Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

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In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben in lilaner Farbe sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Schwierigkeitsstufe I

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

Lösung

β=120°

mögliche Begründung:

1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.

2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

γ=60°

mögliche Begründungen:

1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.

2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

δ=120°

mögliche Begründungen:

1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.

2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.

3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.

Schwierigkeitsstufe II

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

Lösung

α=70°

mögliche Begründung:

α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

β=110°

mögliche Begründungen:

1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.

2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

γ=110°

mögliche Begründungen:

1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.

2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

δ=80°

mögliche Begründung:

δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

ε=100°

mögliche Begründung:

ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.

Schwierigkeitsstufe III

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

Lösung

α=120° und β=60°

mögliche Begründung:

α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

γ=120°

mögliche Begründung:

Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.

δ=66°

mögliche Begründung:

Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.