Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

Wissenschaftswoche 2024
[[Bild:|250px]]	Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?

Lineares Wachstum

Wenn eine Größe b absolut und konstant in einem zugehörigen Zeitabschnitt zu- oder abnimmt, spricht man von linearem Wachstum. Die Differenzengleichung lautet: $A_{n+1}=A_n+b$

Mit der Gleichung $A_{n}=A_0+n·b$ wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel $y=m·x+t$ verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn $b\neq0$ ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung(z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).

Exponentielles Wachstum

Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand  

Beispiele: Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die Differenzialgleichung lautet: $N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)$

mit $q=(1+p)$ als Wachstumsfaktor $q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}$

und $p$ als Wachstumsrate, $p$%$=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}$

Lösung der Gleichung: $N_t=N_0\cdot q^t$

Logistische Modelle

Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Die Differenzialgleichung lautet: $N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))$

mit $N(0)=N_0$, $K$ Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

$N(t)$ die Größe zum Zeitpunkt t, $N_0$ Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, $a$ Konstante

Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen

Heute werden viele Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data(Verwendung von großen Datenmengen) bestimmt. Es gibt aber auch weniger bekannte Anwendungszwecke. Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolgen, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Literaturverzeichnis

1. Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)
2. Ableitinger, C., " Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1.Auflage 2010, S.29 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)
3. Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)