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Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Variablen, Terme und Gleichungen.

Kaum tauchen Buchstaben auf, wird Mathe für manche kompliziert. Dabei sind Variablen, Terme und Gleichungen sehr nützliche ud häufig benötigte Werkzeuge, die man sicher nutzen können sollte. In diesem Kapitel geht es darum, grundlegende Begriffe und Verfahren zum Aufstellen und Umformen von Termen sowie dem Lösen von Gleichungen zu wiederholen. Im Anschluss findest kannst du dein Wissen in Anwendungsaufgaben testen.

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1.Terme, Variablen und Gleichungen

Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.

Variablen sind Zeichen (meistens kleine Buchstaben). Sie sind Platzhalter. Du kannst Zahlen für sie einsetzen. Terme sind Rechenausdrücke. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und Variable enthalten. Werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine Gleichung. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die linearen und die quadratischen Gleichungen.

Begriffstraining

Teste dein Wissen!

 

2.Terme

Terme aufstellen

Terme in Sachsituationen

Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen.
a) Kreuze jeweils den Term an, der zur Aufgabe passt.

b) Kreuze auch hier den passenden Term an.

Terme vereinfachen

Info

Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.

Erinnerung: Überflüssige Malpunkte

Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.

Info

Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert.

Terme zusammenfassen

Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmateria. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an.
Zusammenfassen von Summen:
a) $2a+10a+11+7$
b) $-4x+5+9x-7$
c) $3a+5a +7b-2b$
d) $-2c+15-4d-3c-5$
e) $13x^2+3x+9y-3y$
f) $2x+xy-3y-2xy+2xy^2$

Beim Zusammenfassen von Summen gilt:

• Nur gleiche Variablen dürfen zusammengefasst werden.
• Auch die Potenz muss übereinstimmen.
• Die Rechenregeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen müssen beachtet werden.
• Es kann helfen, gleiche Summanden farbig zu markieren.

Beispiele:
1) ${\color{blue}b}{\color{red}+a+3a}$ $= {\color{blue}b}{\color{red}+4a}$

2) ${\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2}$ $= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy}$ $= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy}$

Hier konnten nur die beiden Teile mit ${\color{red}xy}$ zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen.

Zusammenfassen von Produkten
f) $5{r} 4{r}{s}$
g) $2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3})$

Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:

• Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden.
  
• Der Multiplikationspunkt muss nicht notiert werden ${2}\cdot {a}$ = 2a
  
• Beachte die Vorzeichen der Faktoren!

a) $2a+10a+11+7$ = $12a+18$
b) $-4x+5+9x-7$= $5x-2$
c) $3a+5a+7b-2b$ = $8a+5b$
d) $-2c+15-4d-3c-5$= $-5c-4d+10$
e) $13x^2+3x^2+9y-3y$= $13x^2+3x^2+9y-3y$
f) $5{r}4{r}{s}$ $= 5 \cdot 4 {x} {x} {y}$ $= 20 {x^2}{y}$

g) $2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3})$ $= 2 \cdot (-7) \cdot (-3) {x} {x^2} {y} {y^3}$ $= 42{x^3}{y^4}$

Erinnerung

Wichtig: Unterscheide
$(-x) + (-x) = -2x$
$(-x) \cdot (-y) = x \cdot y$

Denke daran. Es gilt:
$+ \cdot +$ ergibt: $+$
$- \cdot -$ ergibt: $+$
$- \cdot +$ ergibt: $-$
$+ \cdot -$ ergibt: $-$

Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.

Termtraining.

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.

 

Klammern in Termen

Info

Auflösen von Klammern

Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:

${\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c$.
$(b+c){\color{green}a} = b{\color{green}a} + {\color{green}a}$.
Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b  = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.

Der Flächeninhalt des blauen Rechtecks ist $a\cdot b = ab [FE]$ , der des roten Rechtecks $a\cdot c = ab [FE]$. Die beiden Rechtecks bilden ein großes Rechteck mit den Seitenlängen $a [LE] und (b+c) [LE]$. Der Flächeninhalts dieses Rechtecks kann auf 2 Arten berechnet werden: A_groß = $a\cdot (b+c) = a(b+c) [FE]$ oder durch Addition der beiden Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: $ab [FE] + ac [FE]$.
Dies ist die Erklärung der ersten Gleichung. Da die Multiplikation kommutativ ist (z.B. ist ab = ba), gilt auch die 2. Gleichung.
Formulierung in eigenen Worten: Durch Man multipliziert einen Faktor mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.

thumb

Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

$(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16$.

Erinnerung

1. Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: $a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c$
2. Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

${\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac$. ${\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac$.

b) Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt: $(a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd$. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung

Hier bilden die vier kleinen Rechtecke ein großes Rechteck. Die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke sind: $a\cdot c = ac [FE]$ (blau), $b\cdot c = bc [FE]$ (lila), $a\cdot d = ad [FE]$ (rot), $b\cdot d = bd [FE]$ (gelb).
Auch hier bilden die kleinen Rechtecke ein großes Rechteck mit den Seitenlängen $(a+b) [LE] und (c+d) [LE].$
Der Flächeninhalt des großen Rechtecks lässt sich wieder auf zwei Arten berechnen: A_groß = $(a+b)\cdot (c+d)) = (a+b)(c+d) [FE]$ oder durch Addition der vier Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: $ac [FE] + ad [FE] + bc [FE] + bd [FE ]$.
Formulierung in eigenen Worten: Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:

Es ist $(2+3) (7-2) = 5 \cdot 5 = 25$ $(2+3)(7-2) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 14 - 4 + 21 - 6 = 25$

${\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}$. ${\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2$. ${\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b$.

${\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b$.

Merke: Auflösen von Klammern

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen Faktor mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.
${\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c$. Diese Regel nennt man Distributivgesetz.
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:
$(b+c) {\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a} = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c = {\color{green}a}(b+c)$
Steht ein negativer Faktor vor der Klammer, drehen sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum: - a(b - c) = - ab + ac. Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

Training zum Ausmultiplizieren

In dieser Aufgabe kannst du das Ausmultiplizieren üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.

a) $(5b+c+3d)\cdot a =$ $5ab+ac+3ad$
b) $(5a+4b)\cdot 4 =$ $16b+20a$
c) $-8(a-2b) =$ $16b-8a$
d) $(2x+5)(3x-7) =$ $6x^2+x-35$
d) $(5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) =$ $ac+10ad+2bc+20bd$
f) $-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) =$ $-\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b$

 

Info

Ausklammern

Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an. Übertrage die Ergebnisse nach der Kontrolle in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.

8x + 12xy
= 4x⋅2 + 4x⋅3y

= 4x⋅(2 + 3y)

3. Gleichungen

Idee

Lineare und quadratische Gleichungen. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1: $x^1=x$. Ihre einfachste Form ist: $a x + b = 0$, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $x$ eine Variable. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung 2. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 2. Zum Beispiel: $x^2 = 9$ oder $2x^2 +5x - 8 = 0$. Die Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen sollst du jetzt wiederholen.

Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.

Merke

Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungen Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, übertrage diese dann in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.

1. Löse die Klammern auf.
2. Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen.
3. Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite, fasse sie zusammen bzw. ordne sie.
4. Dividiere durch den Faktor vor der Variable.

Beispiel:

Training: lineare Gleichungen lösen

Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.
a) $2a-64=5+a$

$\begin{align} & & 2a-64 &=5+a & &\mid +64-a\\ \Leftrightarrow & & a &=69 \\ \end{align}$ Probe:

$\begin{align} & & 69-64 &=5 \\ \Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\ \Leftrightarrow & & 5 &=5 \end{align}$

b) $2x+7=16-x$

$\begin{align} & & 3x+7&=16-x & &\mid -7+x\\ \Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\ \Leftrightarrow & & x &=3\\ \end{align}$ Probe:

$\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\ \Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\ \Leftrightarrow & & 16 &=16 \end{align}$

c) $4(x+1)-4x-5=1$

$\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\ \Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\ \Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\ \Leftrightarrow & & -1 &=1 \end{align}$

Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: $\mathbb{L}=\{\}$. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.

d) $\frac{1}{2x}=0,5$

Forme so um, dass 2x im Zähler steht.

$\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\ \Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\ \Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\ \Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\ \Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 1 &=x\\ & & \mathbb{L}=\{1\} \end{align}$ Probe:

$\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\ \Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\ \Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5 \end{align}$

e) $d\cdot (d-5)=0$

Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt $0$ ist.

Ein Produkt ist dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:

$\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\ \Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\ \Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\ & & \mathbb{L}=\{0,5\} \end{align}$ Probe: $\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\ \Leftrightarrow & & 0&=0 \end{align}$

$\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\ \Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\ \Leftrightarrow & & 0&=0 \end{align}$

f) $\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}$

Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.

$\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\ \Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\ \Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\ \Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\ \Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\ \Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\ \Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\ \Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\ \Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\ & & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\} \end{align}$ Probe:

$\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\ \Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\ \Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\ \Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\ \Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\ \Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3} \end{align}$

Info

Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen.

Einfache quadratische Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichungen ohne p-q-Formel. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) $0=x^2-64$

b) $x^2+25 = 0$

c) $0=x^2+13x$

d) $-2x=\frac{1}{2}x^2$

e) $(x-2)^2 = 9$

zu a und b): Bei Gleichungen der Form $ax^2+c$, also ohne linearen Summanden $bx$ kannst du die Gleichung umstellen, sodass $x^2$ alleine steht und anschließend - falls möglich - die Wurzel ziehen.

zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.

zu b): Erinnere dich: Wann kannst du aus einer Zahl die Wurzel ziehen?

zu c): Bei Gleichungen der Form $ax^2+bx$, also ohne konstanten Summanden $c$ kannst du $x$ ausklammern.

zu c): Ein Produkt ist genau dann $0$, wenn einer der beiden Faktoren bereits $0$ ist. Beispiel: ${\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0$ bedeutet, dass entweder ${\color{blue}x}=0$ oder ${\color{red}x-2}=0$ gilt.

zu d): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen $0$ steht.

zu e): Ziehe zunächst auf beiden Seiten die Wurzel. Achte auf die positive und negative Lösung.

zu a) $\begin{alignat}{3} & & 0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\ &\Leftrightarrow \qquad & 64 &= x^2 &&| \sqrt{\text{ }}\\ &\Leftrightarrow &\pm 8 &= x &&\\ &\Leftrightarrow & x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&& \end{alignat}$

zu b) $\begin{alignat}{3} & & 0 &= x^2+25 \qquad &&| -25\\ &\Leftrightarrow \qquad & -25 &= x^2 &&| \ \\ \end{alignat}$
keine Lösung (in den reellen Zahlen)

zu c) $\begin{alignat}{5} & & & & 0 &= x^2+13x & & &&| x \text{ ausklammern}\\ &\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= x \cdot (x+13) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\ &\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\ &\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -13 &= x_2 &&\\ &\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -13 && \end{alignat}$

zu d) $\begin{alignat}{5} & & & & -2x &= \frac{1}{2}x^2 & & &&| +2x\\ &\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= \frac{1}{2}x^2+2x & & &&| \cdot 2\\ &\Leftrightarrow & & & 0 &= x^2+4x & & &&| x \text{ ausklammern}\\ &\Leftrightarrow & & & 0 &= x \cdot (x+4) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\ &\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\ &\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -4 &= x_2 &&\\ &\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -4 && \end{alignat}$

zu e)

$\begin{array}{lcl} (x-2)^2 & = & 9 \mid\surd \\ x-2 & = & 3 \lor x-2 & = & -3 \\\Leftrightarrow x & = & 5 \lor x & = & -1\end{array}$

Quadratische Gleichungen mit p-q-Formel

Löse die quadratischen Gleichungen. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) $0=x^2+12x+27$

b) $0=x^2+6x-7$

c) $16x=x^2-17$

Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form $0=x^2+px+q$, lies dann $p$ und $q$ ab und bestimme die Lösung mit $x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$.

zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen $0$ steht.

zu a) $\begin{alignat}{3} & & 0 &= x^2+12x+27 &&| p=12, q=27\\ &\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\ &\Leftrightarrow & x &= -6 \pm 3 &&\\ &\Leftrightarrow & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3 && \end{alignat}$

zu b) $\begin{alignat}{3} & & 0 &= x^2+6x-7 &&| p=6, q=-7\\ &\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\ &\Leftrightarrow & x &= -3 \pm 4 &&\\ &\Leftrightarrow & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1 && \end{alignat}$

zu c)

$\begin{alignat}{3} & & 16x &= x^2-17 &&| -16x\\ &\Leftrightarrow \qquad & 0 &= x^2-16x-17 &&| p=-16, q=-17\\ &\Leftrightarrow & x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\ &\Leftrightarrow & x &= 8 \pm 9 &&\\ &\Leftrightarrow & x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17 && \end{alignat}$

4. Aufgaben zum Trainieren

Info

Die folgenden Aufgaben sind thematisch geordnet. Du darfst über die Reihenfolge der Bearbeitung frei entscheiden. Du musst nicht alle Aufgaben schaffen.

Zahlenrätsel

Finde die gesuchte Zahl

Wenn man zur Zahl $12$ das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.

Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.

Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:

Das Doppelte einer Zahl: $2x$

Zur Zahl $12$ das Doppelte einer Zahl addieren: $2x+12$. Dies wird die linke Seite der Gleichung bilden.

Das Vierfache der gesuchten Zahl: $4x$. Dies ist die rechte Seite der Gleichung.

Wir erhalten also die Gleichung: $2x+12=4x$.

Um das gesuchte $x$ zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach $x$ umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

$\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}$

Die gesuchte Zahl ist $6$.

Probe:

$\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\ \Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}$

 

Alter der Mutter

Die Mutter von Leon ist $3$-mal so alt wie er. In $12$ Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?

Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in $12$ Jahren bezieht.

Bezeichne mit $M$ das Alter der Mutter und mit $L$ das Alter von Leon. Die erste Gleichung ist $\begin{align}M=3L\end{align}$,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er. Außerdem gilt die zweite Gleichung $\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}$. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.

Setze nun $\begin{align}M=3L \end{align}$ in die zweite Gleichung ein:

$\begin{align}\\ \Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\ \Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\ \Leftrightarrow & & L=12 \end{align}$

Leon ist heute also 12 Jahre alt. Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir $L=12$ in die erste Gleichung ein:

$\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}$

Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.

Probe erste Gleichung:

$\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\ \Leftrightarrow & & 36=36 & \end{align}$

Probe zweite Gleichung:

$\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\ \Leftrightarrow & & 48=48 & \end{align}$

Leon ist heute $12$ Jahre alt und seine Mutter ist heute $36$ Jahre alt.

 

Geometrische Anwendungen

Flächeninhalt

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.

Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?

Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.

Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.

Zwei-Felder-Ball-Feld

Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein $66$ m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?

Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.

Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen.

Skizzierung des Spielfeldes

Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.

Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit $x$.

Skizzierung des Spielfeldes

Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term $7x$.

Wir erhalten die Gleichung: $7x+3=66$, da insgesamt $66$ Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden.

Diese Gleichung können wir lösen:

$\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\ \Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\ \Leftrightarrow & & x &=9 \end{align}$

Probe:

$\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\ \Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\ \Leftrightarrow & & 66 &=66\\ \end{align}$

Eine Seite ist $9$ m lang.

Schafweiden

Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber sechs Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

1. Hilf ihm und finde die Maße (Seitenlängen und Flächeninhalte) der Weiden heraus. Bearbeite diese Aufgabe in deinem Heft. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.

Was ist gegeben?

zwei flächengleiche Flächen (Quadrat und Rechteck). Wähle die Variable x = Seitenlänge der quadratischen Fläche

x = Seitenlänge der quadratischen Weide

Drücke die Seitenlängen der rechteckigen Weidefläche mit Hilfe von x aus. Stelle dann eine passende Gleichung auf.

Die beiden Weiden sind flächengleich, d.h. ihr Flächeninhalt ist gleich.

Benutze zum Aufstellen der Gleichung die Formeln für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrats und eines Rechtecks.

Beide Flächen sind gleich groß, daher lautet die Gleichung:

x² = (x – 4) (x + 6)

Versuche nun x zu berechnen. Löse hierfür zunächst die Klammern auf.

Die korrekte Gleichung lautet: x² = (x-4)(x+6).

$\begin{array}{lcl} x^2 & = & (x-4)(x+6) \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2-4x+6x-24 \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2+2x -24 \mid -x^2\\\Leftrightarrow 0 & = & 2x-24 \mid +24 \\\Leftrightarrow 24 & = & 2x\mid: 2\\\Leftrightarrow 12 & = & x \end{array}$

Du hast nun herausgefunden, dass die Länge und Breite der quadratischen Weide je 12m beträgt. Damit kannst du jetzt die Seitenlängen der rechteckigen Weide berechnen.

• 12 - 4 = 8 (eine Seitenlänge des Rechtecks)
• 12 + 6 = 18 (andere Seitenlänge des Rechtecks)

Beide Weiden haben einen Flächeninhalt von 144 m²

$12^2 = 144 = 8\cdot18$

Flächeninhalt

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes unterscheiden sich um 1 cm. Wie lang sind die Katheten, wenn die Hypotenuse 5 cm lang ist?

Wähle als Variable x: Länge einer Kathete.

Nutze den Satz des Pythagoras. Fertige hierzu eine Skizze an.

x: Länge der kürzeren Kathete. Dann ist (x+1) die Länge der längeren Kathete.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: $\begin{array}{lcl} x^2 + (x+1)^2 & = & 25 \\\Leftrightarrow x^2+x^2+2x+1 & = & 25\\\Leftrightarrow 2x^2+2x+1 & = & 25\mid-25 \\\Leftrightarrow 2x^2+2x-24 & = & 0\mid : 2\\\Leftrightarrow x^2+x - 12 & = & 0\mid pq-Formel \\\Leftrightarrow x & = & -0,5+3,5 \lor x & = & -0,5-3,5\\\Leftrightarrow x & = & 3 \lor x & = & -4 \end{array}$

Die Lösung x = -4 ist im Sachzusammenhang nicht möglich. Also ist die kürzere Kathete 3 cm lang, die längere 4 cm.