Jule Volbers/Testseite: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|1 = Training: lineare Gleichungen lösen  |2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.
{{Box|1 = Training: lineare Gleichungen lösen  |2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt. Trage die Ergebnisse in die Box zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial ein.  


'''a)''' <math>2a-64=5+a</math>
'''a)''' <math>2a-64=5+a</math>
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{{Box|1 = Einfache quadratische Gleichungen|2=
{{Box|1 = Einfache quadratische Gleichungen|2=
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''.
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.  


a) <math>0=x^2-64</math>
a) <math>0=x^2-64</math>
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{{Box|1= Einfache quadratische Gleichungen|2=
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''.


a) <math>0=x^2-64</math>
b) <math>0=x^2+13x</math>
c) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math>
{{Lösung versteckt|1=zu a): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+c</math>, also ohne linearen Summanden <math>bx</math> kannst du die Gleichung umstellen, sodass <math>x^2</math> alleine steht und anschließend die Wurzel ziehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+bx</math>, also ohne konstanten Summanden <math>c</math> kannst du <math>x</math> ausklammern.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.|2=Tipp 4|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 5|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
&                                      &      0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\
&\Leftrightarrow \qquad &    64 &= x^2                  &&| \sqrt{\text{ }}\\
&\Leftrightarrow            &\pm 8 &= x                      &&\\
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&&
\end{alignat}
</math>
zu b)
<math>
\begin{alignat}{5}
&                                      &          &                    &          0 &= x^2+13x          &      &                            &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow \qquad &          &                    &          0 &= x \cdot (x+13) &      &                            &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der }          &    0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1            & \text{ o}&\text{der }          & -13 &= x_2                    &&\\
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= 0                & \text{ o}&\text{der }          & x_2 &= -13                    &&
\end{alignat}
</math>
zu c)
<math>
\begin{alignat}{5}
&                                      &          &                    &        -2x &= \frac{1}{2}x^2      &      &                            &&| +2x\\
&\Leftrightarrow \qquad &          &                    &          0 &= \frac{1}{2}x^2+2x &      &                            &&| \cdot 2\\
&\Leftrightarrow            &          &                    &          0 &= x^2+4x                  &      &                            &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow            &          &                    &          0 &= x \cdot (x+4)        &      &                            &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der }                &    0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\
&\Leftrightarrow            &      0 &= x_1            & \text{ o}&\text{der }                & -4 &= x_2                  &&\\
&\Leftrightarrow            &    x_1 &= 0                & \text{ o}&\text{der }                & x_2 &= -4                  &&
\end{alignat}
</math>}}
|3=Üben}}


 
{{Box|1=Quadratische Gleichungen mit p-q-Formel| 2 = Löse die quadratischen Gleichungen. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.  
{{Box|1=16. Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren|2=
Löse die quadratischen Gleichungen.


a) <math>0=x^2+12x+27</math>
a) <math>0=x^2+12x+27</math>
Zeile 514: Zeile 463:
\end{alignat}
\end{alignat}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
|3=Üben}}


|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


=='''Vernetzte Aufgaben '''==




=='''Vernetzte Aufgaben '''==
{{Box|1 = Flächeninhalt |2= Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.
{{Box|1=1. Flächeninhalt|2=
Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.


{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}
Zeile 528: Zeile 478:
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
|3=Üben}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

Version vom 21. März 2023, 07:21 Uhr

Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Terme und Gleichungen.
Calcul mental.png


In diesem Lernpfad geht es um das Vertiefen deines Wissens über Terme, Variablen und Gleichungen. Du findest hier eine Wiederholung zu den Begriffen und Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen. .



1.Terme, Variablen und Gleichungen

Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.

Variablen sind (meistens kleine Buchstaben). Sie sind . Du kannst für sie einsetzen. Terme sind . Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und enthalten. Werden zwei mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine . Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die und die Gleichungen.

VariablelinearenRechenausdrückequadratischenGleichungTermeZahlenZeichenPlatzhalter


Begriffstraining

Teste dein Wissen!


 



2.Terme

Terme aufstellen

Terme in Sachsituationen

Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen.

a)

b)


Terme vereinfachen

Info
Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.


Erinnerung: Überflüssige Malpunkte

Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.


Info
Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert.


Terme zusammenfassen

Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmateria. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an.
Zusammenfassen von Summen:
a)
b)
c)
d)
e)
f)


Zusammenfassen von Produkten
f)
g)



Idee

Wichtig: Unterscheide



Denke daran. Es gilt:
ergibt:
ergibt:
ergibt:
ergibt:

Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.


Termtraining.

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.


 


Klammern in Termen

Klammern auflösen: Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen.


Auflösen von Klammern

Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:

Distr1.png

.

.

Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b  = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.



Erinnerung

  1. Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:
  1. Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

.

.

b)

Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:

. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung

Distr2.png


Merke: Auflösen von Klammern

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine . Man multipliziert einen mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer .
. Diese Regel nennt man .
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

Steht ein vor der Klammer, sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum: - a(b - c) = ab ac Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man der ersten Klammer mit der zweiten Klammer .

.-FaktorKlammer aufzulösennegativer FaktorDistributivgesetzjeden Summandendrehenjedem Summanden+multipliziertmultipliziert:


Training zum Aumultiplizieren

In dieser Aufgabe kannst du das Ausmultiplizieren üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. Trage die richtige Lösung in di

a)
b)
c)
d)
d)
f)

 

Ausklammern Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also Klammern hinzugefügt. Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden gemeinsame Faktoren haben.


Ausklammern

Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an. Übertrage die Ergebnisse nach der Kontrolle in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.





3. Gleichungen

Lineare Gleichungen lösen


Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.



Merke

Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungen mit Klammern Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, übertrage diese dann in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.

Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen.Dividiere durch den Faktor vor der Variable.Löse die Klammern auf.Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite, fasse sie zusammen bzw. ordne sie.

Beispiel:

Beispiel Gleichung Merkkasten.jpg



Training: lineare Gleichungen lösen

Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt. Trage die Ergebnisse in die Box zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial ein.

a)

b)

c)

d)

e)

Sprinteraufgabe:

f)


Quadratische Gleichungen lösen. Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen.


Einfache quadratische Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichungen ohne p-q-Formel. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a)

b)

c)




Quadratische Gleichungen mit p-q-Formel

Löse die quadratischen Gleichungen. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a)

b)

c)

Vernetzte Aufgaben

Üben

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.