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| (6 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) |
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| Diese Seite des Lernpfades wurde teilweise übernommen von der Seite projekte.zum.de. Der Autor ist Buss-Haskert.
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| {{Navigation|
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| [[Buss-Haskert/Potenzen|1) Potenzen: Definition]]<br>
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| [[Buss-Haskert/Potenzen/Potenzgesetze|2) Potenzgesetze]]<br>
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| [[Buss-Haskert/Potenzen/Wissenschaftliche Schreibweise|3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise]]<br>
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| [[Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln|4) Wurzeln: Definition]]<br>
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| [[Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln/Rechnen mit Quadratwurzeln|5) Rechnen mit Quadratwurzeln]]}}
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| SEITE IM AUFBAU!!
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| ==4 Wurzeln/Quadratwurzeln - Definition==
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| [[Datei:Definition Einstieg.png|rahmenlos|500x500px]]
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| ===4.1 Wurzeln - Einführung===
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| {{Box|Quadratwurzel - Einführung|Ziehe den Schieberegler im nachfolgenden GeoGebra-Applet und bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft:<br>
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| a) Gib die jeweilige Seitenlänge und den Flächeninhalt der Quadrate an bis zum Flächeninhalt 100 Kästchen.<br>
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| b) Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 169 Kästchen. Wie lang ist eine Seite?
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| c) Kannst du Quadrate mit dem Flächeninhalt von 2 Kästchen (3 Kästchen) zeichnen?|Arbeitsmethode}}
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| <ggb_applet id="vwphyusf" width="1521" height="733" border="888888" /><br>
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| ===4.2 (Quadrat)wurzel - Definition===
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| {{Box|1=(Quadrat)wurzel - Definition|2=[[Datei:Rabbit-pulling-carrot-2256824 1280.png|right|300x300px]]Die Quadratwurzel <math>\sqrt{b}</math> aus einer positiven Zahl b ist die positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert b ergibt:<br>
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| a² = b und <br>
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| a = <math>\sqrt{b}</math><br>
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| Fachbegriffe:<br>[[Datei:Begriff Radikand.png|rahmenlos]]|3=Arbeitsmethode}}<br>
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| '''Teste dich:'''
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| {{H5p-zum|id=9177}}
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| <br>
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| {{Lösung versteckt|1=Wiederholung Quadratzahlen:<br>
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| 11² = 121<br>
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| 12² = 144<br>
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| 13² = 169<br>
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| 14² = 196<br>
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| 15² = 225<br>
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| 16² = 256<br>
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| 17² = 289<br>
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| 18² = 324<br>
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| 19² = 361<br>
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| 20² = 400<br>
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| 25² = 625|2=Wiederholung Quadratzahlen|3=Verbergen}}
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| {{Box|Übung 1 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/wurzel.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
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| * Nr. 2 - 11
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| * Nr. 13 - 17|Üben}}<br><br>
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| Jetzt bist du fit für weitere Aufgaben:
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| {{Box|Übung 2(*)|Löse die Aufgaben bei Learningapps.
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| |Üben}}
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| {{LearningApp|app=pztkgmhsk21|width=100%|height=600px}}
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| <br>
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| {{Box|Übung 3(**)|Löse die Aufgaben vom AB... .
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| |Üben}}
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| {{Box|Übung 4(***)|Löse im Heft die Aufgaben aus dem Buch
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| * S. 76 Nr. 14
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| * S. 76 Nr. 15|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 Quadraten:<br>
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| O = 6a²<br>
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| 24 = 6a² |:6<br>
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| 4 = a² |<math>\surd</math><br>
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| ...|2=Tipp zu Nr. 14a|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus nur 10 Quadraten, denn zwei Flächen innen berühren sich. Rechne dann wie in Aufgabe a)|2=Tipp zu Nr. 14b|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus 26 Quadraten, da nur die außen liegenden Quadrate gezählt werden.|2=Tipp zu Nr. 14c|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Wenn 100 Quader in eine Reihe gelegt werden, entstehen 4∙100 + 2 = 402 quadratische Flächen mit dem Flächeninhalt a². Es gilt also O = 402a².<br>
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| Bestimme nun die Kantenlänge a und berechne damit das Volumen.|2=Tipp zu 14d|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Zähle die Quadratflächen, die zur Oberfläche gehören.<br>
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| Lösung zu a) 22 Quadrate<br>
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| b) 50 Quadrate|2=Tipp zu Nr. 15|3=Verbergen}}
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| <br>
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| ===4.3 Irrationale Zahlen - Bestimmen von Quadratwurzeln===
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| Quadratwurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahl sind, lassen sich nur annähern.<br>
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| So liegt z.B. der Wert von <math>\sqrt{2}</math> im Intervall [1;2], also zwischen und 1 und 2, denn 1² < 2 < 2². <br>
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| Dieses Intervall kannst du verkleinern, um den Wert von <math>\sqrt{2}</math> auf mehrere Nachkommastellen anzunähern. Das nachfolgende Applet verdeutlicht dieses Vorgehen, die sogenannte Intervallschachtelung:<br>
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| <ggb_applet id="Tav5nMCh" width="983" height="517" border="888888" />
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| <small>(Applet von W. Wengler)</small><br><br><br>
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| <math>\sqrt{2}</math> hat unendlich viele Nachkommaziffern, die nie periodisch werden. Man kann diese Zahl also nicht als Bruch darstellen.<br><br>
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| {{Box|Irrationale Zahlen|Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die nicht periodisch werden. Quadratwurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.|Arbeitsmethode}}<br><br>
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| Den meisten ist es zwar egal, doch <math>\sqrt{2}</math> ist irrational...
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| {{#ev:youtube|tPfnEByx9r0|800|center}}<br>
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| {{Box|1=Nährerungsweises Bestimmen von Quadratwurzeln|2=Du kannst durch Annäherung feststellen, zwischen welchen natürlichen Zahlen die Quadratwurzel einer Zahl liegt:<br>
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| <math>\sqrt{30}</math> liegt zwischen den Zahlen 5 und 6, denn<br>
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| 5² < 30 < 6²|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box | Übung 5 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/wurzel.shtml '''Aufgabenfuchs''']
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| * Nr. 12|Üben}}<br><br>
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| {{Box|Übung 6|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und ergänze die Lösungen, ohne den Taschenrechner zu benutzen.
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| * S. 77 Nr. 2
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| * S. 79 Nr. 6|Üben}}
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| <br>
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| {{Box|1=Reelle Zahlen|2=Du hast einen neuen Zahlbereich kennengelernt: Alle rationalen und irrationalen Zahlen gehören der Menge der reellen Zahlen R an.|3=Kurzinfo}}
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| [[Datei:Zahlbereiche.png|rahmenlos|400x400px]]<br>
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| ===4.4 Konstruktion von <math>\sqrt{2}</math>===
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| {{Box|Konstruktion von <math>\sqrt{2}</math>|Das nachfolgende Applet zeigt, wie <math>\sqrt{2}</math> usw. konstruiert werden können. Erkläre!|Arbeitsmethode}}
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| Ziehe den Schieberegler:
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| <ggb_applet id="fxpyqqrv" width="1381" height="793" border="888888" />
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| {{Box | Übung 7 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/wurzel.shtml '''Aufgabenfuchs''']
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| * Nr. 16|Üben}}
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| <br>
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| ===4.4 Kubikwurzeln - 3. Wurzel===
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| [[Datei:Würfel_Schrägbild_2.png|alternativtext=|rechts|rahmenlos]]
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| Wenn du die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 8cm³ bestimmen möchtest, muss du die Zahl finden, die dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt:
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| <br>
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| 2<math>\cdot</math>2<math>\cdot</math>2 = 2<sup>3</sup> = 8, die Kubikwurzel ist dann wie folgt definiert:<br>
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| <math>\sqrt[3]{8}</math>=2<br>
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| Die 3. Wurzel aus 8 ist 2. Die 3. Wurzel heißt auch Kubikwurzel (von engl. "cube" = Würfel).
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| {{Box|1=Kubikwurzel - 3. Wurzel|2=Die 3. Wurzel einer Zahl a ist die Zahl b, die dreimal mit sich selbst malgenommen die Zahl a ergibt: b<math>\cdot</math>b<math>\cdot</math>b = a, also gilt <math>\sqrt[3]{a}</math>=b.<br>|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|Übung 8 - Kopfrechnen|Löse aus dem Buch
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| * S. 79 Nr. 11|Üben}}
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| {{Box|Übung 9 - Löse mit dem Taschenrechner|Löse aus dem Buch
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| * S. 79 Nr. 12
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| * S. 79 Nr. 13
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| * S. 79 Nr. 15 (mit Taschenrechner)|Üben}}
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| {{Box|Übung 10 - Anwendungen|Löse aus dem Buch
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| * S. 79 Nr. 14|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=Beachte Schreibweisen:<br>
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| geg: V = 512 cm³; ges: Kantenlänge a<br>
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| a<sup>3</sup> = 512 |<math>\sqrt[3]{}</math><br>
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| a = <math>\sqrt[3]{512}</math><br>
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| a = 8 [cm]|2=Tipp zur Schreibweise|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Beachte, dass du zwei Würfel gegeben hast, also gilt:<br>
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| 2a<sup>3</sup> = 843,75 |:2
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| a<sup>3</sup> = ...|2=Tipp zu Nr. 14b|3=Verbergen}}
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| {{Box | Übung 11 - online|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/wurzel.shtml '''Aufgabenfuchs''']
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| * Nr. 25
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| * Nr. 26
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| * Nr. 27
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| * Nr. 28
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| * Nr. 29|Üben}}
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| {{Fortsetzung|weiter=5) Rechnen mit Quadratwurzeln|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln/Rechnen mit Quadratwurzeln}}
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| ===5.1 Multiplikation und Division===
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| '''Multiplikation und Division von Quadratwurzeln - Herleitung'''<br>
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| Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?<br>
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2"><math>\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=</math>...<math>\cdot</math>... = <br>
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| <math>\tfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}=\tfrac{...}{...}=</math></div>
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| <div class="width-1-2"><math>\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{...}=</math><br>
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| <math>\sqrt{\tfrac{144}{16}}=\sqrt{...}=</math></div>
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| </div><br>
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| {{Box|1=Multiplikation und Division von Wurzeln|2=
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| Für das Produkt von Quadratwurzeln gilt:
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| <math> \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} </math> für <math> a, b \ge 0 </math>
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| Für die Division von Quadratwurzeln gilt:
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| <math>\frac {\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} </math> für <math> a \ge 0 \quad und \quad b>0 </math>|3=Arbeitsmethode}}<br>
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| Schau die Beispielrechnungen im nachfolgenden Video an und bearbeite dann die Übungen.<br>
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| {{#ev:youtube|dNp3ls4cETM|800|center}}<br>
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| {{LearningApp|app=p0uhw9drn19|width=100%|height=600px}}
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| {{Box|Übung 1 (*)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse. Notiere deine Rechnung wie folgt:<br>
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| 2a) <math>\sqrt{0,49\cdot100}=\sqrt{0,49}\cdot\sqrt{100}=0,7\cdot10=7</math> <br>
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| 2b) <math>\sqrt{10}\cdot\sqrt{3,6}=\sqrt{10\cdot3,6}=\sqrt{36}=6</math>
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| ...
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| * S. 81 Nr. 2
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| * S. 81 Nr. 3
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| * S. 81 Nr. 4
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| * S. 81 Nr. 5|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=Ziehe die Wurzel jeweils aus den einzelnen Faktoren, wenn die Faktoren Quadratzahlen sind. <br>
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| Wenn die einzelnen Faktoren keine Quadratzahlen sind, schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen und berechne zunächst das Produkt. Dieses Produkt ist dann in der Regel eine Quadratzahl. <br>
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| Beispiel:<br>
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| 2d) <math>\sqrt{400\cdot0,64}</math> Hier sind beide Faktoren jeweils Quadratzahlen, ziehe also die Wurzel und multipliziere dann die Ergebnisse.<br>
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| 2c) <math>= \sqrt{400}\cdot\sqrt{0,64}
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| = 20 \cdot0,8
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| =16</math><br><math>\sqrt{2,5}\cdot\sqrt{0,9}</math> Hier sind die Zahlen unter der Wurzel (Radikanden) KEINE Quadratzahlen, schreibe also zunächst das Produkt unter eine Wurzel:<br>
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| <math>= \sqrt{2,5\cdot0,9}
| |
| = \sqrt{2,25}
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| </math> Das Produkt 2,25 ist eine Quadratzahl, hier kannst du wieder im Kopf die Wurzel berechnen.<br>
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| = 1,5
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| <br>|2=Entscheidungshilfe: Zuerst Wurzel ziehen oder unter ein Wurzelzeichen schreiben?|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=4a)<br>
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| <math>\sqrt{...} \cdot \sqrt{289}</math> = 34 |Hier siehst du, dass 289 eine Quadratzahl ist, also <br>
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| <math>\sqrt{...} \cdot</math> 17 = 34 <br>
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| Welche Zahl musst du mit 17 multiplizieren, damit das Produkt 34 beträgt? 2! <br>
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| Überlege, welche Zahl unter der Wurzel stehen muss, damit die Wurzel 2 beträgt? 2² = 4! Also:<br>
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| <math>\sqrt{4} \cdot \sqrt{289}</math> = 34<br>
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| 4b)<br>
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| <math>\sqrt{14..} \cdot \sqrt{3}</math> = 21 |Hier siehst du, dass 3 KEINE Quadratzahl ist, also schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen:<br>
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| <math>\sqrt{14..\cdot 3}</math> = <math>\sqrt{21^2}</math> |21² = 441<br>
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| Welche Zahl musst du mit 3 multiplizieren, damit das Produkt 441 beträgt? 147! Also:<br>
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| <math>\sqrt{147} \cdot \sqrt{3}</math> = 21|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}
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| <br>
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| ===5.2 Teilweises Wurzelziehen===
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| <br>
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| {{Box|1=Teilweises Wurzelziehen|2=
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| Durch Zerlegen des Radikanden in ein Produkt, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, kannst du teilweise die Wurzel ziehen:
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| <math>\sqrt{a^2\cdot b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=a\cdot\sqrt{b}</math> für <math> a, b \ge 0 </math>
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{#ev:youtube|wOleeZOyrfE|800|center}}
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| {{Box|Übung 2(**)|Löse die Aufgaben <br>
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| [http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu02.htm '''Übung a''']<br>
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| [http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu03.htm '''Übung b''']|Üben}}
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| <br>
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| {{Box|Übung 3(**)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.
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| * S. 81 Nr. 7
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| * S. 81 Nr. 9|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=Beispielrechnung:<br>
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| <math>\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}</math><br>
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| Idee: Zerlege den Radikanden in ein Produkt, wobei ein Faktor eine QUADRATZAHL ist. Ziehe dann getrennt die Wurzel aus den beiden Faktoren|2=Beispielrechnung zu Nr. 7|3=Verbergen}}
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| {{Box|Übung 4(***)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.
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| * S. 81 Nr. 10
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| * S. 81 Nr. 11
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| * S. 81 Nr. 12|Üben}}
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| {{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br>
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| 10a) <math>\sqrt{9x}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x}=3\sqrt{x}</math> 9 ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.<br>
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| b) <math>\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{a^2}=\sqrt{5}\cdot a</math> a² ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.<br>|2=Beispiel zu Nr. 10|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=und nun wird es schwieriger<br>
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| f)<math>\sqrt{27s^2t^3} = \sqrt{9\cdot3s^2t^2t} = 3st\sqrt{3t}</math><br>Zerlege die Faktoren in Quadratzahlen und ziehe dann die Wurzel aus den einzelnen Faktoren.|2=Tipp zu 10f|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <math>\sqrt{\tfrac{x^3}{9y}} = \tfrac{\sqrt{x^2x}}{\sqrt{9}\sqrt{y}} = \tfrac{x\sqrt{x}}{3\sqrt{y}}</math><br>
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| Auch hier ist die Idee, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte aus Quadratzahlen zu zerlegen und dann einzeln die Wurzel zu ziehen.|2=Tipp zu 10h|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br>
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| 11a)<math>\sqrt{\tfrac{2y^2}{18}}=\sqrt{\tfrac{1y^2}{9}}=\tfrac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{y^2}}{\sqrt{9}}=\tfrac{y}{3}</math> Kürze zuerst, dann ziehe so weit wie möglich die Wurzel.<br>
| |
| 11d) <math>\sqrt{\tfrac{24a}{8a^3}}=\sqrt{\tfrac{3}{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{a}</math> Hier ist nur a² die Quadratzahl, du musst also teilweise die Wurzel ziehen.|2=Beispiele zu Nr. 11|3=Verbergen}}
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| <br>
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| <br>
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| ===5.3 Addition und Subtraktion (Vorsicht!)===
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| Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?<br>
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2"><math>\sqrt{64} + \sqrt{36}=... + ... = ...</math>
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| </div>
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| <div class="width-1-2"><math>\sqrt{64 + 16}=\sqrt{...}= ...</math>
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| </div>
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| </div><br>
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| Bei der Addition und Subtraktion lassen sich die Radikanden '''NICHT!!!''' unter einer Wurzel zusammenfassen!
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| __INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__
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