zu b)
| |
| <math>
| |
| \begin{alignat}{3}
| |
| & & 0 &= x^2+6x-7 &&| p=6, q=-7\\
| |
| &\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= -3 \pm 4 &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1 &&
| |
| \end{alignat}
| |
| </math>
| |
| | |
| zu c)
| |
| <math>
| |
| \begin{alignat}{3}
| |
| & & 16x &= x^2-17 &&| -16x\\
| |
| &\Leftrightarrow \qquad & 0 &= x^2-16x-17 &&| p=-16, q=-17\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= 8 \pm 9 &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17 &&
| |
| \end{alignat}
| |
| </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
| |
| |3=Üben}}
| |
| | |
| | |
| {{Box|1=17. Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren|2=
| |
| Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>
| |
| | |
| a) <math>0=4x^2+40x+36</math>
| |
| | |
| b) <math>14x=7x^2-56</math>
| |
| | |
| c) <math>14x=3x^2+2x-15</math>
| |
|
| |
|
| {{Lösung versteckt|1=Um die p-q-Formel verwenden zu können muss vor dem <math>x^2</math> der Vorfaktor <math>1</math> (der in der Regel nicht ausgeschrieben wird) stehen.|2=Tipp 1|3=schließen}} | | {{Box|1='''Kurzchecks'''|2= Auch hier müsst ihr oft einen Lückentext ergänzen und in euer Begleitheft übertragen. |
| {{Lösung versteckt|1=Steht vor dem <math>x^2</math> ein anderer Vorfaktor als <math>1</math>, so dividiere beide Seiten der Gleichung durch diesen Vorfaktor.|2=Tipp 2|3=schließen}}
| | | 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}} |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| zu a)
| |
| <math>
| |
| \begin{alignat}{3}
| |
| & & 0 &= 4x^2+40x+36 &&| \colon 4\\
| |
| &\Leftrightarrow \qquad & 0 &= x^2+10x+9 &&| p=10, q=9\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= -\frac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2-9} \qquad &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= -5 \pm 4 &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=-1 &&
| |
| \end{alignat}
| |
| </math>
| |
|
| |
|
| zu b)
| |
| <math>
| |
| \begin{alignat}{3}
| |
| & & 14x &= 7x^2-56 &&| -14x\\
| |
| &\Leftrightarrow \qquad & 0 &= 7x^2-14x-56 &&| \colon 7\\
| |
| &\Leftrightarrow & 0 &= x^2-2x-8 &&| p=-2, q=-8\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-8)} \qquad &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= 1 \pm 3 &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x_1 &= -2 \text{ oder } x_2=4 &&
| |
| \end{alignat}
| |
| </math>
| |
|
| |
|
| zu c)
| | {{Box|Info|Infobox|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}} |
| <math>
| |
| \begin{alignat}{3}
| |
| & & 14x &= 3x^2+2x-15 &&| -14x\\
| |
| &\Leftrightarrow \qquad & 0 &= 3x^2-12x-15 &&| \colon 3\\
| |
| &\Leftrightarrow & 0 &= x^2-4x-5 &&| p=-4, q=-5\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-5)} \qquad &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x &= 2 \pm 3 &&\\
| |
| &\Leftrightarrow & x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=5 &&
| |
| \end{alignat}
| |
| </math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
| |
| |3=Üben}}
| |
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| |
|
| =='''Vernetzte Aufgaben '''==
| |
| {{Box|1=1. Flächeninhalt|2=
| |
| Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.
| |
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|
| {{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}
| |
|
| |
|
| {{Lösung versteckt|1=Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?|2= Tipp 1|3=schließen}} | | {{Box|Ideen|Hier stehen wichtige Hinweise oder Ideen. |Unterrichtsidee }} |
| {{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
| |
| |3=Üben}}
| |
