Jule Volbers/Testseite: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen|  
{{Box | 1=Training: lineare Gleichungen lösen|  
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.
2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen |
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:
 
<math>3y+5=y+35</math>.
 
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung.
 
<math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\
\Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\
\end{align}</math>
 
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen.
 
<math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\
\Leftrightarrow & & y&=15
\end{align}</math>
 
Probe:
 
<math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\
\Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\
\Leftrightarrow & & 50 &=50
\end{align}</math>
 
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math>
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht.
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]]
 
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln.
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]]
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\
\Leftrightarrow & & x &=2
\end{align}</math>
 
Probe:
 
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\
\Leftrightarrow & & 5 &=5
\end{align}</math>
 
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}


'''b)''' <math>a-64=5</math>
'''b)''' <math>a-64=5</math>
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|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}


'''c)''' <math>3x+7=16</math>
'''a)''' <math>3x+7=16</math>
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\
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|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}


'''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math>
'''b)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:
 
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\
& & \mathbb{L}=\{0,5\}
\end{align}</math>
 
Probe:
 
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
 
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
 
'''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math>
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\
Zeile 366: Zeile 296:
\end{align}</math>
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}  
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}  
'''b)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:
<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\
& & \mathbb{L}=\{0,5\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}


'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>

Version vom 20. März 2023, 17:35 Uhr

Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Terme und Gleichungen.
Calcul mental.png


In diesem Lernpfad geht es um das Vertiefen deines Wissens über Terme, Variablen und Gleichungen. Du findest hier eine Wiederholung zu den Begriffen und Übungsaufgaben zu den Themen Terme aufstellen, Terme umformen und Gleichungen lösen. .



1.Terme, Variablen und Gleichungen

Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.

Variablen sind (meistens kleine Buchstaben). Sie sind . Du kannst für sie einsetzen. Terme sind . Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und enthalten. Werden zwei mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine . Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Wichtige Arten sind die und die Gleichungen.

linearenVariableGleichungTermeZahlenquadratischenPlatzhalterRechenausdrückeZeichen


Begriffstraining

Teste dein Wissen!


 



2.Terme

Terme aufstellen

Terme in Sachsituationen

Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen.

a)

b)


Terme vereinfachen

Info
Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.


Erinnerung: Überflüssige Malpunkte

Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.


Info
Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert.


Terme zusammenfassen

Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmateria. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an.
Zusammenfassen von Summen:
a)
b)
c)
d)
e)
f)


Zusammenfassen von Produkten
f)
g)



Idee

Wichtig: Unterscheide



Denke daran. Es gilt:
ergibt:
ergibt:
ergibt:
ergibt:

Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.


Termtraining.

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.


 


Klammern in Termen

Klammern auflösen: Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen.


Auflösen von Klammern

Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:

Distr1.png

.

.

Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b  = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.



Erinnerung

  1. Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:
  1. Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

.

.

b)

Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:

. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung

Distr2.png


Merke: Auflösen von Klammern

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine . Man multipliziert einen mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer .
. Diese Regel nennt man .
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

Steht ein vor der Klammer, sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum: - a(b - c) = ab ac Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man der ersten Klammer mit der zweiten Klammer .


jedem SummandenKlammer aufzulösenmultipliziert:multipliziertFaktor-drehennegativer Faktor+jeden SummandenDistributivgesetz.


Training zum Aumultiplizieren

In dieser Aufgabe kannst du das Ausmultiplizieren üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe. Trage die richtige Lösung in di

a)
b)
c)
d)
d)
f)

 

Ausklammern Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also Klammern hinzugefügt. Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden gemeinsame Faktoren haben.


Ausklammern

Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an. Übertrage die Ergebnisse nach der Kontrolle in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.





3. Gleichungen

Lineare Gleichungen lösen


Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern. Wenn du die Schritte in die richtige Reihenfolge gebracht hast, notiere diese in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.



Training: lineare Gleichungen lösen

Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.

b)

a)

b)

f)

b)


g)

Quadratische Gleichungen lösen


15. Einfache quadratische Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichungen </nowiki>ohne p-q-Formel.

a)

b)

c)


16. Quadratische Gleichungen mit Standardverfahren

Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>

a)

b)

c)


17. Fortgeschrittene quadratische Gleichungen mit Standardverfahren

Löse die quadratischen Gleichungen.</nowiki>

a)

b)

c)

Vernetzte Aufgaben

1. Flächeninhalt

Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.