Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | |||
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}} | |||
<br> | |||
{{Box|Wachstum und Abnahme|Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.<br> | {{Box|Wachstum und Abnahme|Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.<br> | ||
Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?|Meinung}} | Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?|Meinung}} | ||
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* Lichtintensität | * Lichtintensität | ||
* Wertverlust bei Neuwagen|Mögliche Anworten|Verbergen}} | * Wertverlust bei Neuwagen|Mögliche Anworten|Verbergen}} | ||
{{Box|1=Wachstum und Abnahme|2=Wir sprechen von positivem '''Wachstum''', wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert größer ist als der alte Wert. <br> | |||
Wir sprechen von negativem Wachstum oder auch '''Abnahme''', wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert kleiner ist als der alte.<br> | |||
Die Zu- bzw. Abnahme kann absolut oder prozentual angegeben werden.<br> | |||
absoluter Wert: d = neue Größe - alte Größe = W<sub>1</sub> - W<sub>0</sub><br> | |||
prozentual: p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math> <br> | |||
Die prozentuale Zu- bzw. Abnahme eines Wertes innerhalb einer Zeitspanne heißt '''Wachstumsrate p%'''.<br>|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Box|Übung 1: Wachstum|Löse aus dem Buch | |||
* S. 69 Nr. 2|Üben}} | |||
==1 Lineares und exponentielles Wachstum== | ==1 Lineares und exponentielles Wachstum== | ||
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<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div> | <div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div> | ||
<div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich | <div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich anlegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div> | ||
</div> | </div> | ||
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<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br> | <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br> | ||
K<sub>18</sub> = ...</div> | K<sub>18</sub> = ...<br> | ||
{{Lösung versteckt|1=Das Startkapital beträgt K<sub>0</sub> = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den festen Wert d = 50€ zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.<br> | |||
K<sub>18</sub> = K<sub>0</sub> + n · d<br> | |||
= 1000 + 18 · 50<br> | |||
= 1000 + 900<br> | |||
= 1900 (€) | |||
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein '''lineares''' Wachstum.|2=Lösung|3=Verbergen}}</div> | |||
<div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br> | <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br> | ||
K<sub>18</sub> = ...</div> | K<sub>18</sub> = ...<br> | ||
{{Lösung versteckt|1=Das Startkapital beträgt K<sub>0</sub> = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den gleichen Faktor q=100%+5% = 105% = 1,05 zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.<br> | |||
K<sub>18</sub> = K<sub>0</sub> · q<sup>n</sup><br> | |||
= 1000 · 1,05<sup>18</sup><br> | |||
≈ 2406,62 (€)<br> | |||
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes '''exponentielles''' Wachstum. | |||
|2=Lösung|3=Verbergen}}</div> | |||
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
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<br> | <br> | ||
{{Box|1=Lineares und exponentielles Wachstum|2=<div class="grid"> | |||
{{Box|1= | <div class="width-1-2">'''Lineares Wachstum:''' | ||
W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> + d·n <br><br> | |||
''' | mit dem Anfangswert W<sub>0</sub> und der gleichmäßigen Zunahme bzw. Abnahme d.<br> | ||
<br> | |||
<br> | <br> | ||
Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:<br> | |||
y = a + mx<br> | |||
a ist der Anfangswert, m ist die gleichmäßige Zu-bzw. Abnahme. | |||
</div> | |||
<div class="width-1-2">'''Exponentielles Wachstum:'''<br><br> | |||
W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup><br> <br>mit dem Anfangswert W<sub>0</sub> und dem Wachstumsfaktor<br>q = 1 ± p%.<br> | |||
<br> | <br> | ||
Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:<br> | |||
y = a · q<sup>x</sup><br> | |||
a ist der Anfangswert, q ist der Wachstumsfaktor.</div> | |||
</div>|3=Arbeitsmethode}} | |||
<br> | <br> | ||
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br> | {{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br> | ||
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}} | [[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}} | ||
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<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
{{Box|Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum|Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die nachfolgenden LearningApps.|Üben}} | {{Box|Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum|Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs und die nachfolgenden LearningApps. | ||
* [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml Aufgabenfuchs: Aufgabe 1, 2 und 3]|Üben}} | |||
{{LearningApp|app=16929218|width=100%|heigth=600px}} | {{LearningApp|app=16929218|width=100%|heigth=600px}} | ||
{{LearningApp|app=17053537|width=100%|heigth=600px}} | {{LearningApp|app=17053537|width=100%|heigth=600px}} | ||
{{LearningApp|app= | {{LearningApp|app=pd99dt7tn21|width=100%|height=600px}} | ||
{{Box|Übung 2: Lineares oder exponentielles Wachstum (Wertetabelle)|Löse die Aufgaben aus dem Buch. | |||
* S. 74, Nr. 7 | |||
* S. 82, Nr. 5 (a-d)|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Wie verändern sich die Funktionswerte, wenn der x-Wert jeweils um 1 Einheit zunimmt.<br> | |||
Lineares Wachstum: f(x) = mx + b<br> | |||
Exponentielles Wachstum: f(x) = (c·)a<sup>x</sup><br> | |||
quadratisches Wachstum: f(x) = ax² (+bx+c)|2=Tipp|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Bei a) ändern sich die Funktionswerte immer um +3 , also ist das Wachstum linear. f(x) = 3x+1 <br> | |||
Bei b) sind die Funktionswerte die 10er Potenzen, also f(x) = 10<sup>x</sup>, es liegt also exponentielles Wachstum vor.<br> | |||
Bei c) ändern sich die Funktionswerte immer um -1, also ist das Wachstum linear. f(x) = -x+2<br> | |||
Bei d) sind die Funktionswerte Potenzen von 2,5, also f(x) = 2,5<sup>x</sup>, es liegt also exponentielles Wachstum vor.<br> | |||
Bei e) ändern sich die Funktionswerte weder linear, noch quadratisch oder exponentiell.<br> | |||
Bei f) fallen die Funktionswerte zunächst, dann steigen sie wieder. Hier liegt quadratisches Wachstum vor. f(x) = 3x²|2=Lösung|3=Verbergen}} | |||
==2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor== | ==2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor== | ||
{{Box|1=Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|2=Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br> | {{Box|1=Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|2=Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br> | ||
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr '''um | Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr '''um 5%''' . Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.<br> | ||
Das Kapital wächst also '''auf das 1,05-Fache'''.<br> | Das Kapital wächst also '''auf das 1,05-Fache'''.<br> | ||
Dies ist der''' Wachstumsfaktor q '''= 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:<br> | Dies ist der''' Wachstumsfaktor q '''= 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:<br> | ||
q = 100% + p%<br> | q = 100% + p%<br> | ||
Den neuen Wert W<sub>1</sub> berechnest du also mit der Gleichung:<br> | |||
W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q|3=Arbeitsmethode}} | W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q|3=Arbeitsmethode}} | ||
<br> | <br> | ||
{{ | {{Box|Übung 3|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}} | ||
{{LearningApp|app= | {{LearningApp|app=p8uukn09n23|width=100%|heigth=600px}} | ||
<br> | <br> | ||
Beispiele<br> | Beispiele<br> | ||
Zeile 157: | Zeile 206: | ||
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:<br> | Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:<br> | ||
Wachstumsrate: p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math> = <math>\tfrac{567 - 540}{540}</math> = 0,05 = 5%<br> | Wachstumsrate: p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math> = <math>\tfrac{567 - 540}{540}</math> = 0,05 = 5%<br> | ||
Wachstumsfaktor: q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math> = <math>\tfrac{567}{540}</math> = 1,05 (Formel | Wachstumsfaktor: q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math> = <math>\tfrac{567}{540}</math> = 1,05 (Formel W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q nach q umgestellt)<br> | ||
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05 ( Probe: | oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05 ( Probe: 540 ∙ 1,05 = 567) | ||
<br> | |||
<br> | <br> | ||
<br> | |||
{{ | {{Box|Übung 4|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}} | ||
{{LearningApp|app= | {{LearningApp|app=p13grajqt21|width=100%|height=250px}}<br> | ||
{{LearningApp|app= | {{LearningApp|app=pmtr7f11n21|width=100%|height=250px}}<br> | ||
<br> | |||
{{Box| | {{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. | ||
* S. 71 Nr. 1 a,b,c | |||
* S. 71 Nr. 2 | |||
* S. 82 Nr. 1 | |||
* S. 82 Nr. 2|Üben}} | |||
<br> | |||
* | |||
< | |||
< | {{Lösung versteckt|1=Unterscheide die Begriffe:<br> | ||
Wachstumsrate: p%<br> | |||
Wachstumsfaktor: q<br> | |||
Wie hängen die beiden Größen zusammen? q = 1 + p%<br> | |||
Wenn p% = 35% = 0,35 ist, ist q = 1 + 0,35 = 1,35.|2=Tipp zu S. 82 Nr. 1|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Du berechnest den Wachstumsfaktor q wie folgt:<br> | |||
q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math>, wobei W<sub>1</sub> die neue Größe ist und W<sub>0</sub> die alte Größe.<br> | |||
Erinnerung: G<sup>+</sup> = G · p<sup>+</sup>% (Vermehrter Grundwert). Hier ist G<sup>+</sup> = W<sub>1</sub>, G = W<sub>0</sub> und p<sup>+</sup>% = q.|2=Tipp zu S. 82 Nr. 2|3=Verbergen}} | |||
{{Fortsetzung|weiter=Exponentielles Wachstum|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum}} |
Aktuelle Version vom 2. Dezember 2024, 09:17 Uhr
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum
4) Die Exponentialfunktion
Mögliche Antworten:
- Bevölkerungswachstum
- Bakterienwachstum
- Haarwachstum
- Druckzunahme je nach Meerestiefe
- Temperaturanstieg
- Sprunghöhe Flummi
- Zerfall von Bierschaum
- Kerzenhöhe je nach Dauer
- Lichtintensität
- Wertverlust bei Neuwagen
1 Lineares und exponentielles Wachstum
Sparmodell (vgl. Zinseszins) Erinnerung: Sparmodelle
1) Einstieg: Sparschwein
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
Jahre | Guthaben(€) |
0 | 1000 |
1 | 1050 |
2 | 1100 |
3 | 1150 |
... | ... |
18 | ... |
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
Jahre | Guthaben(€) |
0 | 1000 |
1 | 1050 |
2 | 1102,50 |
3 | 1157,625 |
... | ... |
18 | ... |
Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
K18 = ...
Das Startkapital beträgt K0 = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den festen Wert d = 50€ zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.
K18 = K0 + n · d
= 1000 + 18 · 50
= 1000 + 900
= 1900 (€)
K18 = ...
Das Startkapital beträgt K0 = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den gleichen Faktor q=100%+5% = 105% = 1,05 zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.
K18 = K0 · qn
= 1000 · 1,0518
≈ 2406,62 (€)
nach Pöchtrager
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):
Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
Wie verändern sich die Funktionswerte, wenn der x-Wert jeweils um 1 Einheit zunimmt.
Lineares Wachstum: f(x) = mx + b
Exponentielles Wachstum: f(x) = (c·)ax
Bei a) ändern sich die Funktionswerte immer um +3 , also ist das Wachstum linear. f(x) = 3x+1
Bei b) sind die Funktionswerte die 10er Potenzen, also f(x) = 10x, es liegt also exponentielles Wachstum vor.
Bei c) ändern sich die Funktionswerte immer um -1, also ist das Wachstum linear. f(x) = -x+2
Bei d) sind die Funktionswerte Potenzen von 2,5, also f(x) = 2,5x, es liegt also exponentielles Wachstum vor.
Bei e) ändern sich die Funktionswerte weder linear, noch quadratisch oder exponentiell.
2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
Beispiele
1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.
Geg: W0 = 550; Wachstumsrate p% = 8%
Ges: W1 ; q
Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.
Wachstumsfaktor q q = 1 + p%
Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:
W1 = W0 ∙ q
W1= 550 ∙ 1,08
= 594 (Schüler)
Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.
2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2017 bis 2018 von 540 auf 567. Bestimme die Wachstumsrate.
Geg: W0 = 540; W1 = 567
Ges: p% Wachstumsrate
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:
Wachstumsrate: p% = = = 0,05 = 5%
Wachstumsfaktor: q = = = 1,05 (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05 ( Probe: 540 ∙ 1,05 = 567)
Unterscheide die Begriffe:
Wachstumsrate: p%
Wachstumsfaktor: q
Wie hängen die beiden Größen zusammen? q = 1 + p%
Du berechnest den Wachstumsfaktor q wie folgt:
q = , wobei W1 die neue Größe ist und W0 die alte Größe.