Benutzer:C.Schroer/Quadratische Funktionen untersuchen: Unterschied zwischen den Versionen
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in der Scheitelpunktform f(x) = a (x - d)<sup>2</sup> + e und der Normalform f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c darstellen. | in der Scheitelpunktform f(x) = a (x - d)<sup>2</sup> + e und der Normalform f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c darstellen. | ||
===Die Scheitelpunktform und was man an ihr ablesen kann.=== | ===Die Scheitelpunktform und was man an ihr ablesen kann.=== | ||
An der Scheitelpunktform '''f(x) = a (x - d)<sup>2</sup> + e''' kann man den Scheitelpunkt '''S (d| e)''' ablesen. | An der Scheitelpunktform '''f(x) = a (x - d)<sup>2</sup> + e''' kann man den Scheitelpunkt '''S (d| e)''' ablesen. | ||
{{Box|Merke|Der Faktor a heißt Streckungsfaktor des Graphens. <u>Es gilt:</u> | {{Box|Merke|Der Faktor a heißt Streckungsfaktor des Graphens. <u>Es gilt:</u> | ||
Ist a < 0, so ist die Parabel nach oben geöffnet. | Ist a < 0, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a< 0, so ist die Parabel nach unten geöffnet. | ||
Ist a< 0, so ist die Parabel nach unten geöffnet. | |||
Ist {{!}}a{{!}} < 1, so ist die Parabel gestaucht (weiter als die Normalparabel). | Ist {{!}}a{{!}} < 1, so ist die Parabel gestaucht (weiter als die Normalparabel). | ||
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===Die Normalform und was man an ihr ablesen kann.=== | ===Die Normalform und was man an ihr ablesen kann.=== | ||
An der Normalform '''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c''' kann man den Schnittpunkt mit der y-Achse '''Sy (0|c)''' ablesen. | |||
===Scheitelpunktform in Normalform umwandeln mithilfe der binomischen Formeln=== | ===Scheitelpunktform in Normalform umwandeln mithilfe der binomischen Formeln=== | ||
Die Klammer (x - d) <sup>2</sup> kann man mithilfe der 1. oder 2. binomischen Formel auflösen, fasst man dann zusammen, erhält man die Normalform. | |||
<u>Beispiel:</u> | |||
4(x + 5) <sup>2</sup> + 6 | |||
= 4(x<sup>2</sup> + 10x + 25) + 6 (Anwenden der 1. Binomischen Formel) | |||
= 4x<sup>2</sup> + 40x + 100 + 6 (Distributivgesetz) | |||
= 4x<sup>2</sup> + 40 x + 106 ("Aufräumen") | |||
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===Normalform in Scheitelpunktform umwandeln durch quadratische Ergänzung=== | ===Normalform in Scheitelpunktform umwandeln durch quadratische Ergänzung=== | ||
Wenn man die Normalform hat, erhält man die Scheitelpunktform, indem man sich wieder die Klammer (x -d)<sup>2</sup> "bastelt". Dies gelingt durch gezielte Ergänzung eines geeigneten Summanden, (quadratische Ergänzung), den man aber sofort wieder ausgleichen muss. | |||
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Wenn die Normalform einen Streckungsfaktor a<math>\neq</math>1 enthält, muss man neben der quadratischen Ergänzung auch noch das Distributivgesetz anwenden. In dem folgenden Video wird dies etwas anders erklärt als wir das im Unterricht gemacht haben: Die Zahl "5" wird hier nicht mit in die Distributivklammer gepackt, aber am Ende erhält man dasselbe Ergebnis. | |||
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===Funktionsgleichung aufstellen, wenn zwei oder drei Punkte gegeben sind=== | ===Funktionsgleichung aufstellen, wenn zwei oder drei Punkte gegeben sind=== | ||
====Der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt ist gegeben==== | ====Der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt ist gegeben==== | ||
{{Box|Merke|Ist der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, startet man auch mit der Scheitelpunktform.|Merksatz | |||
}}Dies ist im Schulbuch auf Seite 13, Beispiel 2, ganz gut beschrieben. Außerdem hilft dir hoffentlich das folgende Video. | |||
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====Der Schnittpunkt mit der y-Achse P (0|c) und zwei weitere Punkte sind gegeben==== | ====Der Schnittpunkt mit der y-Achse P (0|c) und zwei weitere Punkte sind gegeben==== | ||
{{Box|Merke|Ist der Scheitelpunkt nicht mit angegeben, startet man mit der Normalform.|Merksatz | |||
}}Im Schulbuch ist das Verfahren auf Seite 13, Beispiel 2, dargestellt. Das folgende Video hilft dir hoffentlich auch. | |||
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===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen=== | ===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen=== | ||
====Schnittpunkte mit der y-Achse==== | ====Schnittpunkte mit der y-Achse==== | ||
Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhält man recht einfach, wenn die Funktionsgleichung in Normalform gegeben hat. | |||
<br />{{Box|Merke|<nowiki>Ist f(x) = ax2 + bx + c gegeben, so ist der Punkt Sy = (0|c) der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse.</nowiki> | |||
Ist die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform angegeben, so muss diese zuerst in die Normalform umgewandelt werden, damit man den y-Achsenabschnitt c und damit den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen kann. |Merksatz | |||
}} | |||
====Schnittpunkte mit der x-Achse==== | |||
Will man die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse berechnen, so untersucht man, für welche x die Gleichung f(x) = 0 gelöst wird. Man sagt: '''Man berechnet die Nullstellen.''' | |||
Je nachdem, welche Form die Funktionsgleichung hat, sind die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 mehr oder weniger einfach zu finden. {{Box|Beachte 1|Wurzelt man bei einer Gleichung auf beiden Seiten, so ergeben sich immer zwei Lösungen, einmal die positive Wurzel, einmal die negative Wurzel. | |||
Wurzeln kann man aber nur, wenn die Zahl, die man wurzeln will, positiv ist.|Hervorhebung1 | |||
}} | |||
=====Fall 1: f(x) = x<sup>2</sup> + c bzw. f(x) = ax<sup>2</sup> + c===== | |||
Betrachte hierzu Beispiel a) auf Seite 22 im Schulbuch. | |||
==== | =====Fall 2: f(x) = ax<sup>2</sup> + bx===== | ||
Hier klammert man "ax" aus, so dass man ein Produkt erhält. Dann kann man die Nullstellen ablesen. | |||
<u>Beispiel:</u> | |||
3x<sup>2</sup> + 6x = 0 | |||
<math>\Longleftrightarrow</math>3x • (x + 2) = 0 (Distributivgesetz) | |||
<math>\Longleftrightarrow</math>x = 0 oder x = - 2 | |||
Betrachte hierzu auch Beispiel b) auf Seite 22 im Schulbuch. | |||
=====Fall 3: f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c===== | |||
Betrachte hierzu Beispiel b) auf Seite 25 im Schulbuch. (Anmerkung: Die zeichnerische Lösung ist nur dann interssant, wenn du den GTR nutzen darst. Ansonsten geht es rechnersich meist schneller) | |||
Grundsätzlich ist zu sagen: Man bastelt aus der Gleichung erst durch quadratische Ergänzung die Form ( x + d )<sup>2</sup> = e und löst dann durch quadrieren und " - d". {{#ev:youtube|seENLoRUaiE|460|center}} | |||
Man kann diese allgemeine quadratische Gleichungen aber auch mit der pq-Formel lösen. | |||
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Alle möglichen Fälle und die jeweiligen Lösungswege stellt Daniel Jung im folgenden Video gut dar.{{#ev:youtube|cIEyY-kE_Rc|460|center}} | |||
===Textaufgaben=== | ===Textaufgaben=== | ||
Da haben wir im Unterricht verschiedene behandelt. Es gibt verschiedene Typen | |||
* '''Typ 1''': Im Text stehen verschiedene Informationen, aus denen man Punkte herauslesen kann. Mit diesen Punkten erstellt man dann die Funktionsgleichung | |||
Beispiele aus dem Unterricht: Buch Seite 16 Nr. 11 (Tennisfeld), Nr. 13 (Triumphbogen), Seite 17 Nr. 17 (Rakete) | |||
<br /> | |||
* '''Typ 2:''' Die Funktionsgleichung ist gegeben. Es sind Fragen im Sachzusammenhang, die man mit der Funktionsgleichung mathematisch lösen kann. | |||
z.B. | |||
# Wie weit fliegt der Ball, wann erreicht der Ball den Erdboden? (NULLSTELLE gesucht) | |||
# Wie hoch ist der Ball maximal, nach wie viel Metern ist er so hoch? (SCHEITELPUNKT gesucht) | |||
# Wie hoch ist der Ball, wenn er horizontal 3 m geflogen ist (FUNKTIONSWERT an der Stelle x= 3 gesucht) | |||
# Wie hoch ist der Ball in dem Augenblick, wenn er abgeworfen wird? (Startwert, f(0) gesucht) | |||
Beispiele aus dem Unterricht: Seite 20 Nr. 7 (Fußball, Freistoßmauer), Seite 21 Nr. 8 (Golfball), Seite 21 Nr. 9 (Hängebrücke) | |||
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Aktuelle Version vom 8. Dezember 2020, 20:44 Uhr
Quadratische Funktionen untersuchen
Quadratische Funktionen erkennt man daran, dass die Funktionsgleichungen eine bestimmte Form haben, in der die Variable im Quadrat vorkommt. Graphen quadratischer Funktionen nennt man Parabeln. Sie sind immer gebogen und spiegelsymmetrisch. Ihren tiefsten/ höchsten Punkt nennt man Scheitelpunkt.
Man kann quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform f(x) = a (x - d)2 + e und der Normalform f(x) = ax2 + bx + c darstellen.
Die Scheitelpunktform und was man an ihr ablesen kann.
An der Scheitelpunktform f(x) = a (x - d)2 + e kann man den Scheitelpunkt S (d| e) ablesen.
Die Normalform und was man an ihr ablesen kann.
An der Normalform f(x) = ax2 + bx + c kann man den Schnittpunkt mit der y-Achse Sy (0|c) ablesen.
Scheitelpunktform in Normalform umwandeln mithilfe der binomischen Formeln
Die Klammer (x - d) 2 kann man mithilfe der 1. oder 2. binomischen Formel auflösen, fasst man dann zusammen, erhält man die Normalform.
Beispiel:
4(x + 5) 2 + 6
= 4(x2 + 10x + 25) + 6 (Anwenden der 1. Binomischen Formel)
= 4x2 + 40x + 100 + 6 (Distributivgesetz)
= 4x2 + 40 x + 106 ("Aufräumen")
Normalform in Scheitelpunktform umwandeln durch quadratische Ergänzung
Wenn man die Normalform hat, erhält man die Scheitelpunktform, indem man sich wieder die Klammer (x -d)2 "bastelt". Dies gelingt durch gezielte Ergänzung eines geeigneten Summanden, (quadratische Ergänzung), den man aber sofort wieder ausgleichen muss.
Wenn die Normalform einen Streckungsfaktor a1 enthält, muss man neben der quadratischen Ergänzung auch noch das Distributivgesetz anwenden. In dem folgenden Video wird dies etwas anders erklärt als wir das im Unterricht gemacht haben: Die Zahl "5" wird hier nicht mit in die Distributivklammer gepackt, aber am Ende erhält man dasselbe Ergebnis.
Funktionsgleichung aufstellen, wenn zwei oder drei Punkte gegeben sind
Der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt ist gegeben
Dies ist im Schulbuch auf Seite 13, Beispiel 2, ganz gut beschrieben. Außerdem hilft dir hoffentlich das folgende Video.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse P (0|c) und zwei weitere Punkte sind gegeben
Im Schulbuch ist das Verfahren auf Seite 13, Beispiel 2, dargestellt. Das folgende Video hilft dir hoffentlich auch.
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Schnittpunkte mit der y-Achse
Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhält man recht einfach, wenn die Funktionsgleichung in Normalform gegeben hat.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Will man die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse berechnen, so untersucht man, für welche x die Gleichung f(x) = 0 gelöst wird. Man sagt: Man berechnet die Nullstellen.
Je nachdem, welche Form die Funktionsgleichung hat, sind die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 mehr oder weniger einfach zu finden.
Fall 1: f(x) = x2 + c bzw. f(x) = ax2 + c
Betrachte hierzu Beispiel a) auf Seite 22 im Schulbuch.
Fall 2: f(x) = ax2 + bx
Hier klammert man "ax" aus, so dass man ein Produkt erhält. Dann kann man die Nullstellen ablesen.
Beispiel:
3x2 + 6x = 0
3x • (x + 2) = 0 (Distributivgesetz)
x = 0 oder x = - 2
Betrachte hierzu auch Beispiel b) auf Seite 22 im Schulbuch.
Fall 3: f(x) = ax2 + bx + c
Betrachte hierzu Beispiel b) auf Seite 25 im Schulbuch. (Anmerkung: Die zeichnerische Lösung ist nur dann interssant, wenn du den GTR nutzen darst. Ansonsten geht es rechnersich meist schneller)
Grundsätzlich ist zu sagen: Man bastelt aus der Gleichung erst durch quadratische Ergänzung die Form ( x + d )2 = e und löst dann durch quadrieren und " - d".
Man kann diese allgemeine quadratische Gleichungen aber auch mit der pq-Formel lösen.
Alle möglichen Fälle und die jeweiligen Lösungswege stellt Daniel Jung im folgenden Video gut dar.
Textaufgaben
Da haben wir im Unterricht verschiedene behandelt. Es gibt verschiedene Typen
- Typ 1: Im Text stehen verschiedene Informationen, aus denen man Punkte herauslesen kann. Mit diesen Punkten erstellt man dann die Funktionsgleichung
Beispiele aus dem Unterricht: Buch Seite 16 Nr. 11 (Tennisfeld), Nr. 13 (Triumphbogen), Seite 17 Nr. 17 (Rakete)
- Typ 2: Die Funktionsgleichung ist gegeben. Es sind Fragen im Sachzusammenhang, die man mit der Funktionsgleichung mathematisch lösen kann.
z.B.
- Wie weit fliegt der Ball, wann erreicht der Ball den Erdboden? (NULLSTELLE gesucht)
- Wie hoch ist der Ball maximal, nach wie viel Metern ist er so hoch? (SCHEITELPUNKT gesucht)
- Wie hoch ist der Ball, wenn er horizontal 3 m geflogen ist (FUNKTIONSWERT an der Stelle x= 3 gesucht)
- Wie hoch ist der Ball in dem Augenblick, wenn er abgeworfen wird? (Startwert, f(0) gesucht)
Beispiele aus dem Unterricht: Seite 20 Nr. 7 (Fußball, Freistoßmauer), Seite 21 Nr. 8 (Golfball), Seite 21 Nr. 9 (Hängebrücke)
