Benutzer:L.hodankov/Lineare Funktionen untersuchen: Unterschied zwischen den Versionen

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Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0&#124;0).<br>
Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0&#124;0).<br>
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.  
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.  
<br>
===Die Steigung m===
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:
Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode}}
<br>
Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.<br>
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.<br />
<br>
Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Wanderer sehr '''m'''utig sein!
{{Box|Übung 1: Steigende und fallende Geraden|Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in deine Mappe (Goodnotes):|Üben}}
<div class="lueckentext-quiz">
Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:<br>
Für '''m > 0''' steigt die Gerade und für '''m < 0''' fällt die Gerade.<br>
Die Gerade steigt <u>flach</u> für '''0 < m < 1''' und <u>steil</u> für '''m > 1'''.<br>
Die Gerade fällt <u>flach</u> für '''-1 < m < 0''' und <u>steil</u> für '''m < -1'''.
</div>
{{Box|Übung 2: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.|Üben}}
{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}}
{{h5p-zum|id=14434|height=300}}
<br>
{{Box|1=Übung 3|2=Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:<br>
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph <span style="color:green">flach</span> <span style="color:red">fällt</span>." Lösung z.B. f(x) = <span style="color:red">'''-'''</span>[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.|3=Meinung}}
<br>
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|500x500px]]<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|646x646px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|500x500px]]<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|500x500px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}
<br>
===Das Steigungsdreieck===
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.
<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.
<br />
{{Box|1=Merke: Die Steigung m|2= Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]|3=Arbeitsmethode}}
<br>
=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' bestimmen.<br>
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. <br>
<br>
{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center}}
<br>
{{Box|Übung 4|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
*17
*18
*20
*21
|Üben}}
{{Box|Übung 5|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.<br>
Übertrage jeweils das Beispiel in deine Mappe und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
<br>
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):<br>
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=800px}}
<br>
<br>
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:<br>
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=800px}}
<br>
<br>
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):<br>
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=800px}}
<br>
<br>
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):<br>
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=800px}}
<br>
<br>
<br>
{{Box|Übung 6|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]|Üben}}
{{Box|1=Übung 8|2=Löse die Aufgaben auf der Seite 5 aus dem Arbeitsheft.
|3=Üben}}
<br>
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).
<br>
===Der y-Achsenabschnitt b===
<br>
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
<br>
Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.
<br><ggb_applet id="gdvednbk" width="700&quot;" height="500" /><br>
{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.<br>
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0&#124;b)|Beobachtung|Verbergen}}
{{Box|1=Merke: Der y-Achsenabschnitt b|2=Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.<br>
Der Graph ist eine Gerade.<br>
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0&#124;b).<br>
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.|3=Arbeitsmethode}}
<br>
{{#ev:youtube|Ku12sEWA6U0|800|center|||start=0&end=106}}
<br>
{{Box|Übung 9|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=pfeqzdf8521|width=100%|height=600px}}
<br>
Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.<br>
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie du zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.<br>
<br>
===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
<br>
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
</div>
Und nun noch einmal übersichtlich als in GeoGebra und als Bild:<br>
'''Beispiel 1 (leicht)''': m ist eine natürliche Zahl<br>
Originallink https://www.geogebra.org/m/a2ew5np7
<ggb_applet id="a2ew5np7" width="1128" height="728" border="888888" />
<br>
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|535x535px]]
<br>
'''Beispiel 2 (mittel)''': m ist eine negative Zahl <br>
Originallink: https://www.geogebra.org/m/xc2p7wvk
<ggb_applet id="xc2p7wvk" width="1128" height="728" border="888888" />
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|528x528px]]<br>
'''Beispiel 3 (schwer)''': m ist ein Bruch <br>
Originallink: https://www.geogebra.org/m/fnavjbgf
<ggb_applet id="fnavjbgf" width="1128" height="728" border="888888" /><br>
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]
{{Box|Übung 10: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=phd8q7we221|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=popvxxk2v21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=p5mxjgbpt21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
<br>
{{Box|1=Übung 11|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]|3=Üben}}</div>
<br>


<br>
<br>

Aktuelle Version vom 15. September 2024, 16:55 Uhr

Diese Seite des Lernpfades wurde teilweise übernommen von der Seite Herta-Lebenstein-Realschule https://projekte.zum.de/wiki/Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub . Der Autor ist Buss-Haskert. Diese Seite wurde veröffentlicht unter der Lizenz CC BY SA.

Herzlichen Dank!

SEITE IM AUFBAU !!!

Funktionsgleichung und Funktionsgraph


f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen


Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.


GeoGebra


In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse.

m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.


Die Steigung m

Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden

Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.

Ist m < 0, fällt die Funktion.


Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

Wenn die Steigung m steil ist, muss der Wanderer sehr mutig sein!


Übung 1: Steigende und fallende Geraden
Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in deine Mappe (Goodnotes):

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:
Für m > 0 steigt die Gerade und für m < 0 fällt die Gerade.
Die Gerade steigt flach für 0 < m < 1 und steil für m > 1.
Die Gerade fällt flach für -1 < m < 0 und steil für m < -1.



Übung 2: Steigende und fallende Geraden
Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.





Übung 3

Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = -Einhalb grün.pngx.

Prüft die Antworten mit GeoGebra.


Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?
GeoGebra Graphen zeichnen 1.png

GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png

GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png

GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png



Das Steigungsdreieck

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

GeoGebra

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.


Merke: Die Steigung m

Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=Steigung m .png=

Steigungsdreieck Tafelbild 3.png



Die Steigung m eines Graphen ablesen

Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.


Übung 4

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

  • 17
  • 18
  • 20
  • 21


Übung 5

Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.

Übertrage jeweils das Beispiel in deine Mappe und bearbeite anschließend die LearningApp.


1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):
Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png



2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:
Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png



3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):
Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png



4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):
Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png




Übung 6
Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.


Übung 7

Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend. Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.


Übung 8
Löse die Aufgaben auf der Seite 5 aus dem Arbeitsheft.



Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).



Der y-Achsenabschnitt b


Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von m, also der Steigung einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter b für den Graphen der Funktion hat.


GeoGebra


Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)


Merke: Der y-Achsenabschnitt b

Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.
Der Graph ist eine Gerade.
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).

b ist der y-Achsenabschnitt.




Übung 9
Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.




Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie du zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.


Von der Geraden zu Funktionsgleichung


Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung
Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.
Erklärvideo:
und noch mehr Beispiele:


Und nun noch einmal übersichtlich als in GeoGebra und als Bild:
Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
Originallink https://www.geogebra.org/m/a2ew5np7

GeoGebra


Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative Zahl
Originallink: https://www.geogebra.org/m/xc2p7wvk

GeoGebra

Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch
Originallink: https://www.geogebra.org/m/fnavjbgf

GeoGebra


Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png


Übung 10: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden
Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.
leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)


Übung 11

Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.