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{{Lösung versteckt|1= Eine Figur kann auch mehr als eine Symmetrieachse haben |2= Tipp 1| 3=Tipp ausblenden}}


==Infoboxen==
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}


{{Box|partielle Integration |Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.


Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:<math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math>
{{Box|1=Übung 1: Erkennst du die unmöglichen Figuren? |2=Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht. Ziehe dafür das Bild in den zugehörigen Kasten.


Dabei ist <math> \int f'(x)*g(x)\,dx </math> das ursprüngliche Integral.
<div class="zuordnungs-quiz">


<math> f'(x) </math> ist die leicht zu integrierende Funktion.
{{{!}}


<math> g(x) </math> ist die leicht abzuleitende Funktion.|}}
{{!}}unmögliche Figuren {{!}}{{!}} [[File:Impossible cube illusion angle.svg|thumb|alternativtext=|154x154px]] {{!}}{{!}} [[File:Reutersvärd’s triangle.svg|thumb|alternativtext=|150x150px]]{{!}}{{!}}[[File:Blivet.png|thumb|alternativtext=|200x200px]]{{!}}{{!}}[[File:Impossible staircase.svg|thumb|alternativtext=|200x200px]]


Falls du eine ausführliche Erklärung mit einem Beispiel benötigst,[[klicke hier.]]
{{!}}-


'''Beispiel zur partielle Integration :<math>h(x) = e^x * x</math>'''
{{!}}geometrische Körper/Konstruktionen{{!}}{{!}} [[Datei:Cube-2351867 640.jpg|mini|alternativtext=|200x200px]] {{!}}{{!}} [[File:Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0005.JPG|thumb|alternativtext=|200x200px]] {{!}}{{!}} [[Datei:Treppe-zp-beisp1.svg|mini|167x167px]]


<math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und <math> f'(x)=e^x </math>
{{!}}}
   


<math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math>  
</div>


Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math>
|3=Arbeitsmethode}}
<math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math>


Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von  <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>
{{Box|1=Übung 1|2=Memory: Gegeben sind Körpernetze und Schrägbilder. Finde die passenden Paare.


<div class="memo-quiz">


{{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math>
{{{!}}


'''Vorgehen:'''
{{!}}[[File:Square pyramid.png|thumb|Quadratische Pyramide|alternativtext=|125x125px]]{{!}}{{!}}[[Datei:Pyramide Netz 2.png|mini|alternativtext=|125x125px]]
#Zunächst wird die innere Funktion <math> g(x) </math> dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also <math> z = g(x) </math>
#Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also <math> z = g(x)  \Longrightarrow  dz = g'(x) dx </math>
#und dann nach dx umgeformt:  <math> dz = g'(x) dx \Longrightarrow  dx = \frac{dz}{g'(x)} </math>
#Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung <math> g(x) </math> angepasst werden: <math> a \longrightarrow g(a)  </math> neue untere Grenze  <math>  b \longrightarrow g(b)  </math> neue obere Grenze
#Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
#Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
#Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion <math> g(x) </math> eingesetzt.|}}


{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p0v4crp2j20}}
{{!}}-


{{Box|Beispiel für Integration durch Substituion|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math>
{{!}}[[File:120px-Hexahedron-slowturn.gif|thumb|120px-Hexahedron-slowturn|alt=120px-Hexahedron-slowturn.gif]]{{!}}{{!}}[[File:Hexahedron flat color.svg|thumb|Hexahedron flat color|alt=Hexahedron flat color.svg|144x144px]]


Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math>
{{!}}-
#Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math>
#Ableitung der Funktion: <math> g'(x)=2 *dx=dz </math>
#Umformen nach dx: <math> 2*dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}</math>
#Anpassung der alten Grenzen <math> a \longrightarrow g(a)</math> <math>  b \longrightarrow g(b)  </math>
#Einsetzen in das Integral: <math> \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz </math>
#Integration: <math> \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz = \frac{1}{2} \left [  e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math>
#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left [  e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [  e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math>


Sie integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}}
{{!}}[[File:120px-Tetrahedron-slowturn.gif|thumb|120px-Tetrahedron-slowturn|alt=120px-Tetrahedron-slowturn.gif]]{{!}}{{!}}[[File:Tetrahedron flat.svg|thumb|Tetrahedron flat|alternativtext=|110x110px]]


{{!}}-


{{!}}[[File:Cuboid abcd.svg|thumb|Quader mit Raumdiagonale d|alternativtext=|125x125px]]{{!}}{{!}}[[File:QuaderNetz.svg|thumb|Auseinander geklapptes Netz eines Quaders|alternativtext=|131x131px]]


{{!}}-


==Aufgaben==
{{!}}[[File:Triangular prism.svg|thumb|dreieckiges Prisma|alternativtext=|143x143px]]{{!}}{{!}}[[Datei:Desarrollo prisma triangular.png|mini|alternativtext=|125x125px]]


{{Box| Übung 1| Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?| Üben}}
{{!}}}


a) <math> f(x) = x*sin(2x) </math>
</div>|3=Üben|Farbe={{Farbe|orange}}
}}


{{Lösung versteckt| Nutze die partielle Integration| Tipp 1| Tipp 1}}
<math> \begin{align}
O \ &= \ 35 \ dm^2 = 3500 \ cm^2 \\
\end{align}
</math>|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
<nowiki>}}</nowiki>


{{Lösung versteckt| Setze die leicht abzuleitende Funktion <math> g(x)=x </math> und die leicht zu integrierende Funktion <math> f'(x)=sin(2x)</math>| Tipp 2| Tipp 2}}
{{Box|1=Aufgabe x|2=


{{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x*cos(2x)}{2} + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
Text


{{(!}} class=wikitable
{{!}}
! a
! b
! c
! d
! 1
! 2
! 3
! 4
! 9
{{!-}}
! Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
! Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}


Text
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}


b) <math> f(x)=x*e^{x^2} </math>
{| class="wikitable"
 
!
{{Lösung versteckt| Nutze die Integration durch Substitution| Tipp 1| Tipp 1}}
!'''Absolute Häufigkeit'''
 
! colspan="2" |'''Relative Häufigkeit'''
{{Lösung versteckt| Setze die innerer Funktion <math> g(x)=x^2 = z </math> und leite sie nach x ab| Tipp 2| Tipp 2}}
|-
 
|'''Handymarke'''
{{Lösung versteckt| <math> \int x*e^z\, \frac{dz}{2x} = \int \frac{e^z}{2}\, dz = \frac{1}{2} \int e^z\, dz </math>| Tipp 3| Tipp 3}}
|'''Anzahl der Personen'''
 
|'''Anteil'''
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|'''Prozent'''
 
|-
 
|
 
|
c) <math> f(x)= \frac{e^x}{a-e^x} </math>
|
 
|
{{Lösung versteckt| Nutze die Integration durch Substitution| Tipp 1| Tipp 1}}
|-
 
|
{{Lösung versteckt| Setze die innerer Funktion <math> g(x)= a-e^x = z </math> und leite sie nach x ab| Tipp 2| Tipp 2}}
|
 
|
{{Lösung versteckt| <math> F(x)= - ln(|a-e^x|) + C </math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|
 
|-
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|-
{{Box| Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis| In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen <math> f(x)=- \frac{x}{2} + 2 </math> und <math> g(x)= x^4- \frac{15}{4} * x^2 - 1 </math> das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (<math> 1 cm^2 </math> Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?| Üben}}
|
 
|
{{Lösung versteckt| Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt: <math> \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx </math>|Tipp 1|Tipp 1}}
|
 
|
{{Lösung versteckt| Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.| Tipp 2| Tipp 2}}
|-
 
|
{{Lösung versteckt| Wenn du die Fläche des Logos <math>A_{Logo} </math> wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das <math>V_{Logo}</math> nun durch das Produkt von <math>A_{Logo} </math> und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen| Tipp 3| Tipp 3}}
|
 
|
{{Lösung versteckt|<math>A_{Logo} = 3,2 cm^2 </math>
|
 
|-
<math>V_{Logo}= A_{Logo} * Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 * 0,1 cm = 0,32 {cm}^3  </math>
|
 
|
<math>V_{Logo}*Gewicht_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] * 10,5 [g] = 3,36 [g] </math> 
|
 
|
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.| Lösungsweg + Lösung anzeigen| Lösungsweg + Lösung ausblenden}}
|-
 
|'''Gesamt'''
|
|
|
|}


===Spielwiese===
===Spielwiese===
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{{Box|Übung|Inhalt|Üben
{{Box|Übung|Inhalt|Üben
}}
}}
{{Box|Merksatz|Inhalt|Merke
{{Box|Merke|Inhalt|Merksatz
}}
}}


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===Kombinationen===
===Kombinationen===
====Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform====
====Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform====
(Inhalte aus dem Lernpfad [https://unterrichten.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden| Quadratische Funktionen erkunden])
(Inhalte aus dem Lernpfad [https://unterrichten.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden| Quadratische Funktionen erkunden] von [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]])


<br />
<br />
Zeile 170: Zeile 232:
|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.
|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.


<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="960" height="610" />
<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="500" height="600" />




Aktuelle Version vom 15. November 2021, 10:46 Uhr

Eine Figur kann auch mehr als eine Symmetrieachse haben


Aufgabe <Nummer>: <Name>
Inhalt


Übung 1: Erkennst du die unmöglichen Figuren?

Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht. Ziehe dafür das Bild in den zugehörigen Kasten.


unmögliche Figuren
geometrische Körper/Konstruktionen
Treppe-zp-beisp1.svg



Übung 1

Memory: Gegeben sind Körpernetze und Schrägbilder. Finde die passenden Paare.


Quadratische Pyramide
120px-Hexahedron-slowturn.gif
120px-Hexahedron-slowturn
Hexahedron flat color.svg
Hexahedron flat color
120px-Tetrahedron-slowturn.gif
120px-Tetrahedron-slowturn
Tetrahedron flat
Quader mit Raumdiagonale d
Auseinander geklapptes Netz eines Quaders
dreieckiges Prisma

|Farbe=#8FCD25 }}


Aufgabe x

Text

a b c d 1 2 3 4 9
Zeit t in h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Änderungsrate z(t) in ME/h 0,0 -0,041 -0,037 -0,026 -0,009 0,046 0,031 0,019 0,006

Text

Zeit t in h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
Gesamtmenge CO₂ in ME 2,33 2,33 2,45 2,53
Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit
Handymarke Anzahl der Personen Anteil Prozent
Gesamt

Spielwiese

Schreiben im Wiki

Neben normalem Text kann man auch kursiven oder fett gedruckten Text schreiben. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich. Grüner Text ist schon etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung.

Vorlagen

Ganz einfach per Mausklick aktivierbar
Aufgabe
Inhalt
Übung
Inhalt
Merke
Inhalt

Dateien

Bild aus ZUM Projekte:

Ballwurf

Bild aus Wikipedia:

allgemeines Dreieck


Kombinationen

Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

(Inhalte aus dem Lernpfad Quadratische Funktionen erkunden von Elena Jedtke)



Merke

Terme quadratischer Funktionen können in der Form angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man Scheitelpunktform, da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten .


Der Parameter ""

Was passiert, wenn man statt der Funktion folgende Funktionen gegeben hat:

(1) ,          (2)      und     (3)  ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von vergleichen.

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel grau eingezeichnet. Du kannst verschiedene Werte für "" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph verändert.

GeoGebra


Aufgabe 2

a) Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.



Aufgabe 3

Finde Werte für a, d und e, so dass die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

GeoGebra


Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

Hintergrundbild Lösungsvorschlag Parameter a Parameter d Parameter e
Angry Birds -0.15 ≤ a ≤ -0.13 6.80 ≤ d ≤ 7.20 4.70 ≤ e ≤ 5.00
Golden Gate Bridge 0.03 ≤ a ≤ 0.05 5.00 ≤ d ≤ 6.40 0.80 ≤ e ≤ 1.10
Springbrunnen -0.40 ≤ a ≤ -0.30 4.70 ≤ d ≤ 5.00 5.10 ≤ e ≤ 5.50
Elbphilharmonie (Bogen links) 0.33 ≤ a ≤ 0.47 2.40 ≤ d ≤ 2.60 4.25 ≤ e ≤ 4.40
Elbphilharmonie (Bogen mitte) 0.30 ≤ a ≤ 0.36 5.70 ≤ d ≤ 6.00 3.20 ≤ e ≤ 3.60
Elbphilharmonie (Bogen rechts) 0.18 ≤ a ≤ 0.27 9.30 ≤ d ≤ 9.50 3.55 ≤ e ≤ 3.65
Gebirgsformation -0.30 ≤ a ≤ -0.10 5.10 ≤ d ≤ 5.70 2.10 ≤ e ≤ 2.50
Motorrad-Stunt -0.10 ≤ a ≤ -0.04 7.30 ≤ d ≤ 8.10 5.70 ≤ e ≤ 6.20
Basketball -0.35 ≤ a ≤ -0.29 6.20 ≤ d ≤ 6.80 6.20 ≤ e ≤ 6.70






Interaktive Applets

LearningApp:



Geogebra-Applet:

GeoGebra
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