|
|
Zeile 186: |
Zeile 186: |
| Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden''' der ersten Klammer mit '''jedem Summanden''' der zweiten Klammer '''multipliziert:''' | | Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden''' der ersten Klammer mit '''jedem Summanden''' der zweiten Klammer '''multipliziert:''' |
| <math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd</math>. | | <math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd</math>. |
|
| |
|
| |
| </div> | | </div> |
|
| |
| |3 = Merksatz}} | | |3 = Merksatz}} |
|
| |
| {{Box|1=Merke: Auflösen von Klammern|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.
| |
| <div class="lueckentext-quiz">
| |
| Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine '''Klammer aufzulösen'''. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer '''multipliziert'''. <br />
| |
| <math> {\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
| |
| Diese Regel nennt man '''Distributivgesetz'''. <br /> Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
| |
| <math>(b+c) {\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a}
| |
| = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c = {\color{green}a}(b+c) </math> <br />
| |
| Steht ein '''negativer Faktor''' vor der Klammer, '''drehen''' sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum:
| |
| - a(b - c) = '''-''' ab ''' + ''' ac'''.
| |
| Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden''' der ersten Klammer mit '''jedem Summanden''' der zweiten Klammer '''multipliziert:'''
| |
| <math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd</math>.
| |
|
| |
|
| |
| </div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
| |
|
| |
|
| {{Box|1 = Training zum Aumultiplizieren |2 =In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. Trage die richtige Lösung in di | | {{Box|1 = Training zum Aumultiplizieren |2 =In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. Trage die richtige Lösung in di |
Zeile 381: |
Zeile 363: |
| |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} | | |Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}} |
|
| |
|
| {{Box | 1=Training: lineare Gleichungen lösen|
| |
| 2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.
| |
|
| |
| '''a)''' <math>2a-64=5+a</math>
| |
|
| |
| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5+a & &\mid +64\\
| |
| \Leftrightarrow & & a &=69 \\
| |
|
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
| Probe:
| |
|
| |
| <math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\
| |
| \Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\
| |
| \Leftrightarrow & & 5 &=5
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| |
|
| |
| '''b)''' <math>3x+7=16</math>
| |
| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\
| |
| \Leftrightarrow & & x &=3\\
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
| Probe:
| |
| <math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\
| |
| \Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\
| |
| \Leftrightarrow & & 16 &=16
| |
| \end{align}</math>
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| |
|
| |
| '''c)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math>
| |
| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\
| |
| \Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\
| |
| \Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\
| |
| \Leftrightarrow & & -1 &=1
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
| Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| |
|
| |
| '''d)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math>
| |
| {{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\
| |
| \Leftrightarrow & & 1 &=x\\
| |
| & & \mathbb{L}=\{1\}
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
| Probe:
| |
|
| |
| <math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5
| |
| \end{align}</math>
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| |
|
| |
| '''e)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math>
| |
| {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:
| |
|
| |
| <math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\
| |
| & & \mathbb{L}=\{0,5\}
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
| Probe:
| |
|
| |
| <math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & 0&=0
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
| <math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
| |
| \Leftrightarrow & & 0&=0
| |
| \end{align}</math>
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| |
|
| |
| Sprinteraufgabe:
| |
|
| |
| '''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>
| |
| {{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
| |
| {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\
| |
| \Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\
| |
| \Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\
| |
| \Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\
| |
| & & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
| Probe:
| |
|
| |
| <math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\
| |
| \Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}
| |
| \end{align}</math>
| |
| |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| |
| | 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
| |
|
| |
|
| Quadratische Gleichungen lösen. Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen. | | Quadratische Gleichungen lösen. Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen. |
|
| |
|
|
| |
|
| {{Box|q = Einfache quadratische Gleichungen|2= | | {{Box|1 = Einfache quadratische Gleichungen|2= |
| Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''. | | Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''. |
|
| |
|