Jule Volbers/Testseite: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Terme und Gleichungen. </div>
<div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Terme und Gleichungen. </div>
[[Datei:Calcul mental.png|250 px|right]]
[[Datei:Calcul mental.png|300 px|right]]


   
   
In diesem Lernpfad geht es um das Vertiefen deines Wissens über '''Terme, Variablen und Gleichungen'''.
In diesem Lernpfad geht es um das Vertiefen deines Wissens über '''Terme, Variablen und Gleichungen'''.
Du findest hier eine Wiederholung zu den Begriffen und Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen. <s>.</s>  
Du findest hier eine Wiederholung zu den Begriffen und Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen. <s>.</s>  
 
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=='''1.Terme, Variablen und Gleichungen'''==
=='''1.Terme, Variablen und Gleichungen'''==
{{Box|1='''Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.  
{{Box|1='''Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.  
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
Variablen sind '''Zeichen''' (meistens kleine Buchstaben). Sie sind '''Platzhalter'''. Du kannst '''Zahlen''' für sie einsetzen. Terme sind '''Rechenausdrücke'''. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und '''Variable''' enthalten. Werden zwei '''Terme''' mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine '''Gleichung'''. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die '''linearen''' und die '''quadratischen''' Gleichungen.
Variablen sind '''Zeichen''' (meistens kleine Buchstaben). Sie sind '''Platzhalter'''. Du kannst '''Zahlen''' für sie einsetzen. Terme sind '''Rechenausdrücke'''. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und '''Variable''' enthalten. Werden zwei '''Terme''' mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine '''Gleichung'''. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die '''linearen''' und die '''quadratischen''' Gleichungen.
</div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
</div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}


{{Box|Begriffstraining |
{{Box|Begriffstraining |
Teste dein Wissen! {{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pgvznoxrk23}}
Teste dein Wissen! {{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pgvznoxrk23}}
  |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}
  |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}


=='''2.Terme '''==
=='''2.Terme '''==
=== '''Terme aufstellen''' ===
=== '''Terme aufstellen''' ===


{{Box|Terme in Sachsituationen|Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen.  
{{Box|Terme in Sachsituationen|Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen.  
a)  
a)  
{{H5p-zum|id= 12396|height=250}}
{{H5p-zum|id= 12396|height=250}}
b)  
b)  
{{H5p-zum|id= 21668|height=250}}
{{H5p-zum|id= 21668|height=250}}
  |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
  |Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


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{{LearningApp|app=pynxyt0qk20|width=100%|height=350px}}
{{LearningApp|app=pynxyt0qk20|width=100%|height=350px}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


{{Box|Info|Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}
{{Box|Info|Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}
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<math> = 5 \cdot 4 {x} {x} {y} </math> <math> = 20  {x^2}{y} </math> <br/>
<math> = 5 \cdot 4 {x} {x} {y} </math> <math> = 20  {x^2}{y} </math> <br/>
g)  <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3)  {x}  {x^2}  {y}  {y^3} </math> <math> = 42{x^3}{y^4} </math> <br/>
g)  <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3)  {x}  {x^2}  {y}  {y^3} </math> <math> = 42{x^3}{y^4} </math> <br/>
|3=Üben}}
|3=Üben}}


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{{Box|Termtraining.  |Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}}
{{Box|Termtraining.  |Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}}
  |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}
  |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}




=== Klammern in Termen ===
=== Klammern in Termen ===
Klammern auflösen:
{{Box|Info| |Kurzinfo|Zunächst geht es um das sogenannte '''Ausmultiplizieren''', das heißt das  '''Auflösen von Klammern'''. |Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}
Das ''Ausmultiplizieren'' hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen.  


{{Box|1 = Auflösen von Klammern|
{{Box|1 = Auflösen von Klammern|
2 = Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:
2 = Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:
[[Datei:Distr1.png|mini]]
[[Datei:Distr1.png|mini]]
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br/>
 
<math>(b+c){\color{green}a} = b{\color{green}a} + {\color{green}a} </math>.<br/>
<math>(b+c){\color{green}a} = b{\color{green}a} + {\color{green}a} </math>.
 
Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b  = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.
Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b  = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.
{{Lösung versteckt|1= Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.
{{Lösung versteckt|1= Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|mini | links | thumb ]]
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|mini | links | thumb ]]
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<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.
  |2= Lösung|3=einklappen}}<br />
  |2= Lösung|3=einklappen}}<br />


Erinnerung
Erinnerung
# Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: <math>a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c </math>
# Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: <math>a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c </math>
# Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:
# Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:
<math> {\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.
<math> {\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.


b)
b)
Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:
Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:
<math> (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd </math>. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung
<math> (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd </math>. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung
  [[Datei:Distr2.png|mini]]
  [[Datei:Distr2.png|mini]]


{{Lösung versteckt|1= Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''
{{Lösung versteckt|1= Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links| thumb]] <br /> <br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links| thumb]] <br /> <br />
Es ist  
Es ist  
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(2+3)(7-2) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 2  + 3 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 14 - 4 + 21 - 6 = 25   
(2+3)(7-2) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 2  + 3 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 14 - 4 + 21 - 6 = 25   
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  |2= Lösung|3=einklappen}}<br />
  |2= Lösung|3=einklappen}}<br />


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<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}
  |3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
  |3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


{{Box|1 = Merke: Auflösen von Klammern|2 = Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.
{{Box|1 = Merke: Auflösen von Klammern|2 = Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.
Zeile 191: Zeile 156:
{{Box|1 = Training zum Ausmultiplizieren |2 =In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.  
{{Box|1 = Training zum Ausmultiplizieren |2 =In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.  
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br />
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br />
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  |3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}
  |3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}


'''Ausklammern'''
{{Box|Info| |Kurzinfo|Jetzt geht es um den umgekehrten Weg. Beim '''Ausklammern''' wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also '''Klammern hinzugefügt'''.  
Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also Klammern hinzugefügt.  
Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden '''gemeinsame Faktoren''' haben.|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}
Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden gemeinsame Faktoren haben.


{{Box|1=Ausklammern|2 = Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus.
{{Box|1=Ausklammern|2 = Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus.
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= <span style="color:red">4x</span>⋅2 + <span style="color:red">4x</span>⋅3y<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅2 + <span style="color:red">4x</span>⋅3y<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅(2 + 3y)
= <span style="color:red">4x</span>⋅(2 + 3y)
|2=Beispiel |3=Beispiel ausblenden}}
|2=Beispiel |3=Beispiel ausblenden}}


{{LearningApp|app=p5pcm6z0a20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p5pcm6z0a20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p1on72s7319|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p1on72s7319|width=100%|height=400px}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


== '''3. Gleichungen''' ==
== '''3. Gleichungen''' ==


{{Box|Idee|Lineare und quadratische Gleichungen. Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:  
{{Box|Idee|Lineare und quadratische Gleichungen. Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:  
Zeile 232: Zeile 189:
Eine '''quadratische Gleichung''' ist eine Gleichung 2. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 2. Zum Beispiel: <math> x^2 = 9  </math> oder <math> 2x^2 +5x - 8 = 0  </math>. Die Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen sollst du jetzt wiederholen.  
Eine '''quadratische Gleichung''' ist eine Gleichung 2. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 2. Zum Beispiel: <math> x^2 = 9  </math> oder <math> 2x^2 +5x - 8 = 0  </math>. Die Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen sollst du jetzt wiederholen.  
|Unterrichtsidee }}
|Unterrichtsidee }}


{{Box|1 = Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen| 2 = Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.  
{{Box|1 = Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen| 2 = Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.  
{{LearningApp|app=p3j3a7sia23|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p3j3a7sia23|width=100%|height=400px}}
  |3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
  |3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


Zeile 247: Zeile 201:
# '''Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite,  fasse sie zusammen bzw. ordne sie.'''
# '''Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite,  fasse sie zusammen bzw. ordne sie.'''
# '''Dividiere durch den Faktor vor der Variable.'''
# '''Dividiere durch den Faktor vor der Variable.'''
</div>
</div>
Beispiel: <br>
Beispiel: <br>
[[Datei:Beispiel Gleichung Merkkasten.jpg]]
[[Datei:Beispiel Gleichung Merkkasten.jpg]]
|3 = Merksatz}}
|3 = Merksatz}}


{{Box|1 = Training: lineare Gleichungen lösen  |2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.  
{{Box|1 = Training: lineare Gleichungen lösen  |2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.  
'''a)''' <math>2a-64=5+a</math>
'''a)''' <math>2a-64=5+a</math>


{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5+a & &\mid +64\\
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5+a & &\mid +64\\
\Leftrightarrow & & a &=69 \\
\Leftrightarrow & & a &=69 \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
Probe:
Probe:
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\
\Leftrightarrow & & 5 &=5
\Leftrightarrow & & 5 &=5
\end{align}</math>
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}


Zeile 280: Zeile 224:
\Leftrightarrow & & x &=3\\
\Leftrightarrow & & x &=3\\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
Probe:  
Probe:  
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\
Zeile 294: Zeile 237:
\Leftrightarrow & & -1 &=1
\Leftrightarrow & & -1 &=1
\end{align}</math>
\end{align}</math>
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
Zeile 308: Zeile 250:
& & \mathbb{L}=\{1\}
& & \mathbb{L}=\{1\}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
Probe:
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\
Zeile 326: Zeile 266:
& & \mathbb{L}=\{0,5\}
& & \mathbb{L}=\{0,5\}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
Probe:  
Probe:  
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
\end{align}</math>
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
Zeile 340: Zeile 277:


Sprinteraufgabe:  
Sprinteraufgabe:  
'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>
'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
Zeile 354: Zeile 290:
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
Probe:
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\
Zeile 365: Zeile 299:
\end{align}</math>
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}  
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}  
  |3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}
  |3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}


Zeile 422: Zeile 353:
</math>}}
</math>}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}




Zeile 468: Zeile 396:
\end{alignat}
\end{alignat}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


=='''Vernetzte Aufgaben '''==
=='''Vernetzte Aufgaben '''==


 
{{Box|Info| |Kurzinfo|Die folgenden Aufgaben sind thematisch geordnet. Du darfst über die Reihenfolge der Bearbeitung frei entscheiden.|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}
{{Box|1 = Flächeninhalt |2= Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.
 
{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}
 
{{Lösung versteckt|1=Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?|2= Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}


===Zahlenrätsel===
===Zahlenrätsel===
Zeile 556: Zeile 473:
Leon ist heute  <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung
Leon ist heute  <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}}
{{Box|1 = Flächeninhalt |2= Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.
{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}
{{Lösung versteckt|1=Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?|2= Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}


===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang===

Version vom 22. März 2023, 07:00 Uhr

Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Terme und Gleichungen.
Calcul mental.png


In diesem Lernpfad geht es um das Vertiefen deines Wissens über Terme, Variablen und Gleichungen. Du findest hier eine Wiederholung zu den Begriffen und Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen. .

1.Terme, Variablen und Gleichungen

Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.

Variablen sind (meistens kleine Buchstaben). Sie sind . Du kannst für sie einsetzen. Terme sind . Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und enthalten. Werden zwei mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine . Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die und die Gleichungen.

RechenausdrückePlatzhalterTermeZahlenGleichungVariableZeichenquadratischenlinearen


Begriffstraining

Teste dein Wissen!

 

2.Terme

Terme aufstellen

Terme in Sachsituationen

Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen. a)

b)

Terme vereinfachen

Info
Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.


Erinnerung: Überflüssige Malpunkte

Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.


Info
Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert.


Terme zusammenfassen

Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmateria. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an.
Zusammenfassen von Summen:
a)
b)
c)
d)
e)
f)


Zusammenfassen von Produkten
f)
g)



Idee

Wichtig: Unterscheide



Denke daran. Es gilt:
ergibt:
ergibt:
ergibt:
ergibt:

Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.


Termtraining.

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.

 


Klammern in Termen

Info


Auflösen von Klammern

Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:

Distr1.png

.
.
Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b  = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.


Erinnerung

  1. Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:
  2. Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

. .

b) Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt: . Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung

Distr2.png


Merke: Auflösen von Klammern

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine . Man multipliziert einen mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer .
. Diese Regel nennt man .
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

Steht ein vor der Klammer, sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum: - a(b - c) = ab ac Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man der ersten Klammer mit der zweiten Klammer .

-jeden Summanden+drehenFaktormultipliziertmultipliziert:Klammer aufzulösen.jedem SummandenDistributivgesetznegativer Faktor


Training zum Ausmultiplizieren

In dieser Aufgabe kannst du das Ausmultiplizieren üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.

a)
b)
c)
d)
d)
f)

 


Info


Ausklammern

Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an. Übertrage die Ergebnisse nach der Kontrolle in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.



3. Gleichungen

Idee

Lineare und quadratische Gleichungen. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1: . Ihre einfachste Form ist: , wobei und reelle Zahlen sind und eine Variable. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung 2. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 2. Zum Beispiel: oder . Die Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen sollst du jetzt wiederholen.


Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.


Merke

Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungen Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, übertrage diese dann in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.

Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen.Löse die Klammern auf.Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite, fasse sie zusammen bzw. ordne sie.Dividiere durch den Faktor vor der Variable.

Beispiel:

Beispiel Gleichung Merkkasten.jpg


Training: lineare Gleichungen lösen

Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt. a)

b)

c)

d)

e)

Sprinteraufgabe: f)


Info
Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen.


Einfache quadratische Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichungen ohne p-q-Formel. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a)

b)

c)


Quadratische Gleichungen mit p-q-Formel

Löse die quadratischen Gleichungen. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a)

b)

c)

Vernetzte Aufgaben

Info

Zahlenrätsel

Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl


Wenn man zur Zahl das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.


Aufgabe 4: Alter der Mutter

Die Mutter von Leon ist -mal so alt wie er. In Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?



Flächeninhalt

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.




Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang

Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken


Zwei-Felder-Ball-Feld
Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?


Aufgabe 6: Getränkelager füllen

In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt m.

a) Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.

b) Eine Getränkekiste ist cm lang und cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von m m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?

Idee

Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber sechs Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

Weide_Landwirt.png

  1. Hilf ihm und finde die Maße der Weiden heraus. Bearbeite diese Aufgabe in deinem Heft. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.
  2. Wie bist du vorgegangen, um die mathematische Gleichung zu lösen? Notiere deine Vorgehensweise im Heft.