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\begin{alignat}{3}
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&                                      &      0 &= x^2+25 \qquad &&| -25\\
&                                      &      0 &= x^2+25 \qquad &&| -25\\
&\Leftrightarrow \qquad &    - &= x^2                  && \qquad &&| \\
&\Leftrightarrow \qquad &    -25 &= x^2                  &&| \sqrt{\text{ }}\\
\end{alignat}
\end{alignat}
</math>
</math>
keine Lösung (in den reellen Zahlen)  
keine Lösung (in den reellen Zahlen) <br>
zu b)
zu c)
<math>
<math>
\begin{alignat}{5}
\begin{alignat}{5}
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</math>
</math>


zu c)
zu d)
<math>
<math>
\begin{alignat}{5}
\begin{alignat}{5}

Version vom 22. März 2023, 14:27 Uhr

Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Variablen, Terme und Gleichungen.
Calcul mental.png


Kaum tauchen Buchstaben auf, wird Mathe für manche kompliziert. Dabei sind Variablen, Terme und Gleichungen sehr nützliche ud häufig benötigte Werkzeuge, die man sicher nutzen können sollte. In diesem Kapitel geht es darum, grundlegende Begriffe und Verfahren zum Aufstellen und Umformen von Termen sowie dem Lösen von Gleichungen zu wiederholen. Im Anschluss findest kannst du dein Wissen in Anwendungsaufgaben testen.


. 


1.Terme, Variablen und Gleichungen

Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.

Variablen sind (meistens kleine Buchstaben). Sie sind . Du kannst für sie einsetzen. Terme sind . Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und enthalten. Werden zwei mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine . Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die und die Gleichungen.

VariablePlatzhalterGleichungquadratischenZeichenZahlenRechenausdrückeTermelinearen


Begriffstraining

Teste dein Wissen!

 

2.Terme

Terme aufstellen

Terme in Sachsituationen

Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen. a)

b)

Terme vereinfachen

Info
Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.


Erinnerung: Überflüssige Malpunkte

Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.


Info
Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert.


Terme zusammenfassen

Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmateria. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an.
Zusammenfassen von Summen:
a)
b)
c)
d)
e)
f)


Zusammenfassen von Produkten
f)
g)



Erinnerung

Wichtig: Unterscheide



Denke daran. Es gilt:
ergibt:
ergibt:
ergibt:
ergibt:

Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.


Termtraining.

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.

 


Klammern in Termen

Info


Auflösen von Klammern

Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:

Distr1.png

.
.
Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b  = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.


Erinnerung

  1. Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:
  2. Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

. .

b) Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt: . Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung

Distr2.png


Merke: Auflösen von Klammern

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine . Man multipliziert einen mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer .
. Diese Regel nennt man .
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

Steht ein vor der Klammer, sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum: - a(b - c) = ab ac Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man der ersten Klammer mit der zweiten Klammer .

multipliziertjedem SummandenKlammer aufzulösendrehenjeden Summanden.multipliziert:Faktor-Distributivgesetznegativer Faktor+


Training zum Ausmultiplizieren

In dieser Aufgabe kannst du das Ausmultiplizieren üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.

a)
b)
c)
d)
d)
f)

 


Info


Ausklammern

Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an. Übertrage die Ergebnisse nach der Kontrolle in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.



3. Gleichungen

Idee

Lineare und quadratische Gleichungen. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1: . Ihre einfachste Form ist: , wobei und reelle Zahlen sind und eine Variable. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung 2. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 2. Zum Beispiel: oder . Die Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen sollst du jetzt wiederholen.


Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.


Merke

Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungen Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, übertrage diese dann in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.

Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen.Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite, fasse sie zusammen bzw. ordne sie.Löse die Klammern auf.Dividiere durch den Faktor vor der Variable.

Beispiel:

Beispiel Gleichung Merkkasten.jpg


Training: lineare Gleichungen lösen

Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.
a)

b)

c)

d)

e)


Sprinteraufgabe

f)


Info
Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen.


Einfache quadratische Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichungen ohne p-q-Formel. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a)

b)

c)

d)

e)


Quadratische Gleichungen mit p-q-Formel

Löse die quadratischen Gleichungen. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a)

b)

c)

4. Aufgaben zum Trainieren

Info

Zahlenrätsel

Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl


Wenn man zur Zahl das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.


Aufgabe 4: Alter der Mutter

Die Mutter von Leon ist -mal so alt wie er. In Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?



Flächeninhalt

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.




Geometrische Anwendungen

Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken


Zwei-Felder-Ball-Feld
Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?


Aufgabe 6: Getränkelager füllen

In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt m.

a) Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.

b) Eine Getränkekiste ist cm lang und cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von m m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?

Idee

Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber sechs Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

Weide_Landwirt.png

  1. Hilf ihm und finde die Maße der Weiden heraus. Bearbeite diese Aufgabe in deinem Heft. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.
  2. Wie bist du vorgegangen, um die mathematische Gleichung zu lösen? Notiere deine Vorgehensweise im Heft.