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{{Box | 1=Info | 2=In diesem Kapitel kannst du die Idee und die Anwendung des Integrals wiederholen und durch gezielte Aufgaben üben und verbessern. Die Grundlage hierfür ist, dass du die Eigenschaften von Funktionen erkennst und untersuchen sowie ableiten kannst.
{{Lösung versteckt|1= Eine Figur kann auch mehr als eine Symmetrieachse haben |2= Tipp 1| 3=Tipp ausblenden}}


Du sollst hier für dich verinnerlichen, was überhaupt hinter dem Begriff des '''Integrals''' steckt und kannst darüber hinaus Grundlagen für die Anwendung mit Integralen wiederholen aber auch vertiefen.
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}


Zum Einstieg findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral bei denen es besonders auf den Zusammenhang von Differential- und Integralrechnung ankommt. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.


In Aufgaben, die ''<span style="color:  #F19E4F">orange</span>'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.  
{{Box|1=Übung 1: Erkennst du die unmöglichen Figuren? |2=Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht. Ziehe dafür das Bild in den zugehörigen Kasten.
Aufgaben in ''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''<span style="color:  #89C64A">grüner</span>'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.


| 3=Kurzinfo}}
<div class="zuordnungs-quiz">


==Herleitung des Integrals==
{{{!}}


{{Lösung versteckt|1=
{{!}}unmögliche Figuren {{!}}{{!}} [[File:Impossible cube illusion angle.svg|thumb|alternativtext=|154x154px]] {{!}}{{!}} [[File:Reutersvärd’s triangle.svg|thumb|alternativtext=|150x150px]]{{!}}{{!}}[[File:Blivet.png|thumb|alternativtext=|200x200px]]{{!}}{{!}}[[File:Impossible staircase.svg|thumb|alternativtext=|200x200px]]
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen f(x) und der x-Achse in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10m = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle [0,b] auf der x-Achse fortführen. Probiere das in der  Darstellung aus indem du die obere Grenze b verschiebst und versuche den Zusammenhang zum Integral zu erkennen.


{{!}}-


                        <ggb_applet id="fgfwxped" width="798" height="703" border="888888" />
{{!}}geometrische Körper/Konstruktionen{{!}}{{!}} [[Datei:Cube-2351867 640.jpg|mini|alternativtext=|200x200px]] {{!}}{{!}} [[File:Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0005.JPG|thumb|alternativtext=|200x200px]] {{!}}{{!}} [[Datei:Treppe-zp-beisp1.svg|mini|167x167px]]


{{!}}}


</div>


|Merke|Farbe= #828282}}
|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1=Übung 1|2=Memory: Gegeben sind Körpernetze und Schrägbilder. Finde die passenden Paare.


{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
<div class="memo-quiz">
{{Lösung versteckt|1=


Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0;9]</math> dargestellt.
{{{!}}


{{!}}[[File:Square pyramid.png|thumb|Quadratische Pyramide|alternativtext=|125x125px]]{{!}}{{!}}[[Datei:Pyramide Netz 2.png|mini|alternativtext=|125x125px]]


[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]
{{!}}-


{{!}}[[File:120px-Hexahedron-slowturn.gif|thumb|120px-Hexahedron-slowturn|alt=120px-Hexahedron-slowturn.gif]]{{!}}{{!}}[[File:Hexahedron flat color.svg|thumb|Hexahedron flat color|alt=Hexahedron flat color.svg|144x144px]]


Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?
{{!}}-


{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}
{{!}}[[File:120px-Tetrahedron-slowturn.gif|thumb|120px-Tetrahedron-slowturn|alt=120px-Tetrahedron-slowturn.gif]]{{!}}{{!}}[[File:Tetrahedron flat.svg|thumb|Tetrahedron flat|alternativtext=|110x110px]]


{{Lösung versteckt|1=
{{!}}-


Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math>2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A1. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>1 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. 2 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A2. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. 6 ist die Maßzahl des Flächeninhalts A3. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:
{{!}}[[File:Cuboid abcd.svg|thumb|Quader mit Raumdiagonale d|alternativtext=|125x125px]]{{!}}{{!}}[[File:QuaderNetz.svg|thumb|Auseinander geklapptes Netz eines Quaders|alternativtext=|131x131px]]


<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>
{{!}}-


(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.
{{!}}[[File:Triangular prism.svg|thumb|dreieckiges Prisma|alternativtext=|143x143px]]{{!}}{{!}}[[Datei:Desarrollo prisma triangular.png|mini|alternativtext=|125x125px]]


{{!}}}


|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}
</div>|3=Üben|Farbe={{Farbe|orange}}  
 
}}
|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}
 
 
{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen den Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}
|2=Konstante und Lineare Funktionen|3=}}
 
 
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|
 
Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungsbestand''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Bestand bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.
 
 
<ggb_applet id="vnm4cynq" width="857" height="469" border="888888" />
 
 
{{Lösung versteckt|1=
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Summe gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.
* Die Obersumme führt zum selben Ziel. Man nähert sich der exakten Fläche nicht wie bei der Untersumme von unterhalb sondern  oberhalb des Graphen an.
|2=Hinweise anzeigen|3=Hinweise verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen solltest|3=}}
 
|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}
 
 
{{Box|1=Definition: Integral|2=
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig und <math>A_n = f(z_1) \cdot \Delta x + f(z_2) \cdot \Delta x + ... + f(z_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.
 
Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .
 
Man schreibt dafür:
 
<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).
 
|2=|3=}}
 
|3=Merke|Farbe=#FF0000 }}
 
 
{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Die Funktion <math>f</math> sei stetig auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:
 
<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.
 
|2=|3=}}
 
|3=Merke|Farbe=#FF0000 }}
|2=Allgemeine Herleitung und Defintion|3=}}
 
==Stammfunktionen bilden==
 
{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>
 
|2=|3=}}
 
|3=Merke|Farbe=#FF0000}}
 
 
{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>
 
|2=|3=}}
 
|3=Merke|Farbe=#FF0000 }}
 
==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==
 
{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|
 
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.
 
{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}
 
|2=|3=}}
 
|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}
 
 
{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittel jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst ein Zettel und ein Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.
 
a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]
 
{{Lösung versteckt|1=
 
* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.
 
Lösung|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
 
 
b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]
 
 
{{Lösung versteckt|1=
 
* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.
 
Lösung|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
 
 
c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]
 
{{Lösung versteckt|1=
 
* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.
 
Lösung|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
 
|2=|3=}}
 
|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.
 
# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>
 
<ggb_applet id="eexgtxva" width="1000" height="800"></ggb_applet>
 
Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?
 
|2=|3=}}
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}
 
 
{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Bearbeite die folgenden Aufgabe. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse festzuhalten
 
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}
 
|2=|3=}}
 
|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}
 
==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
* a) Erstelle eine Funktion f, die den Verlauf des Kanalgrundes angibt.
* b) Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals [in <math>m^2</math>]. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)=1/4*x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.
* c) Wie viel Wasser [in m^3] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?
* d) Schwer: Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?
 
{{Lösung versteckt
|1=Eine Parabel hat die Form <math>f(x)=a*x^2+b*x+c</math> Es gibt 3 unbekannte Variablen, also benötigst du 3 Punkte des Graphen z.B. <math>P1(-4,4)</math>,<math>P2(0,0)</math> und <math>P3(4,4)</math>. Damit stellst du 3 Gleichungen auf und kannst diese nach den einzelnen Variablen auflösen.
|2=Tipp für a) anzeigen
|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt
|1=Es gibt 2 Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen -4 und 4. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (<span style="color: red">Rot</span>) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Anschließend berechnest du das Integral von g-f mit den Grenzen -4 und 4, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math>.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in <span style="color: red"> Rot </span>]]
|2=Hilfe anzeigen
|3=Hilfe verbergen}}
 
{{Lösung versteckt
|1=
* zu a) <math>f(x)=(1/4)*x^2</math>
* zu b) <math>A= \int_{-4}^{4} f(x)-g(x) dx = 21,33</math> A: Die Querschnittsfläche des Kanals <math>21.33 m^2</math>
* zu c) <math>21.33*2000=42660</math> A: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
* zu d) <math>7.54*2000=15080</math>  <math>15080/42660 \approx 0.35349</math> A: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}
 
{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5;5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Beschreibe dein Vorgehen für charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.).
 
a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]
 
{{Lösung versteckt|1=
 
[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]
 
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
 
b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]
 
{{Lösung versteckt|1=
 
[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]
 
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
 
|2=|3=}}
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittel dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.
 
{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}
 
|2=|3=}}
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.
* a) Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?
* b) Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?
 
[[Datei:Aufgabe 6.png|mini|600px|center|Figur 1]]
 
{{Lösung versteckt|1=
 
'''a)''' <math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot x^3+3x^2</math>
 
'''b)''' <math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>
 
<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>
 
Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.
 
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
 
|2=|3=}}
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}


==Knobelaufgaben==
<math> \begin{align}
{{Box|1=Aufgabe 9:CO₂-Gehalt in Teichen|2=
O \ &= \ 35 \ dm^2 = 3500 \ cm^2 \\
{{Lösung versteckt|1=
\end{align}
</math>|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
<nowiki>}}</nowiki>


Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts CO₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate z(t) über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.
{{Box|1=Aufgabe x|2=


Text


{{(!}} class=wikitable
{{(!}} class=wikitable
{{!}}
! a
! b
! c
! d
! 1
! 2
! 3
! 4
! 9
{{!-}}
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h  
! Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 3
Zeile 362: Zeile 87:
{{!}} 24
{{!}} 24
{{!-}}
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
! Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,041
Zeile 374: Zeile 99:
{{!)}}
{{!)}}


'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.
Text
 
{{(!}} class=wikitable
'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{!-}}
 
{{!}} Zeit t in h
{{Lösung versteckt|1=
{{!}} '''0'''
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
{{!}} '''3'''
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}
{{!}} '''6'''
 
{{!}} 9
{{Lösung versteckt|1=
{{!}} '''12'''
Berechne die Flächen unter den Intervallen [0,3],[0,6],[0,9,[0,12],[0,15], etc...
{{!}} 15
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}
{{!}} 18
 
{{!}} 21
'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{!}} '''24'''
 
{{!-}}
'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
 
{{!}}  
#  <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
{{!}}  
#  <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
{{!}}  
#  <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>
{{!}} 2,33
 
{{!}}  
 
{{!}} 2,33
{{Lösung versteckt|1=
{{!}} 2,45
'''a)''' Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
{{!}} 2,53
 
{{!}}  
'''b)'''  
{{!)}}
# Für t=0: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}  
# Für t=3: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für t=6
 
'''c)''' Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 1,88 ME).
 
'''d)'''  
# Die Fläche liegt unterhalb der 1.Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Die Fläche liegt oberhalb der 1.Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
 
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 10: Smartphone Aufgabe|2=
 
{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5*x^2+34x-50</math>
 
Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]
* a) Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.
* b) In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?
* c) Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?
 
{{Lösung versteckt
|1=Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Hilfe anzeigen
|3=Hilfe verbergen}}  
 
{{Lösung versteckt
|1=Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp zu b)
|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt
|1=Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).
 
Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt. 
|2= Hinweis zu c)
|3=Hinweis verbergen}}
 
{{Lösung versteckt
|1=
'''a)'''
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
 
 
'''b)''' <math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
 
 
'''c)''' Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
 
|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}
 
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=
 
{{Lösung versteckt|1=
 
Bei einem Sprint über 100m treten zwei Läufer gegeneinander an.
Läufer A sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_a(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
Läufer B sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_b(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.
 
<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit der
Läufer in Meter pro Sekunde.
* a) Geben sie die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.
* b) Zeige, dass Läufer A ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.
* c) Bestimme den Wert von r so, dass der Läufer B nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.
* d) Wie viel Meter sind die beiden Läufer nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?
 
{{Lösung versteckt|1=
 
a) <math>V_a(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>
 
<math>V_b(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
 
b) <math>\int_{0}^{9,8} v_a(t) dt = 100 </math>
 
<math> \Leftrightarrow V_a(9,8)-V_a(0)</math>
 
<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
 
<math> \approx 110,006-10 \approx 100 </math>
 
c) <math>\int_{0}^{9,69} v_b(t) dt=100 </math>
 
<math>\Leftrightarrow V_b(9,69)-V_b(0) </math>
 
<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>
 
<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>
 
<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
 
d) <math> \int_{0}^{5} v_a(t) dt -\int_{0}^{5} v_b(t) dt = \int_{0}^{5} v_a(t)-v_b(t) dt = -4,3</math> 
Antwort: Die Läufer sind 4,3 m voneinander entfernt.
 
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
|2=|3=}}
 
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}
 
 
{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:
 
<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)
 
Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.
 
Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:
 
<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>
 
Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.
 
 
 
'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne, nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Ergebnis auf drei Kommastellen runden).
 
 
'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.
 
 
 
{{Lösung versteckt|1=
 
'''a) '''
 
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''
 
<math> h(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für 0 ≤x ≤ 3  und <math> h(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für 3 ≤ x≤ a.
 
'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x>3:'''
 
<math> h(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>
 
'''Anwendung der p/q Formel:'''
 
<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ 10,243
 
<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ 1,757 < 3
 
'''Antwort: Nach etwa 10,243 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''
 
 
 
 
'''b) '''
 
<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>
 
'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''
 
<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>
 
<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>
 
<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ 52,459
 
 
'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''
 
|2=„Lösung“|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}
 
 
{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du xy lernen.
 
In Aufgaben, die ''<span style="color: #F19E4F">orange</span>'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
 
Aufgaben in ''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
 
Und Aufgaben mit ''<span style="color: #89C64A">grüner</span>'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
 
Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
 
Kurzbeschreibung des Aufbaus.
 
|3=Kurzinfo}}
 
 
<math>f(x)=2x^3</math>
 
{{Box|Aufgabe 1: Schweizer Franken|Inhalt|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}
}}
 
{{Box|Aufgabe 2: xyz|Inhalt|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|Aufgabe 3: abc|Inhalt|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}
 
{{Box|Aufgabe 42: Dänische Kronen &#x2B50;|Inhalt|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}
}}


{| class="wikitable"
!
!'''Absolute Häufigkeit'''
! colspan="2" |'''Relative Häufigkeit'''
|-
|'''Handymarke'''
|'''Anzahl der Personen'''
|'''Anteil'''
|'''Prozent'''
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|'''Gesamt'''
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|}


===Spielwiese===
===Spielwiese===
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|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.
|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.


<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="960" height="610" />
<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="500" height="600" />




Aktuelle Version vom 15. November 2021, 10:46 Uhr

Eine Figur kann auch mehr als eine Symmetrieachse haben


Aufgabe <Nummer>: <Name>
Inhalt


Übung 1: Erkennst du die unmöglichen Figuren?

Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht. Ziehe dafür das Bild in den zugehörigen Kasten.


unmögliche Figuren
geometrische Körper/Konstruktionen
Treppe-zp-beisp1.svg



Übung 1

Memory: Gegeben sind Körpernetze und Schrägbilder. Finde die passenden Paare.


Quadratische Pyramide
120px-Hexahedron-slowturn.gif
120px-Hexahedron-slowturn
Hexahedron flat color.svg
Hexahedron flat color
120px-Tetrahedron-slowturn.gif
120px-Tetrahedron-slowturn
Tetrahedron flat
Quader mit Raumdiagonale d
Auseinander geklapptes Netz eines Quaders
dreieckiges Prisma

|Farbe=#8FCD25 }}


Aufgabe x

Text

a b c d 1 2 3 4 9
Zeit t in h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Änderungsrate z(t) in ME/h 0,0 -0,041 -0,037 -0,026 -0,009 0,046 0,031 0,019 0,006

Text

Zeit t in h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Gesamtmenge CO₂ in ME 2,33 2,33 2,45 2,53
Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit
Handymarke Anzahl der Personen Anteil Prozent
Gesamt

Spielwiese

Schreiben im Wiki

Neben normalem Text kann man auch kursiven oder fett gedruckten Text schreiben. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich. Grüner Text ist schon etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung.

Vorlagen

Ganz einfach per Mausklick aktivierbar
Aufgabe
Inhalt
Übung
Inhalt
Merke
Inhalt

Dateien

Bild aus ZUM Projekte:

Ballwurf

Bild aus Wikipedia:

allgemeines Dreieck


Kombinationen

Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

(Inhalte aus dem Lernpfad Quadratische Funktionen erkunden von Elena Jedtke)



Merke

Terme quadratischer Funktionen können in der Form angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man Scheitelpunktform, da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten .


Der Parameter ""

Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1) ,          (2)      und     (3)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von vergleichen.

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.

GeoGebra


Aufgabe 2

a) Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.



Aufgabe 3

Finde Werte für a, d und e, so dass die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

GeoGebra


Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

Hintergrundbild Lösungsvorschlag Parameter a Parameter d Parameter e
Angry Birds -0.15 ≤ a ≤ -0.13 6.80 ≤ d ≤ 7.20 4.70 ≤ e ≤ 5.00
Golden Gate Bridge 0.03 ≤ a ≤ 0.05 5.00 ≤ d ≤ 6.40 0.80 ≤ e ≤ 1.10
Springbrunnen -0.40 ≤ a ≤ -0.30 4.70 ≤ d ≤ 5.00 5.10 ≤ e ≤ 5.50
Elbphilharmonie (Bogen links) 0.33 ≤ a ≤ 0.47 2.40 ≤ d ≤ 2.60 4.25 ≤ e ≤ 4.40
Elbphilharmonie (Bogen mitte) 0.30 ≤ a ≤ 0.36 5.70 ≤ d ≤ 6.00 3.20 ≤ e ≤ 3.60
Elbphilharmonie (Bogen rechts) 0.18 ≤ a ≤ 0.27 9.30 ≤ d ≤ 9.50 3.55 ≤ e ≤ 3.65
Gebirgsformation -0.30 ≤ a ≤ -0.10 5.10 ≤ d ≤ 5.70 2.10 ≤ e ≤ 2.50
Motorrad-Stunt -0.10 ≤ a ≤ -0.04 7.30 ≤ d ≤ 8.10 5.70 ≤ e ≤ 6.20
Basketball -0.35 ≤ a ≤ -0.29 6.20 ≤ d ≤ 6.80 6.20 ≤ e ≤ 6.70






Interaktive Applets

LearningApp:



Geogebra-Applet:

GeoGebra
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