Jakob Uni MS-14/Entwurf

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen dein Wissen über charakteristische Punkte des Dreiecks aufzufrischen. Solltest du auch bei den Voraussetzungen dieses Kapitels (den Seitenhalbierenden, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden) noch Schwierigkkeiten haben, schau nochmal in das vorherige Kapitel in diesem Lernpfad. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den Seiten 56, 57 und 64.

Kapitel-Informationskästchen

Info

In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Einstieg

Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Merksatz

Aufgabe 1: Merksatz

Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Trage den Merksatz auf dem Arbeitsblatt ein.

Konstruktion

Aufgabe 2.1: Konstruktionsaufgabe

Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.

Aufgabe 2.2: Konstruktionsaufgabe

Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.

Aufgabe 2.3: Konstruktionsaufgabe

Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.

Aufgabe 3.1 - 3.3: Konstruieren mit Zirkel und Lineal

Auf deinem Arbeitsblatt findest du Konstruktionsaufgaben, die du analog bearbeiten kannst. Hier findest du Tipps, falls du welche brauchst.

Eigenschaften

Aufgabe 4.1: Charakteristische Punkte

Beantworte die Fragen. Du kannst dir mit den Tipps Hilfe holen.

1 Welche Aussagen stimmen? Es können mehrere Aussagen richtig sein

	Die Winkel α und β sind Nebenwinkel.
	Die Winkel α und β sind Scheitelwinkel.
	Die Winkel ε und δ sind Stufenwinkel.
	Die Winkel ζ und δ sind Wechselwinkel.

2 Welche Aussagen stimmen? Es können mehrere Aussagen richtig sein

	Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
	Wechselwinkel sind zusammen immer 90 Grad groß.
	Die Winkel α und γ sind zusammen 180 Grad groß.
	Nebenwinkel sind immer zusammen 180 Grad groß.

3 Welche Aussage ist falsch?

	Wenn α = 120° ist, dann ist θ = 120°
	Wenn θ = 120° ist, dann ist ε = 60°
	Wenn α = 60° ist, dann ist γ = 120°
	Wenn ζ = 160° ist, dann ist γ = 20°.

Aufgabe 2.2: Ordne zu

Benenne die Punkte M₁,M₂ und M₃ der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.

Deine Lösung: M₁ - Umkreismittelpunkt, M₂ - Schwerpunkt, M₃ - Inkreismittelpunkt

Schnappe die Diebe

Aufgabe 5: Entfernungsproblem

Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.

Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.

Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.

Wiederholung

Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks

In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als Umkreismittelpunkt bezeichnet.

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als Inkreismittelpunkt des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. (Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den Schwerpunkt kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

(GeoGebra Applet)

Aufgabe 1

Aufgabe 1:

In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist?

Aufgabe 2

Aufgabe 2:

Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.