Benutzer:Elena Jedtke/Testseite

Spielwiese

Schreiben im Wiki

Neben normalem Text kann man auch kursiven oder fett gedruckten Text schreiben. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich. Grüner Text ist schon etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung.

Vorlagen

Ganz einfach per Mausklick aktivierbar

Aufgabe

Inhalt

Übung

Inhalt

Merksatz

Inhalt

Dateien

Bild aus ZUM Projekte:

Bild aus Wikipedia:

allgemeines Dreieck

Interaktive Applets

LearningApp:

Geogebra-Applet:

Kombinationen

Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

(Inhalte aus dem Lernpfad Quadratische Funktionen erkunden)

Merke

Terme quadratischer Funktionen können in der Form $y=a(x-d)^2+e$ angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man Scheitelpunktform, da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten $S(d/e)$.

Der Parameter "$a$"

Was passiert, wenn man statt der Funktion $y=x^2$ folgende Funktionen gegeben hat:

(1) $y=2x^2$,          (2) $y=\frac{1}{2}x^2$     und     (3) $y=-x^2$ ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von $y=x^2$ vergleichen.

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?

In dem Applet ist die Normalparabel $f(x)=x^2$ grau eingezeichnet. Du kannst verschiedene Werte für "$a=$" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph $g(x)=a \cdot x^2$ verändert.

Aufgabe 2

a) Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.

Aufgabe 3

Finde Werte für a, d und e, so dass $f(x)$ die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

Hintergrundbild	Lösungsvorschlag	Parameter a	Parameter d	Parameter e
Angry Birds	$f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85$	-0.15 ≤ a ≤ -0.13	6.80 ≤ d ≤ 7.20	4.70 ≤ e ≤ 5.00
Golden Gate Bridge	$f(x)=0.04(x-5.7)^2+1$	0.03 ≤ a ≤ 0.05	5.00 ≤ d ≤ 6.40	0.80 ≤ e ≤ 1.10
Springbrunnen	$f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3$	-0.40 ≤ a ≤ -0.30	4.70 ≤ d ≤ 5.00	5.10 ≤ e ≤ 5.50
Elbphilharmonie (Bogen links)	$f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35$	0.33 ≤ a ≤ 0.47	2.40 ≤ d ≤ 2.60	4.25 ≤ e ≤ 4.40
Elbphilharmonie (Bogen mitte)	$f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4$	0.30 ≤ a ≤ 0.36	5.70 ≤ d ≤ 6.00	3.20 ≤ e ≤ 3.60
Elbphilharmonie (Bogen rechts)	$f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60$	0.18 ≤ a ≤ 0.27	9.30 ≤ d ≤ 9.50	3.55 ≤ e ≤ 3.65
Gebirgsformation	$f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3$	-0.30 ≤ a ≤ -0.10	5.10 ≤ d ≤ 5.70	2.10 ≤ e ≤ 2.50
Motorrad-Stunt	$f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95$	-0.10 ≤ a ≤ -0.04	7.30 ≤ d ≤ 8.10	5.70 ≤ e ≤ 6.20
Basketball	$f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45$	-0.35 ≤ a ≤ -0.29	6.20 ≤ d ≤ 6.80	6.20 ≤ e ≤ 6.70

Fragen zum Quelltext

Frage 1

Aufgabe 3: Wie lautet die Gleichung der Geraden?

Gegeben sei die Steigung der Geraden $m = 3,5$. Außerdem verlaufe die Gerade durch den Punkt $P(2/5)$. Bestimme die Gleichung der Geraden in der Form $f(x) = mx + b$.

Frage 2

a) $9x+9y+9z$

b) $81x+45y$

c) $5x-4xy+9xz+$

d) $25a-35ab+50ax$

e) $8ax+24xy+64abxz$

Frage 3

Gegeben sei die Steigung der Geraden $m = 3,5$. Außerdem verlaufe die Gerade durch den Punkt $P(2/5)$. Bestimme die Gleichung der Geraden in der Form $f(x) = mx + b$.

Aufgabe 3: Wie lautet die Gleichung der Geraden?*

Gegeben sei die Steigung der Geraden $m = 3,5$. Außerdem verlaufe die Gerade durch den Punkt $P(2/5)$. Bestimme in deinem Heft die Gleichung der Geraden in der Form $f(x) = mx + b$ und klicke dann auf das entsprechende Ergebnis.

Setze die gegebenen Informationen in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + b$ ein.

Setze zunächst für die Steigung $m = 3,5$, sodass dein erstes Gerüst $f(x) = 3,5x + b$ entsteht. Nutze in einem zweiten Schritt die Angabe des Punktes $P(2/5)$, sodass du mit $x = 2$ und $f(x) = 5$ die Gleichung $5 = 3,5\cdot2 + b$ erhältst. Bestimme nun mit Auflösung nach $b$ den Wert $b = -2$, sodass sich schließlich die Geradengleichung $f(x) = 3,5x - 2$ ergibt.

Aufgabe 4: Finde die gesuchte Geradengleichung!*

Bestimme in deinem Heft die Gleichung der Geraden, welche durch die Punkte $P(3/-4)$ und $Q(8/6)$ verläuft, in der Form $f(x) = mx + b$ und klicke dann auf das entsprechende Ergebnis.

Bestimme die Steigung der Geraden mithilfe der Punkte $P$ und $Q$, indem du rechnest: $m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2$. Wenn du Schwierigkeiten dabei hast, dir dieses Vorgehen zu erklären, stell dir vor, dass du an den Punkten $P$ und $Q$ des Graphen ein Steigungsdreieck zeichnest. Dann entspricht der Zähler der obigen Rechnung genau der Länge des y-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks und der Nenner der obigen Rechnung der Länge des x-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks.

Alternativ kannst du auch zwei Gleichungen erstellen, indem du die Angaben der Punkte $P(3/-4)$, d.h. $x = 3$ und $f(x) = -3$, und $Q(8/6)$, d.h. $x = 8$ und $f(x) = 6$ nutzt.

Wenn du nach der ersten Variante vorgegangen bist, also die Steigung berechnet hast, dann wähle nun einen der beiden Punkte $P$ oder $Q$ und setze in $f(x) = 2x + b$ die zugehörigen Werte für $x$ und $f(x)$ ein.

Wenn du nach der zweiten Variante vorgegangen bist, also zwei Gleichungen, jeweils mit den Unbekannten $m$ und $b$ aufgestellt hast, dann hast du ein lineares Gleichungssystem erhalten. Nun kannst du mithilfe des Eliminationsverfahrens zunächst die eine und dann die andere Unbekannte bestimmen.

Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung $m$ und dann mithilfe eines der beiden Punkte $b$ bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: $m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2$. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes $P$ oder $Q$ entweder $-4 = 2 \cdot 3 + b$ oder $6 = 2 \cdot 8 + b$. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach $b$ liefert $b = -10$, sodass du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = 2x - 10$ erhältst.

Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte $P$ und $Q$ ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten $m$ und $b$ auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen $-4 = m \cdot 3 + b$ und $6 = m \cdot 8 + b$. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du $b$ eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach $m$ die Unbekannte $m = 2$. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für $m$ ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach $b$ die Unbekannte $b = -10$. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = 2x - 10$.

Frage 4

4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen

Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus.

Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.)

Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$. Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter $a, d$ und $e$ veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen.

Für den Scheitelpunkt gilt: $S=(d,e)$. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter $a$ bestimmen.

Um den Parameter $a$ zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt $(x,y$ ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach $a$ auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.

Möglichkeit 2: Alternativ kannst du den Parameter $a$ auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht $a$ der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.