Benutzer:Buss-Haskert/Ableitung: Unterschied zwischen den Versionen
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=== Mittlere Änderungsrate - Differenzenquotient === | === Mittlere Änderungsrate - Differenzenquotient === | ||
Applet zu S. 74 unten<br> | |||
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Origiallink https://www.geogebra.org/m/dz9sj2uj | Origiallink https://www.geogebra.org/m/dz9sj2uj | ||
<ggb_applet id="dz9sj2uj" width="1440" height="826" border="888888" /> | <ggb_applet id="dz9sj2uj" width="1440" height="826" border="888888" /> | ||
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=== Momentante Änderungsrate - Ableitung === | === Momentante Änderungsrate - Ableitung === | ||
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Erklärung zur Berechnung der Momentanen Änderungsrate:<br> | Erklärung zur Berechnung der Momentanen Änderungsrate:<br> | ||
Löse die Klammer auf mit der 1. binomischen Formel, fasse dann zusammen, klammere h aus und kürze:<br> | Löse die Klammer auf mit der 1. binomischen Formel, fasse dann zusammen, klammere h aus und kürze:<br> | ||
<math>\tfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \tfrac{(1+h)^2-1}{h} = \tfrac{(1^2+2h+h^2) -1}{h} = \tfrac{2h + h^2}{h} = \tfrac{h(2+h)}{h} = 2+h</math> | <math>\tfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \tfrac{(1+h)^2-1}{h} = \tfrac{(1^2+2h+h^2) -1}{h} = \tfrac{2h + h^2}{h} = \tfrac{h(2+h)}{h} = 2+h</math><br> | ||
Nun gilt: <math>\lim_{h \to 0}(2+h) = 2</math><br> | Nun gilt: <math>\lim_{h \to 0}(2+h) = 2</math><br> | ||
Also ist die Steigung im Punkt P gleich 2, man schreibt f'(1) = 2. | Also ist die Steigung im Punkt P gleich 2, man schreibt f'(1) = 2. | ||
In der nachfolgenden LearningApp soll mithilfe des Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion f(x) = 2x² hergeleitet werden.<br> | In der nachfolgenden LearningApp soll mithilfe des Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion f(x) = 2x² hergeleitet werden.<br> | ||
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{{Lösung versteckt|1=(1) f(x) = x²<br> | {{Lösung versteckt|1=(1) f(x) = x²<br> | ||
<math>\tfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \tfrac{(2+h)^2-2^2}{h} = \tfrac{(2^2+2h+h^2) -4}{h} = \tfrac{4h + h^2}{h} = \tfrac{h(4+h)}{h} = 4+h</math> | <math>\tfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \tfrac{(2+h)^2-2^2}{h} = \tfrac{(2^2+2h+h^2) -4}{h} = \tfrac{4h + h^2}{h} = \tfrac{h(4+h)}{h} = 4+h</math> | ||
<math>\lim_{h \to 0} (4+h) = 4</math>|2=Tipp zu S. 81, Nr. 7|3=Schließen}} | <math>\lim_{h \to 0} (4+h) = 4</math><br> | ||
(2) f(x) = 2x²-3 | |||
<math>\tfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \tfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \tfrac{(2(2+h)^2-3)-(2·2^2-3)}{h} = \tfrac{(2(4+4h+h^2)-3) - 5}{h} = \tfrac{(8+8h+8h^2-3)-5}{h} = \tfrac{8h+8h^2+5-5}{h}\tfrac{h(8+8h)}{h} = 8+8h</math><br> | |||
<math>\lim_{h \to 0} (8+8h) = 8</math> | |||
|2=Tipp zu S. 81, Nr. 7|3=Schließen}} | |||
Aktuelle Version vom 2. November 2025, 16:19 Uhr
Ableitung
Mittlere Änderungsrate - Differenzenquotient
Applet zu S. 74 unten
</math> Origiallink https://www.geogebra.org/m/dz9sj2uj
Momentante Änderungsrate - Ableitung
Applet zu S. 78 Einstiegsbeispiel
Originallink https://www.geogebra.org/m/q3kebc3h
Ableitung bestimmen: Beispiel S. 79
Originallink (Momentane Änderungsrate) https://www.geogebra.org/m/xjep6yhq
Originallink (Ableitung) https://www.geogebra.org/m/xqfvmsug
Erklärung zur Berechnung der Momentanen Änderungsrate:
Löse die Klammer auf mit der 1. binomischen Formel, fasse dann zusammen, klammere h aus und kürze:
Nun gilt:
Also ist die Steigung im Punkt P gleich 2, man schreibt f'(1) = 2.
In der nachfolgenden LearningApp soll mithilfe des Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion f(x) = 2x² hergeleitet werden.
(1) f(x) = x²
(2) f(x) = 2x²-3
