Benutzer:Buss-Haskert/Ableitung

Ableitung

Mittlere Änderungsrate - Differenzenquotient

Applet zu S. 74 unten

</math> Origiallink https://www.geogebra.org/m/dz9sj2uj

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Momentante Änderungsrate - Ableitung

Applet zu S. 78 Einstiegsbeispiel
Originallink https://www.geogebra.org/m/q3kebc3h

Ableitung bestimmen: Beispiel S. 79

Originallink (Momentane Änderungsrate) https://www.geogebra.org/m/xjep6yhq

Originallink (Ableitung) https://www.geogebra.org/m/xqfvmsug

Erklärung zur Berechnung der Momentanen Änderungsrate:
Löse die Klammer auf mit der 1. binomischen Formel, fasse dann zusammen, klammere h aus und kürze:
$\tfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \tfrac{(1+h)^2-1}{h} = \tfrac{(1^2+2h+h^2) -1}{h} = \tfrac{2h + h^2}{h} = \tfrac{h(2+h)}{h} = 2+h$
Nun gilt: $\lim_{h \to 0}(2+h) = 2$
Also ist die Steigung im Punkt P gleich 2, man schreibt f'(1) = 2.

In der nachfolgenden LearningApp soll mithilfe des Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion f(x) = 2x² hergeleitet werden.

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(1) f(x) = x²
$\tfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \tfrac{(2+h)^2-2^2}{h} = \tfrac{(2^2+2h+h^2) -4}{h} = \tfrac{4h + h^2}{h} = \tfrac{h(4+h)}{h} = 4+h$ $\lim_{h \to 0} (4+h) = 4$
(2) f(x) = 2x²-3 $\tfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \tfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \tfrac{(2(2+h)^2-3)-(2·2^2-3)}{h} = \tfrac{(2(4+4h+h^2)-3) - 5}{h} = \tfrac{(8+8h+8h^2-3)-5}{h} = \tfrac{8h+8h^2+5-5}{h}\tfrac{h(8+8h)}{h} = 8+8h$

$\lim_{h \to 0} (8+8h) = 8$