Laplace Aufgaben/Larissa

Laplace-Experimente

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Experiment.

Bei n Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment für jedes Ergebnis $\tfrac{1}{n}$.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit von mehreren Ergebnissen ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlichkeit von jedem einzelnen Ergebnis.

Aufgabe 1: Kartenspiel

Bei einem Skatkartenspiel gibt es 12 Bildkarten. Es gibt 4 Buben, 4 Damen und 4 Könige. Karo und Herz werden auch „rote Karten“ genannt und Pik und Kreuz auch „schwarze Karten“. Berechne nun die Wahrscheinlichkeit, mit der du die angegebene Karte aus den 32 Spielkarten ziehst.

a) Dame

b) Kreuz-Karte

Es gibt insgesamt 8 Kreuz-Karten.

c) Schwarze Karte

Es gibt insgesamt 16 schwarze Karten.

a) Die Gesamtmenge der Karten beträgt 32. Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Karte beträgt also $\tfrac{1}{32}$. (Laplace)

E = Eine Dame wird gezogen

Für das Ereignis eine Dame zu ziehen gibt es insgesamt 4 Karten. Also 4 mögliche Ergebnisse, dessen Wahrscheinlichkeiten nach der Summenregel addiert werden können.

P(E) = $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ = 4 * $\tfrac{1}{32}$ = $\tfrac{4}{32}$ = $\tfrac{1}{8}$

b) E = Eine Kreuzkarte wird gezogen

Es gibt insgesamt 8 Kreuz-Karten.

Also gilt mit der Summenregel: P(E) = $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ + $\tfrac{1}{32}$ = 8 * $\tfrac{1}{32}$ = $\tfrac{8}{32}$ = $\tfrac{1}{4}$

c) E = Eine schwarze Karte wird gezogen.

Es gibt 8 Pik und 8 Kreuz-Karten, also insgesamt 16 schwarze Karten.

Also gilt mit der Summenregel: P(E) = 16 * $\tfrac{1}{32}$ = $\tfrac{16}{32}$ = $\tfrac{1}{2}$

Aufgabe 2: Scrabble

Bei einem Spieleabend wird Scrabble gespielt. Sieh dir die beiden bereits gelegten Wörter an. Die dafür verwendeten Steine werden in einen leeren Sack gelegt. Gehe davon aus, dass die Spielsteine alle dieselbe Größe und Beschaffenheit haben.

Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit folgende Steine zu ziehen?

a) Es wird ein D gezogen.

Es gibt insgesamt 13 Spielsteine.

b) Es wird ein N gezogen.

c) Es wird ein O gezogen.

d) Es wird ein Vokal gezogen.

Die Vokale im Deutschen werden durch die Buchstaben a, e, i, o, u und durch die Umlaute ä, ö und ü gebildet.

a) Insgesamt gibt es 13 Spielsteine. Aufgrund der übereinstimmenden Größe und Beschaffenheit der Steine, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Spielstein gleich und beträgt $\tfrac{1}{13}$. Aus diesem Grund handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Laplace Experiment.

E = Es wird ein D gezogen.

Da unter den Steinen nur einmal der Buchstabe D vorhanden ist gilt: P(E) = $\tfrac{1}{13}$.

b) E = Es wird ein N gezogen.

Es gibt zwei Spielsteine mit dem Buchstaben N, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{13}$ gezogen werden.

Wegen der Summenregel für Laplace-Experimente können die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Ergebnisse bzw. Spielsteine für das Ereignis addiert werden.

Es gilt also: P(E) = $\tfrac{1}{13}$ + $\tfrac{1}{13}$ = $\tfrac{2}{13}$

c) E = Es wird ein O gezogen.

Es gibt insgesamt 3 Spielsteine mit dem Buchstaben N, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{13}$ gezogen werden. Wegen der Summenregel für Laplace-Experimente können die Wahrscheinlichkeiten der drei möglichen Ergebnisse bzw. Spielsteine für das Ereignis addiert werden.

Es gilt also: P(E) = $\tfrac{1}{13}$ + $\tfrac{1}{13}$ + $\tfrac{1}{13}$ = $\tfrac{3}{13}$

d) E = Es wird ein Vokal gezogen.

Insgesamt gibt es einen Spielstein mit A und drei mit einem O. Die restlichen Vokale sind nicht vorhanden.

Somit folgt mit der Summenregel: P(E) = $\tfrac{1}{13}$ + $\tfrac{3}{13}$ = $\tfrac{4}{13}$

Aufgabe 3: Würfeln

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass…

a) …ein Pasch gewürfelt wird?

b) …die Differenz der Augenzahlen gleich drei ist?

Überlege dir, welche Zahlenkombinationen zu einer Differenz von 3 führen. Denke insbesondere daran, dass die einzelnen Kombinationen jeweils in zwei unterschiedlichen Reihenfolgen gewürfelt werden können.

c) …die Summe der Augenzahlen eine Primzahl ist?

Primzahl: ganze Zahl, die größer als 1 und nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Die Primzahlen, die mit zwei Würfeln erreicht werden können, sind die 2, 3, 5, 7 und 11. Überlege dir jetzt, mit welchen der möglichen Zahlenkombinationen von zwei Würfeln man mithilfe der Addition auf diese Primzahlen kommt.

Mit jeder Zahl kann ein Pasch geworfen werden. Es gibt demnach insgesamt 6 verschiedene Pasche. Da die jeweiligen Zahlen identisch sind, ist die Reihenfolge nicht zu betrachten.

Das Ereignis ist also: E = { {1,1}; {2,2}; {3,3}; {4,4}; {5,5}; {6,6} }

Es gibt somit insgesamt 6 verschiedene Ergebnisse für das Ereignis. Die einzelnen Ergebnisse haben alle eine Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{36}$, da es mit zwei Würfeln insgesamt 36 verschiedene Zahlenkombinationen gibt.

Also folgt mit der Summenregel: P(E) = $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ = 6 * $\tfrac{1}{36}$ = $\tfrac{6}{36}$ = $\tfrac{1}{6}$

Es gibt drei unterschiedliche Kombinationen von Zahlen, deren Differenz 3 beträgt. Die 4 und 1, die 5 und 2 & die 6 und 3. Die einzelnen Kombinationen können jeweils in zwei unterschiedlichen Reihenfolgen geworfen werden.

Das Ereignis ist also: E = { {1,4}; {4,1}; {2,5}; {5,2}; {3,6}; {6,3} }

Es gibt somit insgesamt 6 verschiedene Ergebnisse für das Ereignis. Die einzelnen Ergebnisse haben alle eine Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{36}$, da es mit zwei Würfeln insgesamt 36 verschiedene Zahlenkombinationen gibt.

Also folgt mit der Summenregel: P(E) = $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ + $\tfrac{1}{36}$ = 6 * $\tfrac{1}{36}$ = $\tfrac{6}{36}$ = $\tfrac{1}{6}$

Die Primzahlen, die mit zwei Würfeln erreicht werden können, sind die 2, 3, 5, 7 und 11. Es gibt 8 unterschiedliche Kombinationen von Zahlen, deren Summe eine dieser Primzahlen ist. Die 1+1, die 1+2, die 1+4, die 1+6, die 2+3, die 2+5, die 3+4 und die 5+6. Die einzelnen Kombinationen können jeweils in zwei unterschiedlichen Reihenfolgen geworfen werden, außer das 1er-Pasch.

Das Ereignis ist also: E = { {1,1}; {1,2}; {2,1}; {1,4}; {4,1}; {1,6}; {6,1}; {2,3}; {3,2}; {2,5}; {5,2}; {3,4}; {4,3}; {5,6}; {6,5} }

Es gibt somit insgesamt 15 verschiedene Ergebnisse für das Ereignis. Die einzelnen Ergebnisse haben alle eine Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{36}$, da es mit zwei Würfeln insgesamt 36 verschiedene Zahlenkombinationen gibt.

Also folgt mit der Summenregel: P(E) = 15 * $\tfrac{1}{36}$ = $\tfrac{15}{36}$

Aufgabe 4: Mensch ärgere dich nicht

Markus und Julia spielen „Mensch ärgere dich nicht“. Sieh dir die aktuelle Spielsituation an.

Die rote Spielfigur gehört Markus und die grüne Julia.

Julia sagt: „Deine Chance in dein Haus zu kommen ist beim nächsten Wurf viel größer als meine.“

a) Hat Julia recht mit ihrer Behauptung?

Überlege dir, welche Zahlen Markus und Julia würfeln können, um in das Haus zu kommen.

b) Ändert sich etwas an der Behauptung, wenn beide einmal an der Reihe waren, aber nicht ins Haus gesetzt werden konnte?

Für Markus bedeutet dies, dass er immer noch an derselben Position steht. Welche Zahlen kann Julia würfeln, damit sie noch nicht im Haus landet?

Von Julia kann eine 1, 2, 3 oder 4 gewürfelt werden.

Betrachte die vier verschiedene Fälle einzeln. Mit welchen Zahlen könnte Julia dann im nächsten Zug in ihr Haus kommen?

Berechne nun die Wahrscheinlichkeit, dass Julia eine der Zahlen würfelt und vergleiche diese mit der Wahrscheinlichkeit von Markus ins Haus zu kommen.

a) Markus benötigt eine 1, 2 oder 3, um in das Haus zu kommen.

E = Markus würfelt eine 1, 2 oder 3

Da der Würfel 6 Zahlen aufweist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zahl $\tfrac{1}{6}$ und somit gilt mit der Summenregel, da Markus 3 der 6 Zahlen würfeln kann:

P(E) = $\tfrac{1}{6}$ + $\tfrac{1}{6}$ + $\tfrac{1}{6}$ = $\tfrac{3}{6}$ = $\tfrac{1}{2}$

Julia kommt hingegen nur mit einer 5 oder 6 in ihr Haus.

E = Julia würfelt eine 5 oder 6

Da Julia nur 2 der 6 Zahlen würfeln kann, gilt:

P(E) = $\tfrac{1}{6}$ + $\tfrac{1}{6}$ = $\tfrac{2}{6}$ = $\tfrac{1}{3}$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass Markus mit dem nächsten Zug in sein Haus kommt größer als die von Julia.

b) Die Wahrscheinlichkeit von Markus in sein Haus zu kommen ist immer noch dieselbe wie zuvor, da er weiterhin direkt vor seinem Haus steht.

1. Fall: Julia würfelt eine 1

Dann kann Julia mit den Zahlen 4, 5 und 6 beim darauffolgenden Zug ins Haus kommen.

E = Julia würfelt eine 4, 5 oder 6

P(E) = $\tfrac{1}{6}$ + $\tfrac{1}{6}$ + $\tfrac{1}{6}$ = 3 * $\tfrac{1}{6}$ = $\tfrac{3}{6}$ = $\tfrac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug ins Haus zu kommen beträgt dann sowohl bei Markus als auch bei Julia ½.

2. Fall: Julia würfelt eine 2

Dann kann Julia mit den Zahlen 3, 4 und 5 beim darauffolgenden Zug ins Haus kommen:

E = Julia würfelt eine 3, 4 oder 5

P(E) = 3 * $\tfrac{1}{6}$ = $\tfrac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug ins Haus zu kommen beträgt dann sowohl bei Markus als auch bei Julia ½.

3. Fall: Julia würfelt eine 3

Dann kann Julia mit den Zahlen 2, 3 und 4 beim darauffolgenden Zug ins Haus kommen:

E = Julia würfelt eine 2, 3 oder 4

P(E) = 3 * $\tfrac{1}{6}$ = $\tfrac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug ins Haus zu kommen beträgt dann sowohl bei Markus als auch bei Julia ½.

4. Fall: Julia würfelt eine 4

Dann kann Julia mit den Zahlen 1, 2 und 3 beim darauffolgenden Zug ins Haus kommen:

E = Julia würfelt eine 1, 2 oder 3

P(E) = 3 * $\tfrac{1}{6}$ = $\tfrac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug ins Haus zu kommen beträgt dann sowohl bei Markus als auch bei Julia ½.

Wenn also beide einmal an der Reihe waren ohne ins Haus zu setzen, ist die Wahrscheinlichkeit dann für beide gleich beim nächsten Zug ins Haus zu kommen. Sie beträgt ½.