Jule Volbers/Studie

Willkommen auf dem Lernpfad: Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern - Wie verändern sich Seitenlängen, Flächen und Körper?

In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse wird oft mit großem Aufwand die Kulisse in einer kleineren oder größeren Version nachgebaut. Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt? Zur Beantwortung der Frage sollst du untersuchen, wie sich Längen, Flächen, Körper und Winkel beim Vergrößern oder Verkleinern verändern.

1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf kommt es an?

Fehlersuche

Nur eines der drei kleinen Bilder zeigt eine korrekte Kopie des verzauberten Autos, mit dem Harry und Ron nach Hogwarts fliegen, nachdem sie den Zug verpasst haben.

Begründe deine Entscheidung!

Auf den anderen Bildern sind die Verhältnisse der Seitenlängen und Flächen nicht korrekt. Beispielsweise ist auf dem ersten Bild die Kühlerhaube zu lang, auf dem dritten zu kurz.

Frage

Worauf muss man achten, damit die Formen nicht verzerrren? Beantworte diese Frage mit Hilfe der Aufgabe "Harry-Logo"

Harry-Logo

Harrys Freundin Luna hat ein "Harry-Logo" entworfen. Durch geeignete Zauber kann sie es vergrößern und verkleinern, so dass sie es als Anstecknadel oder auch als Banner verwenden kann.

Überlege, wie du vorgehen würdest, um das Logo auf die doppelte Größe zu vergrößern bzw. halbe Größe zu verkleinern.

Notiere stichpunktartig, wie sich

• Seitenlängen
• Winkel
• Flächen
• Seitenverhältnisse
• Flächenverhältnisse (z.B. Buchstabe - Umrandung)

verändern.

Überprüfe deine Angaben anschließend mit dem Applet "Logo".

Du kannst den Vergrößerungsfaktor - auch Skalierungsfaktor genannt - mit dem Schiebregler verändern.

Kreuze nun die richtigen Aussagen im Quiz an.

Fülle jetzt den Lückentext aus. Kontrolliere deine Lösung und übertrage sie in den Kasten "Skalieren = Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren" in deinem Begleitheft.

Merke: Skalieren = Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren

Wenn die Formen nicht verzerren sollen, muss man eine Figur maßstäblich vergrößern oder verkleinern. Dabei werden alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor multipliziert. Dieser Faktor heißt auch Skalierungsfaktor, das maßstäbliche Vergrößern oder Verkleinern heißt auch skalieren. Ist der Skalierungsfaktor k größer als 1, so wird das Original vergrößert, ist k kleiner 1, wird das Original verkleinert. Beim Skalieren bleiben alle Winkel sowie die Seiten- und Flächenverhältnisse gleich. Figuren, die durch Skalierung auseinander entstehen, nennt man mathematisch ähnlich zueinander. Achtung: Flächen wachsen oder schrumpfen schneller als Längen, man erhält die neue Fläche nicht durch Multiplikation mit dem Skalierungsfaktor aus der alten Fläche.

Wie groß ist die Teetasse?

Nachdem Alice einen Zaubertrank getrunken hat, schrumpft sie auf ein Zehntel ihrer Größe.

1. Gib den Skalierungfaktor an, mit dem die Teetasse für die Dreharbeiten vergrößert werden musste.
2. Die originale Teetasse ist ca. 8 cm hoch und hat am oberen Rand einen Umfang von 28 cm. Berechne Höhe und Umfang der vergrößerten Teetasse.

1. Der Skalierungsfaktor beträgt 10.
2. Die Seitenlängen müssen mit dem Faktor 10 multipliziert werden. Die vergrößerte Teetasse ist 80 cm hoch und hat am oberen Rand einen Umfang von 280 cm = 2,80 m.

2. Wie verändern sich Flächen beim Vergrößern oder Verkleinern?

Wie geht es weiter?

Du hast bereits festgestellt, dass Flächeninhalte beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Auch hier gibt es eine Gesetzmäßigkeit, die du herausfinden sollst. Schaue dir dazu zuerst einfache geometrische Formen an.

Quadratwachstum 1

Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Tabelle zur Aufgabe "Quadratwachstum 1" in Begleitmaterial ausfüllen. Dabei hilft dir das Geogebraapplet Quadrate 1.
So funktioniert das Applet:
Im Applet "Quadrate 1" siehst du zwei Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm, also einem Flächeninhalt von 1 cm². Das rechte Quadrat kannst du vergrößern, indem du den Skalierungsfaktor (2,3 oder 4) passend einstellst. Anschließend kannst du Kopien des kleinen Quadrats erzeugen und das skalierte Quadrat damit "auslegen". Auch Verkleinerungen (0,5 und 0,25) sind möglich. Dazu muss du die Konstruktion eventuell zurücksetzen (Pfeil oben rechts).

Nutze das Applet, um die Tabelle zur Aufgabe "Quadratwachstum 1" im Begleitmaterial zu füllen.

• 1. Fülle die Spalte "Anzahl der Quadrate".

Vergrößere das rechte Quadrat zunächst einmal (Skalierung mit einem Faktor k > 1). Für die die Vergrößerungsfaktoren 2, 3 und 4 hilft dir das Applet, die Anzahlen für die Vergrößerungsfaktoren 5,6 und 10 musst du daraus erschließen.

Verkleinere das Quadrat anschließend (Faktoren 0,5 (gleich $\frac{1}{2}$)  und 0,25 (gleich $\frac{1}{4}$). Du brauchst jetzt nur einen Teil des originalen Quadrats, um die Fläche auszulesen. Finde diesen Anteil heraus.

• 2. Berechne den Flächeninhalt der vergrößerten oder verkleinerten Quadrate mit Hilfe der Anzahl der Quadrate. Trage die Werte in die Spalte "Fläche in cm²" der Tabelle ein.

Das originale Quadrat ist das Einheitsquadrat und hat eine Fläche von 1 cm².

• 3. Überlege, welcher Zusammenhang zwischen Vergrößerungsfaktor k und Zahl der Quadrate besteht. Gib eine Formel an, mit der sich der Flächeninhalt direkt mit Hilfe des Skalierungsfaktors k berechnen lässt. Trage sie im Begleitmaterial ein.

Kontrolliere deine Lösung!

• Wird das Quadrat mit dem Faktor k vergrößert, ist die Zahl der Quadrate k²
• Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. sechzehnmal) in das Originalquadrat passen würde. Man benötigt zum Auslegen also nur noch $\frac{1}{4}$ bzw. $\frac{1}{16}$ der Originalfläche. 
• Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten.
• Wird ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm mit dem Faktor k skaliert, so beträgt der Flächeninhalt k². Die Formel für den neuen Flächeninhalt A_neu = k².
• (Begründung für Skalierungsfaktoren kleiner 1: Es ist ($\frac{1}{2}$)² = $\frac{1}{4}$, ($\frac{1}{4}$)²= $\frac{1}{16}$.)

Quadratwachstum 2

Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Tabelle zur Aufgabe "Quadratwachstum 2" in Begleitheft ausfüllen. Hierbei hilft dir das Geogebraapplet Quadrate 2. Bei diesem Applet musst du nur den passenden Skalierungsfaktor einstellen.

Begründe mit Hilfe des Applets  Quadrate 2, dass man mit der gerade entwickelten Idee den Flächeninhalt eines vergrößerten oder verkleinerten Quadrats auch dann berechnen kann, wenn das Originalquadrat eine Seitenlänge ungleich 1 cm hat. Gehe dazu folgendermaßen vor:

• Verdopple, verdreifache und halbiere die Seitenlänge des Quadrats. Berechne den Flächeninhalt mit Hilfe der angezeigten Rasterung und trage die Ergebnisse (Seitenlängen, Anzahl der Quadrate und Flächeninhalt) in die Tabelle im Begleitheft ein.
• Was stellt du fest, wenn du die Zahl der Quadrate für die Verdopplung/Verdreifachung/Halbierung (mittlere Spalte in den beiden Tabellen) vergleichst?
• Mache dir klar, wie du die Flächeninhalte der vergrößerten oder verkleinerten Quadrate aus dem Flächeninhalt des Originalquadrats und dem Skalierungsfaktor berechnen kannst. Fülle den Lückentext im Begleitheft aus.

Kontrolliere dann deine Lösung.

Die Anzahl der Quadrate bleibt beim Skalieren gleich. Sie hängt nicht vom Flächeninhalt der Originalfigur ab.

Man kann also den Flächeninhalt des vergrößerten oder verkleinerten Quadrats berechnen, indem man den ursprünglichen Flächeninhalt mit der Zahl der Quadrate multipliziert. Die Formel für den Flächeninhalt der vergrößerten oder verkleinerten Rechteck ist Flächeinhalt _neu = Flächeninhalt _alt ⋅ k².

In unserem Beispiel hat das ursprüngliche Quadrat den Flächeninhalt 4 cm². Die mit dem Faktor k vergrößerten oder verkleinerten Quadrate haben also einen Flächeninhalt von 4⋅ k²

Sprinteraufgabe 1 zu Quadratwachstum 2

Gib im Applet Quadrate 2 als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe der angezeigten Rasterung, dass die Formel auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt.

Beträgt die Seitenlänge des skalierten Quadrats 3 cm, so ist der Skalierungsfaktor k = 1,5.

Die neue Fläche beträgt 9 cm² . Es ist 9 = 4 ⋅ 1,5² = 4 ⋅ 2,25.

Alles verstanden?

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Skalieren eines Quadrats" in deinem Begleitmaterial.

Wird die Seitenlänge eines Quadrats

• verdoppelt, so wächst der Flächeninhalt auf das Vierfache
• verdreifacht, so wächst der Flächeninhalt auf das Neunfache
• verzehnfacht, so wächst der Flächeninhalt auf das Hundertfache
• halbiert, so schrumpft der Flächeninhalt auf ein Viertel

Der Flächeninhalt eines Quadrats wächst also quadratisch zum Skalierungsfaktor. Der Flächeninhalt wird berechnet mit A_neu= A_alt ⋅ k²

Info

Die Zerlegung des großen Quadrats in kleine Quadrate nennt man auch Rasterung. Mit Hilfe einer solchen Rasterung lassen sich Flächeninhalte berechnen oder zumindest abschätzen.

Flächenwachstum von Rechtecken

Auch Rechtecke kann man rastern. Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass auch der Flächeninhalt von Rechtecken bei Skalieren mit dem Faktor k² wächst.

Im Beispiel werden die Seitenlängen verdreifacht. Das bedeutet, dass sowohl in der Breite als auch der Länge drei kleine Rechtecke in das vergrößerte Reckteck passen. Das sind insgesamt 3⋅3 = 3²=9 Rechtecke. Der Flächeninhalt wird also neunmal größer.

Wie untersucht man das Flächenwachstum krummlinig begrenzter Flächen?

Idee

Krummlinig begrenzte Flächen wie zum Beispiel Kreise können nicht auf die gleiche Art und Weise gerastert werden. Um zu erkennen, wie sich der Flächeninhalt solcher Flächen verändert, muss die Rastermethode abgewandelt werden. Eine Möglichkeit ist die folgende: Künstler entwerfen großformatige Kunstwerke oft aus kleineren Vorlagen, die sie auf Kästchenpapier zeichen. Anschließend wird das Bild auf vergrößerte Kästchen übertragen.

See

Untersuche, wie der Flächeninhalt des Bildes des Sees beim Vergrößern wächst mit Hilfe des Applets. Bearbeite dazu die Aufgaben, die du unter dem Applet findest. Kontrolliere nach jeder Aufgabe deine Lösung.

1. Schätze den Flächeninhalt des Sees durch die Fläche der Kästchen ab. Ein Kästchen hat eine Seitenlänge von 0,5 cm.
2. Klicke auf "Vergrößere". Schätze genauso den Flächeninhalt des vergrößerten Sees ab. Ein Kästchen hat hier eine Seitenlänge von 1 cm.
3. Gib den Faktor an, mit dem die Zeichnung skaliert wurde.
4. Gib an, auf das wievielfache der Flächeninhalt bei der Vergrößerung wächst. Erläutere das Ergebnis mit Hilfe der Graphik. Tipp: Wenn du nicht weiter weißt, kannst du im Applet auf Hilfe klicken.
5. Wie groß wäre der Flächeninhalts des Sees, wenn die Kästchen eine Seitenlänge von 10 cm hätten?

Überlege, mit welchem Faktor die Seitenlängen (ausgehend von der Originalzeichnung) skaliert wurden. Nutze dann dein Wissen über das Wachstum von Flächen.

Der Flächeninhalt des Sees entspricht ca. 22 Kästchen. Ein Kästchen hat eine Fläche von 0,25 cm². Also hat der See einen Flächeninhalt von 22⋅0,25 cm² = 5,5 cm²

Der Flächeninhalt des Sees entspricht auch hier ca. 22 Kästchen. Ein Kästchen hat eine Fläche von 1 cm². Also hat der See eine Fläche von 22⋅1 cm²= 22 cm²

Der Skalierungsfaktor ist 2, weil die Seitenlängen der Quadrate und somit alle Längen verdoppelt wurden.

Der Flächeninhalt wächst auf das Vierfache. Erklärung: Die Seitenlänge der Quadrate hat sich verdoppelt, also vervierfacht sich der Flächeninhalt der Quadrate. Da beim Skalieren das Verhältnis von Flächeninhalt zueinander gleichbleibt, vervierfacht sich auch der Flächeninhalts des Sees.

Hinweis: Dies sieht man auch, wenn man die Ergebnisse für den Flächeninhalt aus a und b miteinander vergleicht.

Der Skalierungsfaktor beträgt 20. Der Flächeninhalts wächst also auf das 400fache. Also beträgt der Flächeninhalt des Sees

5,5 cm² ⋅ 400 = 2200 cm²

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "So verändern sich Flächen beim Skalieren" in deinem Begleitheft.

Merke: So verändern sich Flächen beim Skalieren

Beim Skalieren dehnt sich eine Fläche in zwei Richtungen aus. Deshalb wachsen oder schrumpfen Flächen beim Vergrößern oder Verkleinern viel schneller als Längen: Sie wachsen quadratisch. Beim Skalieren mit dem Faktor k wachsen (oder schrumpfen) Flächeninhalte mit dem Faktor k². Die Formel für den neuen Flächeninhalt ist A_neu= A_alt ⋅ k²

Idee

Mit Hilfe des Skalierungsfaktors kannst du die Flächeninhalte beliebiger vergrößerter oder verkleinerter Figuren sehr schnell berechnen.

Flächeninhalte schnell berechnen

Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Ergebnisse in die Tabelle: "Flächeninhalte schnell berechnen" im Begleitheft eintragen.

Berechne die neuen Flächeninhalte mit Hilfe des Skalierungsfaktors. Trage Rechnung und Ergebnisse in die Tabelle zur Aufgabe im Begleitheft ein.

1. Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von 32 cm². Welchen Flächeninhalt hat das Quadrat, wenn es mit dem Faktor 1/4 verkleinert wird?
2. Ein Kreis hat einen Flächeninalt von 10 cm². Welchen Flächeninhalt hat der Kreis, wenn er mit dem Faktor fünf vergrößert wird?
3. 
   Die abgebildete Eule hat einen Flächeninhalt von 0,25 m². Welchen Flächeninhalt hat das mit dem Faktor 3 vergrößerte Bild der Eule?
4. Eine rechteckige Tischdecke hat eine Fläche von 0,6 m². Welche Fläche hat eine rechteckige Tischdecke, deren Seitenlängen doppelt so lang sind?
5. Eine Riesenpizza hat eine Fläche von 2000 cm². Welche Fläche hat eine Pizza, deren Durchmesser nur halb so groß ist?

Kontrolliere anschließend deine Lösung.

1. $\frac{1}{4}$² = $\frac{1}{16}$; 32⋅ $\frac{1}{16}$= 2. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von 2 cm³
2. 5² = 25; 10 ⋅ 25 = 250. Der Kreis hat einen Flächeninhalt von 250 cm².
3. 3² = 9; 0,25 ⋅ 9=2,25. Die vergrößerte Eule hat einen Flächeninhalt von 2,25 m²
4. Der Skalierungsfaktor ist 2; 2²= 4; 0,6 ⋅ 4 = 2,4. Die Tischdecke hat einen Flächeninhalt von 2,4 m².
5. Der Skalierungsfaktor ist 0,5. 0,5² = 0,25; 2000 ⋅ 0,25 = 500. Die Pizza hat eine Fläche von 500 cm².

3. So verändern sich Körper beim Vergrößern und Verkleinern

Idee

Auch für den Rauminhalt (das Volumen) von Körpern gibt es eine Gesetzmäßigkeit, mit der die Rauminhalte beim Vergrößern oder Verkleinern wachsen bzw. schrumpfen. Diese Gesetzmäßigkeit sollst du am Beispiel eines Würfels erarbeiten:

Würfelwachstum 1

Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Tabelle zur Aufgabe "Würfelwachstum 1" im Begleitheft ausfüllen.

Der kleine Würfel hat eine Seitenlänge von 1 cm. Der zweite und dritte Würfel entstehen, indem kleine Würfel aneinandergeklebt werden.

1. Trage zunächst die Seitenlängen und den Flächeninhalt der Seiten des zweiten und dritten Würfels in die Tabelle zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
2. Überlege dann, welches Volumen der zweite und dritte Würfel haben. Trage die Werte in die Tabelle ein.
3. Ergänze die Werte für den "Viererwürfel" und für den "Sechserwürfel".
4. Erkläre mit Hilfe der Tabelle, wie das Volumen eines beliebigen Würfels wächst, wenn man die Seitenlänge des Würfels verdoppelt bzw. verdreifacht.
5. Überlege, mit welchem Faktor man das Volumen multiplizieren muss, wenn man einen Würfel mit dem Faktor k skaliert. Notiere ihn in deinem Begleitheft im Kasten zur Aufgabe.

Kontrolliere dein Ergebnis.

1. bis 3.: Siehe Tabelle.

4: In der Tabelle kann man die Werte für zwei Verdopplungen ablesen (blaue Pfeile). Das Volumen wächst jeweils auf das Achtfache. Ebenso kann man die Werte für zwei Verdreifachungen ablesen(lila Pfeile). Das Volumen wächst jeweils auf das Siebenundzwanzigfache.

5. Für eine Verdopplung - also k = 2 ist der Faktor 2²=8. Für eine Verdreifachung - also k = 3 ist der Faktor 3³ = 27. Allgemein gilt: Skaliert man einen Würfel mit dem Faktor k, muss man das Volumen mit dem Faktor k³ multiplizieren. (Man sagt auch: Rauminhalte wachsen kubisch.)

Würfelwachstum 2

Hier kannst du dir das Würfelwachstum noch einmal veranschaulichen. Fülle mit Hilfe der Schieberegler den großen Würfel vollständig mit den kleinen Würfeln aus. Beobachte, wie sich die Würfelzahlen verändern. Fülle dannn den Lückentext.

Der kleine Würfel hat eine Seitenlänge von 2 cm, also ein Volumen von 8 cm³. Um eine Bodenreihe des großen Würfels mit kleinen Würfeln zu füllen, benötigt man 5 kleine Würfel, um den ganzen Boden zu füllen 25 kleine Würfel. Um den ganzen Würfel zu füllen, muss man diese untere Schicht 5mal stapeln. Also sind 125 kleine Würfel nötig, um den großen Würfel zu füllen. Der große Würfel hat also ein Volumen von
125 ⋅ 8cm³ = 1000cm³

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Würfelwachstum 3" in deinem Begleitheft.

Würfelwachstum 3

Wenn man die Seitenlängen eines Würfels

• verdoppelt, so wächst das Volumen auf das Achtfache
• verdreifacht, so wächst das Volumen auf das Siebenundzwanzigfache
• verzehnfacht, so wächst das Volumen auf das Tausendfache
• halbiert, so schrumpft das Volumen auf ein Achtel

Skaliert man einen Würfel mit dem Faktor k, so ist das neue Volumen V_neu= V_alt ⋅ k³

.

Idee

Dieses Wachstumsprinzip gilt für beliebige Körper. Man kann alle Überlegungen zu den Flächen auf den "3D-Fall" übertragen.

Kugel

Auch für Körper kann man sich eine Rasterung vorstellen. Jeden Körper kann man sich durch viele kleine Würfel angenähert vorstellen. Ein Beispiel siehst du in der Abbildung. Erkläre in eigenen Worten, warum das Volumen des Körpers sich verachtfacht, wenn man ihn mit dem Faktor 2 vergrößert. Notiere deine Überlegungen auf ein Extrablatt.

Wenn man die Kugel mit dem Faktor 2 skaliert, verdoppeln sich alle Seitenlängen. Weil die Seitenlängen jedes Würfels sich verdoppelt, wächst das Volumen jedes Würfels auf das Achtfache. Damit verachtfacht sich auch das Volumen der Kugel.

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in die Box "So verändern sich Körper beim Skalieren" im Begleitheft.

Merke: So verändern sich Körper beim Skalieren

Beim Skalieren dehnt sich ein Körper in drei Richtungen aus. Deshalb wachsen oder schrumpfen Volumen beim Vergrößern oder Verkleinern viel schneller als Längen oder Flächeninhalte. Beim Skalieren eines Körpers mit dem Faktor k wächst (oder schrumpft) das Volumen mit dem Faktor k³. Die Formel für das neue Volumen ist V_neu= V_alt ⋅ k³

Idee

Auch Rauminhalte lassen sich beim Vergrößern und Verkleinern schnell mit Hilfe des Skalierungsfaktors berechnen.

Rauminhalte schnell berechnen

Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Tabelle zur Aufgabe "Würfelwachstum 1" im Begleitheft ausfüllen.

Berechne das neue Volumen jeweils mit Hilfe des Skalierungsfaktors:

1. Ein Würfel hat ein Volumen von 8cm³. Welches Volumen hat ein mit dem Faktor 0,5 verkleinerter Würfel?
2. Tom hat Glasmurmeln verschiedener Größen. Die kleinste Glasmurmel wiegt 4 Gramm. Wie schwer ist die größte Murmel, deren Durchmesser fünfmal so groß ist?
3. 
   Die abgebildete Vase hat ein Volumen von 400 ml. Welches Volumen hat die Vase, wenn sie mit dem Faktor 2 (Faktor 0,5) skaliert wurde?

1. 0,5³= 0,125; 8⋅0,125= 1. Der Würfel hat ein Volumen von 1 cm³
2. Der Skalierungsfaktor ist 5. 5³=125; 4 ⋅ 125= 500 Die größte Murmel wiegt 500 g.
3. Skalierungsfaktor 2: 2³=8: 400 ⋅ 8=3200. Die Vase hat ein Volumen von 3200 ml = 3,2 l.

Skalierungsfaktor 0,5: 0,5³=0,125; 400 ⋅ 0,125= 50. Die Vase hat ein Volumen von 50 ml.

4. Längen, Flächen- und Rauminhalte beim Skalieren - vernetzte Aufgaben

Lies die Zusammenfassung und übertrage die fett gedruckten Worte in die Box "So verändern sich Längen, Flächeninhalte und Volumina beim Skalieren"

Zusammenfassung: So verändern sich Längen, Flächeninhalte und Rauminhalte beim Skalieren

Beim Skalieren dehnen sich Längen in eine Richtung aus, Flächen in zwei Richtungen und Volumen in drei Richtungen. Deshalb berechnet man beim Skalieren

• Längen durch Multiplikation mit dem Faktor k
• Flächeninhalte durch Multiplikation mit dem Faktor k²
• Volumen durch Multiplikation mit dem Faktor k³.

Das Riesenschachbrett.

Hinweis: Für diese Aufgabe benötigst du die die Tabelle zur Aufgabe "Das Riesenschachbrett" im Begleitheft.

Die auf ein Zehntel ihrer Größe geschrumpfte Alice muss gegen Schachfiguren kämpfen. Für das Set musste ein entsprechend großes Schachbrett angefertigt werden.

In der Tabelle zu dieser Aufgabe im Begleitheft findest du die Angaben zum originalen Schachbrett. Gib den Skalierungsfaktor an und berechne dann alle Maße und Gewichte für das vergrößerte Schachbrett. Trage alle Ergebnisse in die Tabelle ein. Kontrolliere anschließend deine Lösung.

Die Riesentasse

Hinweis: Für diese Aufgabe benötigst du die die Tabelle zur Aufgabe "Die Riesentasse" im Begleitheft.

Auch die Teetasse musste mit dem Faktor 10 vergrößert werden. In der Tabelle zu dieser Aufgabe im Begleitmaterial findest du die Angaben zur originalen Teetasse. Berechne alle Flächenmaße und das Volumen der vergrößerten Tasse. Trage alle Ergebnisse in die Tabelle ein.

Sprinteraufgabe 2: Wie groß ist Alice?

Schätze mit Hilfe der Größe der Teetasse die ungefähre Größe der Alice-Darstellerin.

1. Die Teetasse ist etwa zwei Drittel so groß wie Alice. Da die vergrößerte Teetasse 80 cm hoch ist, ist die Schauspielerin also ca. 1,20 m groß.

Sprinteraufgabe 2: Kostenexplosion?

Das Schachbrett besteht aus sehr teurem Holz - die Kosten belaufen sich auf 800 Euro pro Quadratmeter. Die Produktionsleitung befürchtet hohe Kosten, wenn das vergrößerte Brett aus dem gleichen Material gefertigt wird. Der Bühnenbauer meint: "Alles halb so wild", und präsentiert der Produktionsleitung folgende Rechnung.

Erläutere die Berechnungen des Bühnenbauers und korrigiere den Fehler, den er gemacht hat. Nimm dann Stellung zur Frage, ob die Kosten für das Brett zu hoch sind.

Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings verhundertfach sich die Fläche und damit auch die Kosten für das Brett. Diese betragen also 20000 Euro.Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht.

Stellungnahme: Hier gibt es keine eindeutige Antwort. Einerseits sind 20000 Euro schon recht viel Geld. Andererseits ist eine Filmproduktion sehr teuer - der Betrag von 20000 Euro ist im Vergleich gering. Allerdings können auch viele solch "kleinerer" Beträge die Kosten für die Produktion in die Höhe schießen lassen.

Sprinteraufgabe 3: Zu viel Gewicht?

Die auf ein Zehntel ihrer Größe geschrumpfte Alice fällt in ein Aquarium. Für die Filmkulisse soll das abgebildete Aquarium in zehnfacher Größe nachgebaut und mit Wasser gefüllt werden. Die Bühnenbauer befürchten, dass das Aquarium dann zu schwer für die Plattform wird, auf der es stehen soll. Das Aquarium ist 60 cm breit, 30 cm tief und 50 cm hoch. Es wiegt leer 12 kg. Die Plattforn darf mit 100 t belastet werden. Prüfe, ob die Bühnenbauer mit ihrer Befürchtung Recht haben.

Annahme: Das Becken wird bis 5 cm unterhalb des Randes gefüllt. Dann wären im kleinen Becken 81 l Wasser (60cm ⋅ 30cm ⋅45cm = 85000cm³ = 81000ml = 81l). In das vergrößerte Becken müsste man dann 81l⋅1000 = 81000 l füllen. Die Wasserfüllung hat dann (unter normalen Bedingungen ein Gewicht von 81000 kg = 81 Tonnen. Schwieriger ist es, das Gewicht des Aquariums abzuschätzen, weil wir nicht wissen, ob

1. das gleiche Material verwendet wird  und
2. die Glasdicke der Seiten ebenfalls verzehnfacht wird.

Setzt man beides voraus, wächst das Gewicht des Aquariums ebenfalls mit dem Faktor 1000 (die Seitenflächen sind als Körper zu betrachten). Das Aquarium würde also 12000 kg = 12 t wiegen. Insgesamt würde das gefüllte Aquarium also 93 t wiegen und die Traglast des Podestes wäre groß genug (auch für die Schauspielerin und eventuell Personen aus dem Filmteam samt Ausrüstung). Es bleiben jedoch Unsicherheiten:

• Laut unsere Annahme wurde es ja nur bis 50 cm unterhalb des Randes gefüllt. Würde das Becken bis zum Rand gefüllt, wären dies noch 9000 l Wasser, also 9 Tonnen zusätzlich. Dann wäre die Traglast des Podestes überschritten.
• Sollte das große Aquarium am Boden mit Steinen (statt Kies) gefüllt werden, würde das Aquarium schwerer werden. Nimmt man beispielsweise an, dass die unteren 50 cm (5 cm im Original) des Beckens mit Steinen gefüllt würden, würde sich das Gewicht um 18 Tonnen erhöhen (Faustformel: Steine wiegen etwa dreimal so viel wie Wasser.). Hier wäre die Traglast deutlich überschritten.

Daher sind die Bedenken der Bühnenbauer nicht unberechtigt.