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| Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. | | Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. |
| [[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
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| |3=Lernpfad}} | | |3=Lernpfad}} |
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| {{Einführung in die Differentialrechnung}}
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| Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.
| | Abgeänderte Version des Lernpfads https://unterrichten.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Differentialrechnung |
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| '''Autoren:''' Jochen Dörr, Tobias Rolfes, Dirk Schmerenbeck, Roland Weber
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| {{Fortsetzung|weiter=Einstieg|weiterlink=Einführung in die Differentialrechnung/Einstieg}}{{Navigation verstecken|{{Einführung in die Differentialrechnung}}}}
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| ==Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase==
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| Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.
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| {{Box|Experiment|Skizzieren Sie zunächst einen möglichen Verlauf des Füllgraphen für die Gefäße in ein Koordinatensystem. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründen Ihre Skizze.
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| Mit dem folgenden Experiment können Sie Ihre Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollen Sie gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen. Die Messdaten für die Zeit übertragen Sie danach vom Arbeitsblatt in die untenstehende GeoGebra-Tabelle.{{Lösung versteckt|
| | ==Einstiegsaufgabe - Barringer-Krater== |
| *Messbecher
| | ''Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.''[[Datei:Meteor.jpg|400px|miniatur|Barrington-Krater]]In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0 \leq x \leq 300</math> beschrieben werden. |
| *Einfülltrichter
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| *Höhenskala
| | {{Box |
| *Stoppuhr (z.B. App im Smartphone)
| | | 1 = Aufgabe 1 |
| *leere Plastikflasche 500ml|Benötigte Materialien|Benötigte Materialien Verbergen}}
| | | 2 = Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren? |
| Im Bild sehen Sie den Versuchsaufbau. Bei der Versuchsdurchführung ist es zum einen besonders wichtig, dass der Wasserzufluss immer gleichmäßig ist. Der obere Teil des Trichters muss daher immer mit Wasser gefüllt sein, sodass der Zufluss konstant bleibt. Zum anderen muss der „Zeitmesser“ genau beobachten, wann der Wasserspiegel die markierten Höhen erreicht, damit die Messung so exakt wie möglich ist.
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| | {{Lösung versteckt|1= |
| | Wird eine Steigung, wie z.B. bei einem Verkehrschild, angegeben, so bezieht sich die Prozentangabe auf eine Höhenänderung im Verhältnis zur horizontalen Entfernung. Eine Steigung von 20% bedeutet z. B. eine Höhenänderung von 20m je 100m horizontaler Strecke. |
| | |2=Hinweis einblenden|3=Hinweis ausblenden}} |
| | | 3 = Arbeitsmethode |
| | }} |
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| ''Achtung: Bei manchen Stoppuhren lassen sich Zwischenzeiten stoppen. Diese liefern für unseren Versuch die genaueren Ergebnisse, müssen aber zunächst noch addiert werden.''
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| <center>[[Datei:LP_Messbecher.jpg|150px]]</center>|Experimentieren
| | ==Vorwissenstest== |
| }}{{Lösung versteckt|1=
| | Vor der Bearbeitung der weiteren Aufgaben sollten Sie in einem kurzen Vorwissenstest überprüfen, ob Sie mit für die weitere Arbeit benötigten Rechnungen vertraut genug sind. |
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| <ggb_applet width="837" height="486" version="4.2" id="kgytabgd" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| | 1a) Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x+1. Welchen Wert hat f(3)? |
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| | Antwortmöglichkeiten: f(3)=1, f(3)=3, f(3)=5, f(3)=7, f(3)=9 |
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| Wenn alle Messdaten in der Tabelle eingetragen sind, können Sie sich die dazugehörigen Punkte im Koordinatensystem anzeigen lassen. Markieren Sie als erstes alle Messwerte (Zeit und Höhe). Durch einen Rechtsklick über den markierten Werten kann im erscheinenden Kontextmenü ''Erzeuge - Liste von Punkten'' ausgewählt werden, sodass die zu den Messwerten gehörigen Punkte im Koordinatensystem erscheinen.
| | {{Lösung versteckt|1= f(3)=7 |
| | |2=Lösung einblenden|3=Lösung ausblenden}} |
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| |2=Geogebra-Tabelle einblenden|3=Tabelle ausblenden}}{{Box
| | 1b) Die Rechenvorschrift <math>t(v) = \frac{100}{v}</math> gibt an, wie viele Stunden t man für 100 km bei einer bestimmten Geschwindigkeit v (in km/h) benötigt. Welchen Wert hat t(50)? |
| | 1 = Aufgabe 1 | | |
| | 2 = '''a)''' Vergleichen Sie die Versuchsdaten mit ihren Skizzen und beschreiben den Verlauf des Füllgraphen. Inwiefern kann man die Form des Gefäßes am Füllgraphen ablesen? | | Antwortmöglichkeiten: t(50)=2, t(50)=1, t(50)=3, t(50)=4, t(50)=50, t(50)=100 |
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| | {{Lösung versteckt|1= t(50)=2 |
| | |2=Lösung einblenden|3=Lösung ausblenden}} |
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| | 1c) Für die Rechenvorschrift aus 1b gilt: t(25) = 4. Was bedeutet das? |
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| | Antwortmöglichkeiten: |
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| '''b)''' Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Geschwindigkeit des Anstiegs des Wasserspiegels untersucht werden. Ist es möglich, diese Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t = 3s</math> zu ermitteln? Begründen Sie ihre Antwort kurz.
| | Für 100 km benötigt man 4 Stunden bei 25 km/h |
| | 3 = Arbeitsmethode
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| }}
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| ==Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater==
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| ''Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.''[[Datei:Meteor.jpg|400px|miniatur|Barrington-Krater]]In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0 \leq x \leq 300</math> beschrieben werden.
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| [[Datei:LP_Krater.png]]
| | Für 25 Kilometer benötigt man 1/4 Stunde bei 100 km/h |
| {{Box
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| | 1 = Aufgabe 2
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| | 2 = Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
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| {{Lösung versteckt|1=
| | Für 4 Kilometer benötigt man 25 Sekunden bei 100 km/h |
| Wird eine Steigung, wie z.B. bei einem Verkehrschild [[Datei:LP_Steigungsschild.png|100px]] angegeben, so bedeutet die Prozentangabe eine Höhenveränderung von 20m je 100m horizontaler Strecke. Im nachstehenden Bild finden Sie die genauen Angaben. Beachten Sie insbesondere auch die Länge der tatsächlich zurückgelegten Strecke je 100m, sowie den realen Winkel der Höhenänderung.
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| [[Datei:LP_Steigungsdreick_10P.png|400px]]
| | {{Lösung versteckt|1= Für 100 km benötigt man 4 Stunden bei 25 km/h |
| |2=Hinweis einblenden|3=Hinweis ausblenden}} | | |2=Lösung einblenden|3=Lösung ausblenden}} |
| | 3 = Arbeitsmethode
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| }}
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| [//unterrichten.zum.de/images/a/a1/AB_Einstiegsaufgabe.pdf Arbeitsblätter zu den Einstiegsaufgaben]
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| ==Vorwissenstest==
| | 1d) Wenn man einen Gegenstand von z.B. einem Turm fallen lässt, kann die Fallstrecke s (in Meter) näherungsweise mit der Formel s(t) = 5t² beschrieben werden, wobei t die Fallzeit in Sekunden angibt. Um wie viel Meter fällt ein Gegenstand zwischen Sekunde 1 und 2? |
| Vor der Bearbeitung der weiteren Aufgaben sollten Sie in einem kurzen Vorwissenstest überprüfen, ob Sie mit für die weitere Arbeit benötigten Rechnungen vertraut genug sind.<div class="multiplechoice-quiz">
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| 1a) Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x+1. Welchen Wert hat f(3)? (!1) (!3) (!5) (7) (!9)
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| 1b) Die Rechenvorschrift <math>t(v) = \frac{100}{v}</math> gibt an, wie viele Stunden t man für 100 km bei einer bestimmten Geschwindigkeit v (in km/h) benötigt. Welchen Wert hat t(50)? (2) (!1) (!3) (!4) (!5) (!50) (!100)
| | Antwortmöglichkeiten: 15 Meter, 5 Meter, 10 Meter, 20 Meter, 25 Meter |
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| 1c) Für die Rechenvorschrift aus 1b gilt: t(25) = 4. Was bedeutet das? (Für 100 km benötigt man 4 Stunden bei 25 km/h) (!Für 25 Kilometer benötigt man 1/4 Stunde bei 100 km/h) (!Für 4 Kilometer benötigt man 25 Sekunden bei 100 km/h)
| | {{Lösung versteckt|1= 15 Meter |
| | |2=Lösung einblenden|3=Lösung ausblenden}} |
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| 1d) Wenn man einen Gegenstand von z.B. einem Turm fallen lässt, kann die Fallstrecke s (in Meter) näherungsweise mit der Formel s(t) = 5t² beschrieben werden, wobei t die Fallzeit in Sekunden angibt. Um wie viel Meter fällt ein Gegenstand zwischen Sekunde 1 und 2? (15 Meter) (!5 Meter) (!10 Meter) (!20 Meter) (!25 Meter)
| | Wenn deine Lösungsrate der obigen mindestens 75% beträgt, gehe zu den weiteren Aufgaben. Wenn du weniger als 75% richtig hast, schaue dir das folgende Video an, bearbeite die Testaufgaben erneut und finde deine Fehler in den Testaufgaben:{{Lösung versteckt |
| </div>Wenn deine Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehe zu den weiteren Aufgaben. Wenn du weniger als 75% richtig hast, schaue dir das folgende Video an, bearbeite die Testaufgaben erneut und finde deine Fehler in den Testaufgaben:{{Lösung versteckt
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| |1={{#ev:youtube|HCl5PCBd9c8|800|center}} | | |1={{#ev:youtube|HCl5PCBd9c8|800|center}} |
| |2=Video einblenden|3=Video ausblenden}}[[Gymnasium Philippinum Marburg/DifferentialrechnungSeite3]]{{Fortsetzung|weiter=Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate|weiterlink=Einführung in die Differentialrechnung/Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate}} | | |2=Video einblenden|3=Video ausblenden}} |
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| | Weiter: [[Gymnasium Philippinum Marburg/DifferentialrechnungSeite3]] |
Lernpfad
Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist.
Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.
Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie mittlere und momentane Änderungsrate, Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient und Ableitung kennen.
Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt.
Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.
Abgeänderte Version des Lernpfads https://unterrichten.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Differentialrechnung
Einstiegsaufgabe - Barringer-Krater
Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion 
für 
beschrieben werden.
Aufgabe 1
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
Wird eine Steigung, wie z.B. bei einem Verkehrschild, angegeben, so bezieht sich die Prozentangabe auf eine Höhenänderung im Verhältnis zur horizontalen Entfernung. Eine Steigung von 20% bedeutet z. B. eine Höhenänderung von 20m je 100m horizontaler Strecke.
Vorwissenstest
Vor der Bearbeitung der weiteren Aufgaben sollten Sie in einem kurzen Vorwissenstest überprüfen, ob Sie mit für die weitere Arbeit benötigten Rechnungen vertraut genug sind.
1a) Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x+1. Welchen Wert hat f(3)?
Antwortmöglichkeiten: f(3)=1, f(3)=3, f(3)=5, f(3)=7, f(3)=9
f(3)=7
1b) Die Rechenvorschrift 
gibt an, wie viele Stunden t man für 100 km bei einer bestimmten Geschwindigkeit v (in km/h) benötigt. Welchen Wert hat t(50)?
Antwortmöglichkeiten: t(50)=2, t(50)=1, t(50)=3, t(50)=4, t(50)=50, t(50)=100
t(50)=2
1c) Für die Rechenvorschrift aus 1b gilt: t(25) = 4. Was bedeutet das?
Antwortmöglichkeiten:
Für 100 km benötigt man 4 Stunden bei 25 km/h
Für 25 Kilometer benötigt man 1/4 Stunde bei 100 km/h
Für 4 Kilometer benötigt man 25 Sekunden bei 100 km/h
Für 100 km benötigt man 4 Stunden bei 25 km/h
1d) Wenn man einen Gegenstand von z.B. einem Turm fallen lässt, kann die Fallstrecke s (in Meter) näherungsweise mit der Formel s(t) = 5t² beschrieben werden, wobei t die Fallzeit in Sekunden angibt. Um wie viel Meter fällt ein Gegenstand zwischen Sekunde 1 und 2?
Antwortmöglichkeiten: 15 Meter, 5 Meter, 10 Meter, 20 Meter, 25 Meter
15 Meter
Wenn deine Lösungsrate der obigen mindestens 75% beträgt, gehe zu den weiteren Aufgaben. Wenn du weniger als 75% richtig hast, schaue dir das folgende Video an, bearbeite die Testaufgaben erneut und finde deine Fehler in den Testaufgaben:
Weiter: Gymnasium Philippinum Marburg/DifferentialrechnungSeite3
