Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}}
<br>
{{Box|Wachstum und Abnahme|Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.<br>
{{Box|Wachstum und Abnahme|Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.<br>
Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?|Meinung}}
Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?|Meinung}}
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* Lichtintensität
* Lichtintensität
* Wertverlust bei Neuwagen|Mögliche Anworten|Verbergen}}
* Wertverlust bei Neuwagen|Mögliche Anworten|Verbergen}}
{{Box|1=Wachstum und Abnahme|2=Wir sprechen von positivem '''Wachstum''', wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert größer ist  als der alte Wert. <br>
Wir sprechen von negativem Wachstum oder auch '''Abnahme''', wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert kleiner ist als der alte.<br>
Die Zu- bzw. Abnahme kann absolut oder prozentual angegeben werden.<br>
absoluter Wert: d = neue Größe - alte Größe = W<sub>1</sub> - W<sub>0</sub><br>
prozentual: p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math> <br>
Die prozentuale Zu- bzw. Abnahme eines Wertes innerhalb einer Zeitspanne heißt '''Wachstumsrate p%'''.<br>|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 1: Wachstum|Löse aus dem Buch
* S. 69 Nr. 2|Üben}}


==1 Lineares und exponentielles Wachstum==
==1 Lineares und exponentielles Wachstum==
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<div class="grid">
<div class="grid">
  <div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div>
  <div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div>
  <div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div>
  <div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich anlegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div>
</div>
</div>
<br>
<br>
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<div class="grid">
<div class="grid">
  <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
  <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
K<sub>18</sub> = ...</div>
K<sub>18</sub> = ...<br>
{{Lösung versteckt|1=Das Startkapital beträgt K<sub>0</sub> = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den festen Wert d = 50€ zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.<br>
K<sub>18</sub> = K<sub>0</sub> + n · d<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1000 + 18 · 50<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1000 + 900<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1900 (€)
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein '''lineares''' Wachstum.|2=Lösung|3=Verbergen}}</div>
  <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
  <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
K<sub>18</sub> = ...</div>
K<sub>18</sub> = ...<br>
{{Lösung versteckt|1=Das Startkapital beträgt K<sub>0</sub> = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den gleichen Faktor q=100%+5% = 105% = 1,05 zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.<br>
K<sub>18</sub> = K<sub>0</sub> · q<sup>n</sup><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 1000 · 1,05<sup>18</sup><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; ≈ 2406,62 (€)<br>
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes '''exponentielles''' Wachstum.
|2=Lösung|3=Verbergen}}</div>
</div>
</div>
<br>
<br>
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<br>
<br>
 
{{Box|1=Lineares und exponentielles Wachstum|2=<div class="grid">
{{Box|1=Hefteintrag: Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden  in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br>
<div class="width-1-2">'''Lineares Wachstum:'''
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br>
W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> + d·n <br><br>
'''<big>K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ (1+p%)<sup>n</sup><br>
mit dem Anfangswert W<sub>0</sub> und der gleichmäßigen Zunahme bzw. Abnahme d.<br>
<br>
<br>
<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''= K<sub>0</sub> q<sup>n</sup>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; mit q = 1+p%'''</big>'''<br>
Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:<br>
y = a + mx<br>
a ist der Anfangswert, m ist die gleichmäßige Zu-bzw. Abnahme.
</div>
<div class="width-1-2">'''Exponentielles Wachstum:'''<br><br>
W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup><br> <br>mit dem Anfangswert W<sub>0</sub> und dem Wachstumsfaktor<br>q = 1 ± p%.<br>
<br>
<br>
Beispiel:<br>
Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:<br>
geg: K<sub>0</sub> = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre<br>
y = a · q<sup>x</sup><br>
ges: K<sub>n</sub> (Kapital nach n Jahren)<br>
a ist der Anfangswert, q ist der Wachstumsfaktor.</div>
</div>|3=Arbeitsmethode}}
<br>
<br>
K<sub>18</sub> = 1000 ∙ 1,05<sup>18</sup><br>
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 2406,62 (€)<br>
Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br>
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br>
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
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<br>
<br>


Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
 
<br>
<br>
{{Box|Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum|Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{Box|Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum|Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs und die nachfolgenden LearningApps.
* [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml Aufgabenfuchs: Aufgabe 1, 2 und 3]|Üben}}
{{LearningApp|app=16929218|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=16929218|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=17053537|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=17053537|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=pkh0gh44521|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=pd99dt7tn21|width=100%|height=600px}}
 
{{Box|Übung 2: Lineares oder exponentielles Wachstum (Wertetabelle)|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 74, Nr. 7
* S. 82, Nr. 5 (a-d)|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|1=Wie verändern sich die Funktionswerte, wenn der x-Wert jeweils um 1 Einheit zunimmt.<br>
Lineares Wachstum: f(x) =  mx + b<br>
Exponentielles Wachstum: f(x) = (c·)a<sup>x</sup><br>
quadratisches Wachstum: f(x) = ax² (+bx+c)|2=Tipp|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bei a) ändern sich die Funktionswerte immer um +3 , also ist das Wachstum linear. f(x) = 3x+1 <br>
Bei b) sind die Funktionswerte die 10er Potenzen, also  f(x) = 10<sup>x</sup>, es liegt also exponentielles Wachstum vor.<br>
Bei c) ändern sich die Funktionswerte immer um -1, also ist das Wachstum linear. f(x) = -x+2<br>
Bei d) sind die Funktionswerte Potenzen von 2,5, also f(x) = 2,5<sup>x</sup>, es liegt also exponentielles Wachstum vor.<br>
Bei e) ändern sich die Funktionswerte weder linear, noch quadratisch oder exponentiell.<br>
Bei f) fallen die Funktionswerte zunächst, dann steigen sie wieder. Hier liegt quadratisches Wachstum vor. f(x) = 3x²|2=Lösung|3=Verbergen}}




==2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor==
==2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor==
{{Box|1=Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|2=Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br>
{{Box|1=Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|2=Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br>
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr '''um'''''' 5%'''. Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.<br>
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr '''um 5%''' . Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.<br>
Das Kapital wächst also '''auf das 1,05-Fache'''.<br>
Das Kapital wächst also '''auf das 1,05-Fache'''.<br>
Dies ist der''' Wachstumsfaktor q '''= 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:<br>
Dies ist der''' Wachstumsfaktor q '''= 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:<br>
q = 100% + p%<br>
q = 100% + p%<br>
Das neue Kapital/den neuen Wert W<sub>1</sub> berechnest du also mit der Gleichung:<br>
Den neuen Wert W<sub>1</sub> berechnest du also mit der Gleichung:<br>
K<sub>1</sub> = K<sub>0</sub> · q  oder <br>
W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q|3=Arbeitsmethode}}
W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q|3=Arbeitsmethode}}
<br>
<br>
{{LearningApp|app=17054417|width=100%|heigth=600px}}
{{Box|Übung 3|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=p4md60yua21|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=p8uukn09n23|width=100%|heigth=600px}}
<br>
<br>
Beispiele<br>
Beispiele<br>
Zeile 157: Zeile 206:
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:<br>
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:<br>
Wachstumsrate:     p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{567 - 540}{540}</math> = 0,05 = 5%<br>
Wachstumsrate:     p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{567 - 540}{540}</math> = 0,05 = 5%<br>
Wachstumsfaktor: q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{567}{540}</math> = 1,05        (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)<br>
Wachstumsfaktor: q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{567}{540}</math> = 1,05        (Formel W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q nach q umgestellt)<br>
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05           ( Probe: 440 ∙ 1,05 = 462)<br>
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05           ( Probe: 540 ∙ 1,05 = 567)
<br>


IDEE LearningApp mit Anwendungsaufgaben zur Bestimmung von p% und q (noch erstellen!)<br>
==3 Exponentielles Wachstum==
{{Box|1=Einstieg: Weltbevölkerung|2=[[Datei:Person-2829500 1920.png|rechts|rahmenlos]]Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%. <br>Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125<br>
Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde?<br>
Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph)<br>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Tipp Wertetabelle.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Prognose für das Jahr 2030: n = 11<br>
W<sub>11</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q<sup>11</sup><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 7,70 ∙ 1,025<sup>11</sup>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈8,83|2=Tipp zur Funktionsgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Entwicklung Graph.png|rahmenlos|506x506px]]|Tipp zum Funktionsgraphen|Verbergen}}
{{Box|1=Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung|2=Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt.<br>
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit<br>
'''<big>W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup></big>''', <br>
wobei q der Wachstumsfaktor ist. q = 1+p% (Zunahmen) bzw.q=1-p%(Abnahme)<br>
|3=Arbeitsmethode}}
<br>
<br>
Die Gleichung W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup> heißt <u>Exponentialgleichung</u>, da die Variable n im Exponenten steht.
<br>
{{LearningApp|app=17257009|width=100%|heigth=600px}}
{{Box|Übung 4|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pt24sz44316|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=p13grajqt21|width=100%|height=250px}}<br>
{{LearningApp|app=17256599|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=pmtr7f11n21|width=100%|height=250px}}<br>
 
<br>
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Erdbevölkerung|...(Anwendung, Wn gesucht)|Üben}}
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel|...(Anwendung W0 gesucht)|Üben}}
* S. 71 Nr. 1 a,b,c
 
* S. 71 Nr. 2
{{Box|Exponentialgleichung - Formel umstellen|[[Datei:Umstellen der Exponentialgleichung.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
* S. 82 Nr. 1
 
* S. 82 Nr. 2|Üben}}
{{Box|Anwendungsaufgabe 3|...(Anwendung q gesucht)|Üben}}
<br>
{{Box|Anwendungsaufgabe 4|...(Anwendung n gesucht)|Üben}}
 
 
ÜBUNGSAUFGABEN ERGÄNZEN
 
*Formel umstellen
*Verdopplungszeit (Bakterien)
<ggb_applet id="etu2dsm8" width="566" height="663" border="888888" />
Applet von Hegius, R. Schürz
 
*Halbwertszeit (Atome)
<ggb_applet id="fvudcjym" width="1100" height="650" border="888888" />
Applet von Hegius, R. Schürz
 
 
 
 
==4 Die Exponentialfunktion==
 
 
{{Box|1=Exponentialfunktion|2=Die Funktion mit der Gleichung f(x) = c∙ax heißt Exponentialfunktion.<br>|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=Eigenschaften der Exponentialfunktion|2=Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion f(x) = c∙ax .<br>
 
Wähle zunächst c=1. Wie verläuft der Graph der Funktion? Löse den Lückentext und übertrage ihn in dein Heft.|3=Üben}}
<ggb_applet id="zu79dqkp" width="1262" height="571" border="888888" />
Applet von Ralf Wagner


<div class="lueckentext-quiz">
{{Lösung versteckt|1=Unterscheide die Begriffe:<br>
Wachstumsrate: p%<br>
Wachstumsfaktor: q<br>
Wie hängen die beiden Größen zusammen? q = 1 + p%<br>
Wenn p% = 35% = 0,35 ist, ist q = 1 + 0,35 = 1,35.|2=Tipp zu S. 82 Nr. 1|3=Verbergen}}


Der Graph verläuft immer '''oberhalb''' der x-Achse.<br>
{{Lösung versteckt|1=Du berechnest den Wachstumsfaktor q wie folgt:<br>
Der Graph geht immer durch den Punkt '''(0|1)'''.<br>
q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math>, wobei W<sub>1</sub> die neue Größe ist und W<sub>0</sub> die alte Größe.<br>
Für a>1 '''steigt''' der Graph (Zunahme),<br>
Erinnerung: G<sup>+</sup> = G · p<sup>+</sup>% (Vermehrter Grundwert). Hier ist G<sup>+</sup> = W<sub>1</sub>, G = W<sub>0</sub> und p<sup>+</sup>% = q.|2=Tipp zu S. 82 Nr. 2|3=Verbergen}}
für 0<a<1 '''fällt''' der Graph (Abnahme).</div>
{{Fortsetzung|weiter=Exponentielles Wachstum|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum}}

Aktuelle Version vom 2. Dezember 2024, 09:17 Uhr

Schullogo HLR.jpg



Wachstum und Abnahme

Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.

Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?

Mögliche Antworten:

  • Bevölkerungswachstum
  • Bakterienwachstum
  • Haarwachstum
  • Druckzunahme je nach Meerestiefe
  • Temperaturanstieg
  • Sprunghöhe Flummi
  • Zerfall von Bierschaum
  • Kerzenhöhe je nach Dauer
  • Lichtintensität
  • Wertverlust bei Neuwagen


Wachstum und Abnahme

Wir sprechen von positivem Wachstum, wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert größer ist als der alte Wert.
Wir sprechen von negativem Wachstum oder auch Abnahme, wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert kleiner ist als der alte.
Die Zu- bzw. Abnahme kann absolut oder prozentual angegeben werden.

absoluter Wert: d = neue Größe - alte Größe = W1 - W0
prozentual: p% =

Die prozentuale Zu- bzw. Abnahme eines Wertes innerhalb einer Zeitspanne heißt Wachstumsrate p%.


Übung 1: Wachstum

Löse aus dem Buch

  • S. 69 Nr. 2


1 Lineares und exponentielles Wachstum

Sparmodell (vgl. Zinseszins) Erinnerung: Sparmodelle

1) Einstieg: Sparschwein

Sparschwein
Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.
Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich anlegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.


1. Möglichkeit:
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre Guthaben(€)
0 1000
1 1050
2 1100
3 1150
... ...
18 ...
2. Möglichkeit:
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre Guthaben(€)
0 1000
1 1050
2 1102,50
3 1157,625
... ...
18 ...

Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02


Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?

Kapital nach 18 Jahren:

K18 = ...

Das Startkapital beträgt K0 = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den festen Wert d = 50€ zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.
K18 = K0 + n · d
    = 1000 + 18 · 50
    = 1000 + 900
    = 1900 (€)

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein lineares Wachstum.
Kapital nach 18 Jahren:

K18 = ...

Das Startkapital beträgt K0 = 1000 €, der Betrag nimmt jedes Jahr um den gleichen Faktor q=100%+5% = 105% = 1,05 zu. Diese Zunahme erfolgt über n = 18 Jahre.
K18 = K0 · qn
    = 1000 · 1,0518
    ≈ 2406,62 (€)

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.


Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins

Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.
Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals.
blau: einfache Verzinsung
rot: Zinseszins

Was fällt dir auf?
GeoGebra

nach Pöchtrager


Lineares und exponentielles Wachstum
Lineares Wachstum:

Wn = W0 + d·n

mit dem Anfangswert W0 und der gleichmäßigen Zunahme bzw. Abnahme d.


Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:
y = a + mx
a ist der Anfangswert, m ist die gleichmäßige Zu-bzw. Abnahme.

Exponentielles Wachstum:

Wn = W0 · qn

mit dem Anfangswert W0 und dem Wachstumsfaktor
q = 1 ± p%.

Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:
y = a · qx

a ist der Anfangswert, q ist der Wachstumsfaktor.


Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):

Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png

Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.




Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum

Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs und die nachfolgenden LearningApps.




Übung 2: Lineares oder exponentielles Wachstum (Wertetabelle)

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

  • S. 74, Nr. 7
  • S. 82, Nr. 5 (a-d)

Wie verändern sich die Funktionswerte, wenn der x-Wert jeweils um 1 Einheit zunimmt.
Lineares Wachstum: f(x) = mx + b
Exponentielles Wachstum: f(x) = (c·)ax

quadratisches Wachstum: f(x) = ax² (+bx+c)

Bei a) ändern sich die Funktionswerte immer um +3 , also ist das Wachstum linear. f(x) = 3x+1
Bei b) sind die Funktionswerte die 10er Potenzen, also f(x) = 10x, es liegt also exponentielles Wachstum vor.
Bei c) ändern sich die Funktionswerte immer um -1, also ist das Wachstum linear. f(x) = -x+2
Bei d) sind die Funktionswerte Potenzen von 2,5, also f(x) = 2,5x, es liegt also exponentielles Wachstum vor.
Bei e) ändern sich die Funktionswerte weder linear, noch quadratisch oder exponentiell.

Bei f) fallen die Funktionswerte zunächst, dann steigen sie wieder. Hier liegt quadratisches Wachstum vor. f(x) = 3x²


2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz Wachstumsrate p%.
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr um 5% . Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.
Das Kapital wächst also auf das 1,05-Fache.
Dies ist der Wachstumsfaktor q = 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:
q = 100% + p%
Den neuen Wert W1 berechnest du also mit der Gleichung:

W1 = W0 · q


Übung 3
Löse die nachfolgenden LearningApps.


Beispiele
1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.
Geg: W0 = 550; Wachstumsrate p% = 8%
Ges: W1 ; q
Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.
Wachstumsfaktor q             q = 1 + p%    
           Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:
W1 = W0 ∙ q              
W1= 550 ∙ 1,08
   = 594 (Schüler)
Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.

2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2017 bis 2018 von 540 auf 567. Bestimme die Wachstumsrate.
Geg: W0 = 540; W1 = 567
Ges: p% Wachstumsrate
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:
Wachstumsrate:     p% =   =  = 0,05 = 5%
Wachstumsfaktor: q =   =  = 1,05        (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05           ( Probe: 540 ∙ 1,05 = 567)



Übung 4
Löse die nachfolgenden LearningApps.




Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

  • S. 71 Nr. 1 a,b,c
  • S. 71 Nr. 2
  • S. 82 Nr. 1
  • S. 82 Nr. 2


Unterscheide die Begriffe:
Wachstumsrate: p%
Wachstumsfaktor: q
Wie hängen die beiden Größen zusammen? q = 1 + p%

Wenn p% = 35% = 0,35 ist, ist q = 1 + 0,35 = 1,35.

Du berechnest den Wachstumsfaktor q wie folgt:
q = , wobei W1 die neue Größe ist und W0 die alte Größe.

Erinnerung: G+ = G · p+% (Vermehrter Grundwert). Hier ist G+ = W1, G = W0 und p+% = q.