Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo: Unterschied zwischen den Versionen

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Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>
Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>
mit <math>N(0)=N_0</math>


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Version vom 2. Juli 2024, 09:02 Uhr

Wissenschaftswoche 2024
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Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?


Lineares Wachstum

Wenn eine Größe b absolut und konstant in einem zugehörigen Zeitabschnitt zu- oder abnimmt, spricht man von linearem Wachstum. Die Differenzengleichung lautet:

Mit der Gleichung wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn ist.

Deshalb können in der Realität, nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung(z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).

Exponentielles Wachstum

Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand  

Beispiele: Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die Differenzialgleichung lautet:

mit als Wachstumsfaktor

und als Wachstumsrate, %

Lösung der Gleichung:

Exponential growth no name.svg

Logistische Modelle

Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.

Die Differenzialgleichung lautet:

mit

Exam pass logistic curve.svg

Einsatz von Algorithmen und Funktionen um Vorhersagen zu treffen

Blick in die Zukunft

Literaturverzeichnis

  1. Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)
  2. Ableitinger, C., " Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1.Auflage 2010, S.29 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)
  3. Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)