Buss-Haskert/Quadratische Gleichungen

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Lernpfad Quadratische Gleichungen

In diesem Lernpfad lernst du

• was quadratische Gleichungen sind,
• wie du quadratische Gleichungen lösen kannst,
• wie du Anwendungsaufgaben mithilfe von quadratischen Gleichungen löst.
  

Bearbeite die Schritte des Lernpfades selbständig. Stelle Fragen, wo du unsicher bist. Achte auf die Zeit!!

In der Fahrschule lernst du eine Faustformel für die Berechnung des Bremsweges:

Bremsweg in m:   s_B = ($\tfrac{v}{10}$)²

Was bedeuten s und v?

"s" bedeutet Weg bzw. Strecke; v steht für Geschwindigkeit (engl. velocity)

Hier handelt es sich um eine quadratische Gleichung, da die Variable v quadriert wird (v²).

Berechne den Bremsweg, wenn das Auto mit einer Geschwindigkeit von 30km/h fährt, also v=30 und wenn es mit einer Geschwindigkeit von 50km/h unterwegs ist.

Was fällt dir auf?
Vor Schulen oder Kindergärten sollten die Bremswege möglichst kurz sein. Wie schnell darf ein Auto fahren, damit der Bremsweg höchstens 4m beträgt?

Tipp

Wenn v=30 beträgt, ist s_B = ($\tfrac{30}{10}$)² = 3² = 9 (m)
Für v=50 ist s_B = ($\tfrac{50}{10}$)² = 5² = 25(m)
Der Bremsweg ist also bei 50 km/h deutlich länger als bei 30 km/h, denn er hängt vom Quadrat der Geschwindigkeit ab.

Hier ist s=4m gegeben, die Gleichung muss also nach v aufgelöst werden. Dies lernst du in diesem Lernpfad!

Du siehst: Mathe ist überall! Du erarbeitest nun die Grundlagen zum Lösen solcher quadratischer Gleichungen.

1) Was sind quadratische Gleichungen?

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable in zweiter Potenz (also z.B. x²) vorkommt.

Erinnerung: Lineare Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable nur in erster Potenz (also z.B. x = x¹) vorkommt.

Entscheide in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um eine quadratische Gleichung handelt oder nicht.

2) Wie löse ich quadratische Gleichungen?

Quadratische Gleichungen kannst du zeichnerisch und rechnerisch lösen. Nutze für die zeichnerische Lösung GeoGebra und prüfe so immer deine rechnerischen Lösungen. Es gibt verschiedene Formen quadratischer Gleichungen. Die Lösungsstrategie hängt von der Form ab. Dies erklären die folgenden Kapitel.

2.1) Rein quadratische Gleichungen lösen

In der obigen Faustformel kommt die Variable v nur in quadratischer Form vor, also nur als v². Solche Gleichungen heißen "rein quadratisch". Sie haben immer die Form ax² = d (hier umgeformt $\tfrac{1}{100}$v² = s_B)

Rein quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung heißt rein quadratisch, wenn die Variable ausschließlich in der zweiten Potenz vorkommt:

    ax² = c

Diese Gleichungen zu lösen hast du schon in der 9. Klasse gelernt. Wiederhole dein Wissen mithilfe der nachfolgenden Aufgaben.

Übung 1

Löse Buch

• S. 32 Nr. 10
• S. 35 Nr. 18
• S. 35 Nr. 19
• S. 35 Nr. 20

Tipp zu Nr. 18a,b

Im Bruch sind Zähler und Nenner jeweils Quadratzahlen. Ziehe einzeln die Wurzel (Wurzelgesetze) und schreibe die Lösungen als Bruch.

Tipp zu Nr. 18h

Erinnerung: Gehe beim Lösen von Gleichungen immer "rückwärts" vor, also zuerst die Strichrechnung, dann die Punktrechnung, dann die Potenzen und Klammern.
Rechne hier also zuerst +100, dann :3 und zum Schluss ziehe die Wurzel.

Tipp zu Nr. 19

Bringe zunächst alle Terme mit x² auf eine Seite der Gleichung und dann alle Terme ohne Variable auf die andere Seite. Teile durch den Koeffizienten von x² und ziehe dann die Wurzel:
15x² - 2 = 6x² - 1 | -6x²
9x² - 2 = -1 | +2
9x² = 1 |:9
x² = $\tfrac{1}{9}$ |$\surd$

x₁ = $\tfrac{1}{3}$ ; x₂ = -$\tfrac{1}{3}$

Tipp zu Nr. 20

Beseitige zunächst die Brüche, indem du mit dem Nenner multiplizierst.
Beispiel a):
$\tfrac{x^2}{3}$ = 12 |∙3
x² = 36 |$\surd$

x₁ = 6 ; x₂ = -6

Übung 2

Löse die nachfolgende App.

Was ist die bei der letzten Aufgabe aufgefallen?

Tipp zu Aufgabe g)

Bei der letzten Aufgabe muss im letzten Schritt $\sqrt{-2}$ berechnet werden. Dies ist nicht möglich, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.

In den obigen Aufgaben erkennst du, dass eine rein quadratische Gleichung mehrere Lösungen haben kann:
zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Wovon hängt die Anzahl der Lösungen ab? Erkläre und begründe mithilfe der nachfolgenden Beispiele:

Zwei Lösungen:

1. x² = 169  |

...

Eine Lösung:

2. 2x² + 10 = 10  |

...

Keine Lösung:

3. -3x² = 108  |

...

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel):

Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn der Radikand positiv, null oder negativ ist.

Begriff Radikand

Du kannst diese Gleichungen auch grafisch lösen:
Beispiel:
1. x² = 169 kannst du auch schreiben als x² - 169 = 0. Du berechnest also die Nullstellen der Funktion f(x) = x² - 169.

Übertrage die Zeichnung in dein Heft und erkläre die grafische Lösung.

Wie hilft dir das nachfolgende Applet bei der Lösung der Gleichung 0,5x² = 4,5 ? Erkläre im Heft!

Übung 3

Löse Buch

• S. 35 Nr. 22
• S. 35 Nr. 23
• S. 35 Nr. 24 a, b
  

Nutze zur Lösung bzw. zur Kontrolle die obigen Applets von GeoGebra.

Tipp zu Nr. 22

Löse die Gleichung und schau auf den Wert unter der Wurzel: Ist es eine positive Zahl gibt es zwei Lösungen, ist der Wert unter der Wurzel 0, so gibt es genau eine Lösung und ist der Wert unter der Wurzel negativ, gibt es keine Lösung.

Tipp zu Nr. 23

Nutze zur Lösung das obige Geogebra-Applet.

Tipp zu Nr. 24

Löse die Gleichungen zunächst nach x auf. Die Variable a befindet sich dann immer unter dem Wurzelzeichen. Nun betrachte den Wert unter der Wurzel und prüfe, für welche Werte von a dieser positiv, null oder negativ ist.
Beispiel a):
x² - a = 0 |+a x² = a |$\surd$
Hier gibt es zwei Lösungen, wenn a eine positive Zahl ist, also a>0.

x₁ = $\sqrt{a}$; x₂ = -$\sqrt{a}$

Übung 4

Löse die Gleichungen ① $\dfrac{1}{2}$x² - 2 = 0 und ② -2x² + 2 = 0 zeichnerisch. Es gibt mehrere Möglichkeiten. Vergleiche deine Lösungen mit denen deines Partners.

Tipp 1 zur zeichnerischen Lösung

1. Möglichkeit: Zeichne die Parabeln mithilfe einer Wertetabelle und lies die Nullstellen ab.
2. Möglichkeit: Forme die Gleichungen um in die Form ax² = d und zeichne die Parabel ax² und die Gerade y=c. Lies die Schnittpunkte ab.

Tipp 2 zur zeichnerischen Lösung

1. Möglichkeit:

2. Möglichkeit:

2.2) Gemischt quadratische Gleichungen lösen

Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt.

2.2.1) Lösen durch Ausklammern: Gleichungen der Form x² + bx = 0

Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt.
Beginnen wir mit dem besonderen Fall, dass die Gleichung die Form x² + bx = 0 hat, es also keinen Term "ohne" Variable gibt und eine Seite den Wert 0 hat.

Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch Ausklammern

Hat die Gleichung die Form x² + bx = 0, so kannst du x ausklammern:
x² + bx = 0
x(x + b) = 0   Dieses Produkt wird nur 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist (Satz vom Nullprodukt), also
x = 0 oder x + b = 0 |-b

x₁ = 0 oder x₂ = -b.

Übung 5

Löse die nachfolgende App, indem du zunächst die Gleichung durch Ausklammern in die Produktform umwandelst.

Übung 6

Löse Buch

• S. 28 Nr. 14
• S. 28 Nr. 15

Tipp zu Nr. 14

Bringe die Gleichung zunächst in die Form x² + bx = 0 und löse dann wie in der LearningApp.

Tipp zu Nr. 14c

c) x² = 3x |-3x
x² - 3x = 0

Klammere nun x aus (wie in Übung 4)

Tipp zu 14d

2x² + 5x = 0 |Klammere 2x aus.
2x(x + 2,5) = 0 |Nullprodukt
2x = 0 oder x + 2,5 = 0
Den letzten Schritt schaffst du allein!

Du kannst hier auch anderes vorgehen:
2x² + 5 = 0 |Klammere x aus.
x(2x + 5) = 0 |Nullprodukt
x = 0 oder 2x + 5 = 0
Nun musst du noch in zwei Schritten die Gleichung 2x+5=0 nach x auflösen.

Welches Vorgehen fällt dir leichter? Du darfst wählen.

Tipp zu 14e

Bringe erst alle Terme auf die linke Seite, damit die rechte Seite den Wert 0 hat. Löse dann wie in 14d

Tipp zu Nr. 15

Hier ist die Produktform schon gegeben. Es gilt wieder, dass ein Produkt nur 0 sein kann, wenn einer der Faktoren 0 ist:
(x + 4)(x + 5) = 0
x + 4 = 0 oder x + 5 = 0

x₁ = -4 oder x₂=-5.

Tipp zu Nr. 15d

{{{1}}}

2.2.2) Lösen durch quadratische Ergänzung: Gleichungen der Form x² + bx + c = 0

Kannst du die folgenden Gleichungen lösen? Probiere aus und vergleiche deine Ideen mit denen deines Partners.
1. (x + 3)² = 0

2. x² + 6x + 9 = 0

3. x² -10x + 25 = 0

4. x² +8x + 7 = 0

Tipp zu 1

Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, dann gilt x+3 = 0, also x = -3.
Hier hilft wieder die zeichnerische Lösung: Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=(x+3)².

Hier siehst du auch, warum die Gleichung nur eine Lösung hat.

Tipp zu 2

Erkennst du, dass der Term ein Binom ist (1.binomische Formel)? x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Wandle also den Term um und löse durch Wurzelziehen:
x² + 6x + 9 = 0  |1. bin. Formel
(x + 3)² = 0   |$\surd$
x + 3 = 0  |-3
x₁= -3

Erinnerung: Binomische Formeln

Erinnerung: Die binomischen Formeln
1. binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. binomische Formel (a + b)(a - b) = a² - b²
Du benötigst für die quadratische Ergänzung die 1. und 2. binomische Formel.

Lied zu den binomische Formeln

Binomische Formeln (Mathe-Song)

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Tipp zu 3

Erkennst du, dass der Term ein Binom ist (2.binomische Formel)? x² - 10x + 25 = (x - 5)²
Wandle also den Term um und löse durch Wurzelziehen:
x² - 10x + 25 = 0  |2. bin. Formel.
(x - 5)² = 0   |$\surd$
x - 5 = 0  |+5
x₁= 5

Erinnerung: Binomische Formeln

Erinnerung: Die binomischen Formeln
1. binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. binomische Formel (a + b)(a - b) = a² - b²
Du benötigst für die quadratische Ergänzung die 1. und 2. binomische Formel.

Lied zu den binomische Formeln

Binomische Formeln (Mathe-Song)

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Tipp zu 4

Nutze die Idee aus den ersten drei Beispielen. Du "wünscht" dir eine binomische Formel!
x² + 8x + 7 = 0 Der Anfang des Terms x² + 8x passt zur ersten binomische Formel. Leider passt die Zahl +7 nicht. Forme die Gleichung zunächst so um, dass der Teil der binomische Formel auf einer Seite und die Zahl auf der anderen Seite der Gleichung steht. Ergänze dann den für die binomische Formel fehlenden Term. Löse diese Gleichung dann wie in den Beispielen 1 - 3.
x² + 8x + 7 = 0  |-7
x² + 8x = -7      |quadratische Ergänzung: Es fehlt für die 1. bin. Formel $\left ( \tfrac{8}{2} \right )^2$=4²=16
x² + 8x + 16 = -7 + 16   |1. bin. Formel
(x + 4)² = 9   |$\surd$
x + 4 = 3   oder x + 4 = -3

x = -1 oder x = -7

Kommt in der Gleichung neben x² und x auch noch ein Term ohne x vor, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung

Hat die Gleichung die Form x² + bx + c = 0, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:

Stelle die Gleichung um: x² + bx = -c.
Mithilfe der quadratischen Ergänzung $\left ( \frac{b}{2} \right )^2$ auf beiden Seiten der Gleichung, wird dann der Term x² + bx zu einem Binom umgeformt. Dann wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

Schau das Video zur Beispielaufgabe an. Schreibe das Beispiel in dein Heft und mache dir Notizen zu jedem Schritt der Lösung.

Gleichung mit quadratischer Ergänzung lösen by einfach mathe!

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Übung 7

Nun bist du an der Reihe. Löse mit der quadratischen Ergänzung

• S. 27 Nr. 3 .
  

Drehe zu einer deiner Lösungen ein Video, ähnlich wie das Video oben und lade es auf IServ in den Mathematik-Order eurer Klasse hoch.
Falls dir diese Aufgabe noch zu schwer ist, bearbeite zunächst die LearningApps unten und löse die Aufgaben danach.

Vorübung zu Übung 7

Übung 8

Löse mit quadratischer Ergänzung Buch

• S. 27 Nr. 2
• S. 27 Nr. 4
• S. 27 Nr. 5

Tipp zu Nr. 2

Bringe zunächst die Terme mit Variable auf eine Seite der Gleichung und den Term ohne Variable auf die andere Seite. Bestimme dann die quadratische Ergänzung und löse wie in Übung 6

Lösung zu Nr. 2a

x² + 6x + 9 = 25 |-9
x² + 6x = 16   |quadratische Ergänzung $\left ( \frac{6}{2} \right )^2$=3²
x² + 6x + 3² = 16 + 3² |1. binomische Formel
(x + 3)² = 25   |$\surd$
x + 3 = 5 oder x + 3 = -5
x = 2 oder x = -8

Löse die folgenden Aufgaben entsprechend.

Tipp zu Nr. 4

Bringe die Gleichung zunächst in die Form, dass auf der einen Seite die Terme mit Variable stehen und auf der anderen Seite der Term ohne Variable. Dabei muss das Vorzeichen von x² positiv sein.

Lösung zu Nr. 4a

10 - x² = 3x  |+x²
10 = x² + 3x  |quadratische Ergänzung $\left ( \frac{3}{2} \right )^2$=1,5²
10 + 1,5² = x² + 3x + 1,5² | 1. binomische Formel
12,25 = (x + 1,5)²   |$\surd$
3,5 = x + 1,5 oder-3,5 = x + 1,5
x = 2 oder x = -5

Löse die folgenden Aufgaben entsprechend.

Tipp zu Nr. 5

Bringe die Gleichung zunächst in die Form, dass auf der einen Seite die Terme mit Variable stehen und auf der anderen Seite der Term ohne Variable. Dabei muss das Vorzeichen von x² positiv sein.

Lösung zu Nr. 5a

5x² + 14 + 4x = 6x² + 3x - 6  |-5x²
14 + 4x = x² + 3x - 6   |-4x
14 = x² - x - 6   |+6
20 = x² - x  |quadratische Ergänzung $\left ( \frac{1}{2} \right )^2$=0,5²
20 + 0,5² = x² - x + 0,5² | 2. binomische Formel
20,25 = (x - 0,5)²   |$\surd$
4,5 = x - 0,5 oder-4,5 = x - 0,5
x = 5oder x = -4

Löse die folgenden Aufgaben entsprechend.

2.2.3) Lösen mit der Lösungsformel: p-q-Formel

Mit der quadratischen Ergänzung kannst du gemischt quadratische Gleichungen lösen. Eine weitere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel.

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die gemischt quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform gegeben sein:
x² + px + q = 0

Was muss ich für die Normalform beachten?

Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.

Diese Formel wird hergeleitet mithilfe der quadratischen Ergänzung. Wir leiten die Formel parallel zu einer Beispielaufgabe oben her:

Lösen mit der Lösungsformel: p-q-Formel

Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen. Dazu muss die Gleichung zunächst in die Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden. Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt:
x_1/2 = -$\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.

Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:

p-q-Formel (Die Lösungsformel) (Mathe-Song)

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Übe zunächst das Umstellen der Gleichung ein die Normalform und die Bestimmung von p und q.

Löse die nächsten Aufgaben mit der Lösungsformel. Schreibe wie im Beispiel:

x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$=-11; -$\tfrac{p}{2}$=11; q=72
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{121-72}$
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{49}$
x_1/2 = 11$\pm$7
x₁ = 18; x₂ = 4

Kurzschreibweise:
x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$=-11; -$\tfrac{p}{2}$=11; q=72
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11$\pm$7
x₁ = 18; x₂ = 4

Übung 9

Löse mit der p-q-Formel Buch

• S. 30 Nr. 1
• S. 30 Nr. 2
• S. 32 Nr. 15

Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.

2.3) Allgemein quadratische Gleichungen lösen

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.

Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die p-q-Formel zur Lösung anwenden.

Allgemein quadratische Gleichungen lösen

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Alle quadratischen Gleichungen lassen sich umformen in die Normalform x² + px + q = 0. Dann kann wieder die p-q-Formel zur Lösung angewendet werden.
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.

2. Schritt: Wende die p-q-Formel x_1/2 = -$\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$ an.

Übe zunächst das Umwandeln in die Normalform:

Ein Video zur Zusammenfassung:

In 60 Sekunden Mathe | die pq-Formel by einfach mathe!

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Übung 9

Löse Buch

• S. 30 Nr. 3
• S. 30 Nr. 4

Wandle die Gleichungen zunächst in die Normalform um und wende dann die p-q-Formel an.

Tipp zu Nr. 3

Du hast in der obigen LearningApp schon die allgemeine Form in die Normalform umgewandelt. Damit kannst du Nr. 3 lösen

Tipp 1 zu Nr. 4

Forme die Gleichung zunächst so um, dass eine Seite = 0 ist.
Bringe diese Gleichung dann in die Normalform, indem du durch den Koeffizienten von x² dividierst.

Tipp 2 zu Nr. 4

Normalform a) x² + 9x - 52 = 0
b) x²-$\tfrac{1}{2}$x-5=0

c) x² -3x -70 = 0

Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel). Der Radikand $\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q$ wird Diskriminante D genannt.
Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von D.

Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn die Diskriminante D positiv, null oder negativ ist.

Beispiele:

D > 0, zwei Lösungen:

1. x² + 6x + 5 = 0  |$\tfrac{p}{2} = 3; q = 5$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{3^2-5}$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{4}$  D = 4 (positiv)
x_1/2 = -3$\pm$2   x₁ = -1 ; x₂ = -5

D = 0,eine Lösung:

2. x² + 6x + 9 = 0  |$\tfrac{p}{2} = 3; q = 9$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{3^2-9}$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{0}$  D = 0
x_1/2 = -3$\pm$0

D < 0,keine Lösung:

3. x² + 6x + 10 = 0  |$\tfrac{p}{2} = 3; q = 10$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{3^2-10}$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{-1}$  D < 0 (negativ)

$\sqrt{-1}$ ist nicht lösbar, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.

Übung 10

Löse Buch

• S. 30 Nr. 10

Tipp zu Nr. 10

a)3x² + 20x + 120 = 12 - 16x |1. Schritt: "...=0", also-12; +16x
3x² + 36x + 108 = 0  |2.Schritt: Normieren, also :3
x² + 12x + 36 = 0   |pq-Formel
x_1/2 = -6$\pm\sqrt{6^2-36}$
x_1/2 = -6$\pm\sqrt{0}$
x = -6 Eine Lösung, da die Diskriminate D = 0 ist.

b) (x + 3)² - 5 = 2(x - 5) + 3x²   Klammern auflösen
x² + 6x + 9 - 5 = 2x - 10 + 3x²   -2x; +10; -3x²
-2x² + 4x + 14 = 0 | :(-2) x² - 2x - 7 = 0 |pq-Formel...(D > 0, also 2 Lösungen)

c) (x-1)² + x² - 2 = (x - 2)(x + 2) |Klammern auflösen (2. und 3. bin. Formel)
x² - 2x + 1 + x² - 2 = x² - 4 |-x²; +4
x² - 2x + 5 = 0 | pq-Formel ... (D<0, also keine Lösung)

d) x(x + 3) + 12 = 12 - (2x + 1)² |Klammern auflösen
x² + 3x + 12 = 12 - (4x² + 4x + 1) | Klammer auflösen
x² + 3x + 12 = 12 - 4x² - 4x - 1 | -12; + 4x²; +4x; +1
5x² + 7x + 1 = 0 | :5

x² + 1,4x + 0,2 = 0 | pq-Formel...(D > 0, also 2 Lösungen)

Übung 11: Vermischte Übungen

Wähle Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs Nr. 1 - 19 .

3) Anwendungsaufgaben

Anwendungsaufgaben lassen sich schrittweise lösen mithilfe eines Modells. Dabei wird die reale Situation (Sachsituation) in ein vereinfachtes mathematisches Modell übersetzt. Nun können wir diese Rechnung lösen. Die mathematische Lösung wird dann auf die Realität bezogen und die Ergebnisse werden zur Bewertung der Situation genutzt.

Der nachfolgende Kreislauf veranschaulicht dies:

Häufig geht es in Anwendungsaufgaben mathematisch darum, die Nullstellen von Parabeln zu bestimmen. Dazu nutzt du dein Wissen zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Um Aufgaben zu geometrischen Anwendungen zu lösen, helfen dir die nachfolgenden Schritte:
1. Gib die Bedeutung der Variablen an. Bei geometrischen Anwendungen zeichne eine Skizze und beschrifte sie vollständig.
2. Stelle Terme zu den Angaben im Text auf.
3. Stelle eine Gleichung auf.
4. Löse die Gleichung
5. Probe
6. Antwort

Übung 12

Löse Buch

• S. 35 Nr. 26
• S. 35 Nr. 27
• S. 35 Nr. 28

Tipp zu Nr. 26 a

x ist die Breite des Rechtecks, 5x ist die Länge. Es gibt zwei Rechtecke, die sich in einer Ecke überlagern.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt A = x∙5x.
Die sich überlagernde Ecke hat die Form eines Quadrates mit der Seitenlänge x, diese Fläche muss subtrahiert werden:
A_Figur = 2∙x∙5x - x²
144 = 10x² - x²

...

Tipp zu Nr. 26 b

s ist die Seitenlänge eines Quadrates.
Die Figur setzt sich zusammen aus 4 Quadraten. Also gilt
100 = 4x²

...

Tipp zu 27 links

x ist die Kantenlänge eines Würfels.
Die Oberfläche setzt sich zusammen aus 10 Quadraten. Also:
10x² = 640
...

Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Volumen von zwei Würfel, also V = 2x³. Setzte den passenden Wert für x ein und berechne.

Tipp zu 27 rechts

Die Oberfläche setzt sich zusammen aus 14 Quadraten.
14x² = 350
...

Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Volumen von drei Würfeln, also V = 3x³. Setze den passenden Wert für x ein und berechne.

Tipp zu Nr. 28

{{{1}}}

Übung 13: Vermischte Übungen

Wähle Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 39 und
• Nr. 40 .

Aufgabe Kugelstoß

Beim Kugelstoß ließ sich die Bahn der Kugel durch folgende Gleichung beschreiben:
f(x) = -0,081x² + 0,972x + 2,268

Welche Weite erzielte der Stoß?

Tipp 1

Der Funktionsgraph der Gleichung ist eine nach unten geöffnete, gestauchte Parabel (wegen a=-0,081).

Die Stoßweite entspricht der zweiten Nullstelle der Funktion. Setze also f(x) = 0 und löse diese quadratische Gleichung.

Tipp 2

-0,081x² + 0,972x + 2,268 = 0
Dies ist eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form. Gehe schrittweise vor:

Bringe die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 und löse dann mit der pq-Formel.

Lösung

-0,081x² + 0,972x + 2,268 = 0   |:(-0,081) normieren
x² -12x - 28 = 0   |pq-Formel mit p=-12 und q=-28
x_1/2 = -(-6)$\pm\sqrt{6^2-(-28)}$
x_1/2 = 6$\pm\sqrt{36+28}$  
x_1/2 = 6$\pm\sqrt{64}$
x_1/2 = 6$\pm$8
x₁ = -2 (nicht sinnvoll); x₂ = 14

Die Stoßweite beträgt 14m.

4) Checkliste

1. Lies S. 31 ab der Mitte die Zusammenfassung! Bearbeite zunächst die Pflichtaufgaben (2. Spalte), vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch! Kreuze danach den für dich zutreffenden Smiley an.
2. Bearbeite dann die Übungsaufgaben der ausgeteilten Checkliste zu den Feldern, bei denen du 😢 angekreuzt hast.

Denke daran, deine Lösungen mit den Musterlösungen hinten im Buch zu vergleichen!

Thema	Pflichtaufgaben	😀	😑	😢
Rein quadratische Gleichungen
Du kannst rein quadratische Gleichungen lösen (Wurzelziehen).	S. 32 Nr. 9, 10, 11
Du kannst angeben, wie viele Lösungen eine rein quadratische Gleichung hat und dies begründen.	S. 32 Nr. 12 S. 35 Nr. 22, 23
Gemischt quadratische Gleichungen
Du kannst gemischt quadratische Gleichungen lösen: a) mithilfe der quadratischen Ergänzung	S. 32 Nr. 14 (und Nr.13)
b) mithilfe der p/q-Formel (Lösungsformel)	S. 39 Nr. 4 links und rechts S. 39 Nr. 5 links und rechts S. 32 Nr. 15, 17
Du kannst angeben, ob eine Gleichung zwei, eine oder keine Lösung hat.	S. 32 Nr. 16
Anwendungsaufgaben
Mathematische Texte	S. 39 Nr. 6 links
Geometrische Anwendungen	S. 39 Nr. 6 rechts
Sachsituationen (Erinnerung: Quadratische Funktionen)	S. 39 Nr. 7 rechts Aufgabe Kugelstoß (s.oben)