Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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SEITE IM AUFBAU, NUR IDEENSAMMLUNG!!
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}


[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}}
<br>
{{Box|Exponentialfunktion|In diesem Lernpfad  lernst du
{{Box|Exponentialfunktion|In diesem Lernpfad  lernst du
* was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet
* was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet
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Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differenzierende Ausgabe - Klett-Verlag|Lernpfad}}
Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differenzierende Ausgabe - Klett-Verlag|Lernpfad}}


{{Box|Wachstum und Abnahme|Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.<br>
Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?|Meinung}}
{{Lösung versteckt|Mögliche Antworten:<br>
* Bevölkerungswachstum
* Bakterienwachstum
* Haarwachstum
* Druckzunahme je nach Meerestiefe
* Temperaturanstieg
* Sprunghöhe Flummi
* Zerfall von Bierschaum
* Kerzenhöhe je nach Dauer
* Lichtintensität
* Wertverlust bei Neuwagen|Mögliche Anworten|Verbergen}}


==1 Lineares und exponentielles Wachstum==
Damit du erfolgreich ins Thema Körper einsteigen kannst, solltest du folgendes Vorwissen besitzen:
Sparmodell (vgl. Zinseszins)
 
Erinnerung: Sparmodelle
 
===1) Einstieg: Sparschwein===
{| class="wikitable"
{{Box|Sparschwein|Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.|Arbeitsmethode}}
 
<div class="grid">
|-
<div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div>
 
<div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div>
! style="width:40%;" |Ich kann ...
</div>
 
<br>
! style="width:10%;" |Buch S. 66
<div class="grid">
 
<div class="width-1-2">1. Möglichkeit:<br> Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.<br>
!Übungen online
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
|-
{{(!}} class=wikitable
| - Prozente in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt
{{!-}}
|Nr. 1
{{!}} Jahre
|{{LearningApp|app=pkhjyustj21|width=100%|height=100px}}{{LearningApp|app=p6a1cuvet21|width=100%|height=100px}}
{{!}} Guthaben(€)
|-
{{!-}}
| - den Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert berechnen.
{{!}} 0
|Nr. 2
{{!}} 1000
|{{LearningApp|app=pd83efk6t20|width=100%|height=150px}}{{LearningApp|app=pu4us6qqc20|width=100%|height=150px}}
{{!-}}
{{LearningApp|app=11309986|width=100%|height=150px}}
{{!}} 1
|-
{{!}} 1050
| - den vermehrten bzw. verminderten Prozentsatz und Grundwert berechnen.
{{!-}}
|Nr. 3
{{!}} 2
|{{#ev:youtube|RAKS6Iad9lQ|200}}{{#ev:youtube|gq0clIHMgiY|200}}{{#ev:youtube|vQAjV3g8Frw|200}}
{{!}} 1100
{{LearningApp|app=p4oz355ra20|width=100%|height=100px}}{{LearningApp|app=pqnvfsxta20|width=100%|height=100px}}
{{!-}}
|-
{{!}} 3
| - mit Potenzen und Wurzeln rechnen
{{!}} 1150
|Nr. 4, 5
{{!-}}
|{{LearningApp|app=p09gchx5c19|width=100%|height=150px}}{{LearningApp|app=pbxaqe6ja20|width=100%|height=150px}}
{{!}} ...
|-
{{!}} ...
| - lineare und quadratische Funktionen darstellen (Text, Wertetabelle, Geichung, Graph)
{{!-}}
|Nr. 6, 7
{{!}} 18
|{{LearningApp|app=parhhe1zt20|width=100%|height=150px}}
{{!}} ...
{{LearningApp|app=ph9posdfa19|width=100%|height=150px}}
{{!)}}
|-
</div>
|}
<div class="width-1-2">2. Möglichkeit: <br>Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.<br>
Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!
K = 1000€; p% = 5% = 0,05<br>
 
{{(!}} class=wikitable
Bist du nun fit? Kreuze die richtigen Antworten an.
{{!-}}
<quiz display="simple">
{{!}} Jahre
{Aufgabe 1 - Prozentangaben
{{!}} Guthaben(€)
a) 25% entsprechen als Dezimalzahl:}
{{!-}}
- 0,025 
{{!}} 0
+ 0,25 
{{!}} 1000
- 2,5 
{{!-}}
- 25
{{!}} 1
 
{{!}} 1050
{b) 0,8 entspricht als Prozentangabe:}
{{!-}}
- 0,8%
{{!}} 2
- 8% 
{{!}} 1102,50
+ 80% 
{{!-}}
- 800%
{{!}} 3
 
{{!}} 1157,625
{c) 175% entsprechen als Dezimalzahl:}
{{!-}}
- 0,175
{{!}} ...
+ 1,75 
{{!}} ...
- 17,5 
{{!-}}
- 175
{{!}} 18
 
{{!}} ...
{Aufgabe 2 - Prozentwertberechnung
{{!)}}
a) 30% von 90€ sind:}
</div>
+ 27€
</div>
- 30€ 
Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02<br>
- 33€ 
{{#ev:youtube|RPFoUkR9PvA|800|center|||start=160&end=210}}
- 36€
<br>
 
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
{b) 45% von 200kg sind:}
<div class="grid">
- 80kg
<div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
+ 90kg 
K<sub>18</sub> = ...</div>
- 100kg 
  <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
- 110kg
K<sub>18</sub> = ...</div>
 
</div>
{c) 12,5% von 640m sind:}
<br>
- 70m
{{Box|Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins|Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.<br>
- 75m 
Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals. <br>
+ 80m 
blau: einfache Verzinsung<br>
- 85m
rot: Zinseszins<br>
 
Was fällt dir auf?|Arbeitsmethode}}
{Aufgabe 3 - Prozentuale Veränderung
<ggb_applet id="prrakbnx" width="900" height="700" border="888888" />
a) Ein Wert von 100€ steigt um 20%. Der neue Wert beträgt:}
<small>nach Pöchtrager
- 110€
</small>
+ 120€ 
- 130€ 
- 140€
 
{b) Ein Wert von 250€ sinkt um 40%. Der neue Wert beträgt:}
+ 150€
- 160€  
- 170€ 
- 180€
 
{c) Ein Wert steigt von 80 auf 100. Die prozentuale Steigerung beträgt:}
- 20%
+ 25% 
- 30% 
- 35%
 
{Aufgabe 4 - Potenzrechnung
a) (2³)² =}
- 32
- 48 
+ 64 
- 96


<br>
{b) 2⁴ · 2³ =}
+ 2⁷
- 2¹² 
- 64 
+ 128
{c) (2⁴)³ =}
- 2⁷
+ 2¹² 
- 64 
+ 4096
{Aufgabe 5 - Wurzelrechnung
a) √36 =}
+ 6 
- 8 
- 9
- 12


{{Box|1=Hefteintrag: Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden  in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br>
{b) √225 =}
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br>
- 12
'''<big>K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ (1+p%)<sup>n</sup><br>
- 13 
<br>
- 14 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''= K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; mit q = 1+p%'''</big>'''<br>
+ 15
<br>
Beispiel:<br>
geg: K<sub>0</sub> = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre<br>
ges: K<sub>n</sub> (Kapital nach n Jahren)<br>
<br>
K<sub>18</sub> = 1000 ∙ 1,05<sup>18</sup><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 2406,62 (€)<br>
Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br>
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=132&end=193}}|Video zum Zusammenhang zwischen p% und q (bei Bedarf)|Verbergen}}


<br>
{c) ∛27 =}
- 2 
+ 3 
- 4
- 6


Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
{Aufgabe 6 - Steigung berechnen
<br>
a) Die Steigung zwischen den Punkten (2,3) und (4,7) beträgt:}
- 1 
+ 2 
- 3
- 4


==2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor==
{b) Die Steigung der Funktion f(x)=2x+1 beträgt:}
{{Box|1=Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|2=Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br>
- 1
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr '''um'''''' 5%'''. Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.<br>
+ 2  
Das Kapital wächst also '''auf das 1,05-Fache'''.<br>
- 3  
Dies ist der''' Wachstumsfaktor q '''= 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:<br>
- 4
q = 100% + p%<br>
Das neue Kapital/den neuen Wert W<sub>1</sub> berechnest du also mit der Gleichung:<br>
K<sub>1</sub> = K<sub>0</sub> · q oder <br>
W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q|3=Arbeitsmethode}}
<br>
{{LearningApp|app=17054417|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=p4md60yua21|width=100%|height=600px}}
<br>
Beispiele<br>
1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.<br>
Geg: W<sub>0</sub> = 550; Wachstumsrate p% = 8% <br>
Ges: W<sub>1</sub> ; q<br>
Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.<br>
Wachstumsfaktor q     &nbsp;&nbsp;&nbsp;     q = 1 + p%    <br>           
Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:<br>
W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q              <br>
W<sub>1</sub>= 550 ∙ 1,08<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 594 (Schüler)<br>
Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.<br>


2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2007 bis 2008 von 440 auf 462. Bestimme die Wachstumsrate.<br>
{c) Der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x)=2x+1 beträgt::}
Geg: W<sub>0</sub> = 440; W<sub>1</sub> = 462<br>
+ 1
Ges: p% Wachstumsrate<br>
- 2 
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:<br>
- 3
Wachstumsrate:     p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{462 - 440}{440}</math> = 0,05 = 5%<br>
- 4
Wachstumsfaktor: q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{462}{440}</math> = 1,05        (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)<br>
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05           ( Probe: 440 ∙ 1,05 = 462)<br>
{Aufgabe 7 - Funktionen
a) Der Scheitelpunkt der Funktion f(x)=x²+2 liegt bei:}
- (0,0)  
+ (0,2) 
- (2,0) 
- (2,2)


IDEE LearningApp mit Anwendungsaufgaben zur Bestimmung von p% und q (noch erstellen!)<br>
{b) Die Funktion f(x)=2x² schneidet die y-Achse bei:}
+ (0,0)
- (0,2) 
- (2,0) 
- (2,2)


{c) Die Nullstellen von f(x)=x²-4 liegen bei:}
- x₁,₂=±1
+ x₁,₂=±2 
- x₁,₂=±3 
- x₁,₂=±4
</quiz>


== Exponentielles Wachstum ==
{{Fortsetzung|weiter=1) Wachstum und Abnahme|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum}}
Einstieg Weltbevölkerung

Aktuelle Version vom 21. November 2024, 17:34 Uhr

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Schullogo HLR.jpg


Exponentialfunktion

In diesem Lernpfad lernst du

  • was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet
  • worin sich lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden
  • was eine Exponentialfunktion ist
  • Anwendungen zur Exponentialfunktion kennen
Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differenzierende Ausgabe - Klett-Verlag


Damit du erfolgreich ins Thema Körper einsteigen kannst, solltest du folgendes Vorwissen besitzen:


Ich kann ... Buch S. 66 Übungen online
- Prozente in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt Nr. 1

- den Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert berechnen. Nr. 2


- den vermehrten bzw. verminderten Prozentsatz und Grundwert berechnen. Nr. 3
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- mit Potenzen und Wurzeln rechnen Nr. 4, 5

- lineare und quadratische Funktionen darstellen (Text, Wertetabelle, Geichung, Graph) Nr. 6, 7


Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!

Bist du nun fit? Kreuze die richtigen Antworten an.

1 Aufgabe 1 - Prozentangaben a) 25% entsprechen als Dezimalzahl:

0,025
0,25
2,5
25

2 b) 0,8 entspricht als Prozentangabe:

0,8%
8%
80%
800%

3 c) 175% entsprechen als Dezimalzahl:

0,175
1,75
17,5
175

4 Aufgabe 2 - Prozentwertberechnung a) 30% von 90€ sind:

27€
30€
33€
36€

5 b) 45% von 200kg sind:

80kg
90kg
100kg
110kg

6 c) 12,5% von 640m sind:

70m
75m
80m
85m

7 Aufgabe 3 - Prozentuale Veränderung a) Ein Wert von 100€ steigt um 20%. Der neue Wert beträgt:

110€
120€
130€
140€

8 b) Ein Wert von 250€ sinkt um 40%. Der neue Wert beträgt:

160€
170€
180€

9 c) Ein Wert steigt von 80 auf 100. Die prozentuale Steigerung beträgt:

20%
25%
30%
35%

10 Aufgabe 4 - Potenzrechnung a) (2³)² =

32
48
64
96

11 b) 2⁴ · 2³ =

2⁷
2¹²
64
128
2⁷
2¹²
64
4096

12 Aufgabe 5 - Wurzelrechnung a) √36 =

6
8
9
12

13 b) √225 =

12
13
14
15

14 c) ∛27 =

3
4
6

15 Aufgabe 6 - Steigung berechnen a) Die Steigung zwischen den Punkten (2,3) und (4,7) beträgt:

1
2
3
4

16 b) Die Steigung der Funktion f(x)=2x+1 beträgt:

1
2
3
4

17 c) Der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x)=2x+1 beträgt::

1
2
3
4

18 Aufgabe 7 - Funktionen a) Der Scheitelpunkt der Funktion f(x)=x²+2 liegt bei:

(0,0)
(0,2)
(2,0)
(2,2)

19 b) Die Funktion f(x)=2x² schneidet die y-Achse bei:

(0,0)
(0,2)
(2,0)
(2,2)

20 c) Die Nullstellen von f(x)=x²-4 liegen bei:

x₁,₂=±1
x₁,₂=±2
x₁,₂=±3
x₁,₂=±4


1) Wachstum und Abnahme
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