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| SEITE IM AUFBAU, NUR IDEENSAMMLUNG!!
| | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} |
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| | [[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]] |
| | {{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}} |
| | <br> |
| {{Box|Exponentialfunktion|In diesem Lernpfad lernst du | | {{Box|Exponentialfunktion|In diesem Lernpfad lernst du |
| * was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet | | * was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet |
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| Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differenzierende Ausgabe - Klett-Verlag|Lernpfad}} | | Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differenzierende Ausgabe - Klett-Verlag|Lernpfad}} |
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| {{Box|Wachstum und Abnahme|Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.<br>
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| Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?|Meinung}}
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| {{Lösung versteckt|Mögliche Antworten:<br>
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| * Bevölkerungswachstum
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| * Bakterienwachstum
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| * Haarwachstum
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| * Druckzunahme je nach Meerestiefe
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| * Temperaturanstieg
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| * Sprunghöhe Flummi
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| * Zerfall von Bierschaum
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| * Kerzenhöhe je nach Dauer
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| * Lichtintensität
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| * Wertverlust bei Neuwagen|Mögliche Anworten|Verbergen}}
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| ==1 Lineares und exponentielles Wachstum==
| | Damit du erfolgreich ins Thema Körper einsteigen kannst, solltest du folgendes Vorwissen besitzen: |
| Sparmodell (vgl. Zinseszins)
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| Erinnerung: Sparmodelle
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| ===1) Einstieg: Sparschwein===
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| {{Box|Sparschwein|Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.|Arbeitsmethode}}
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div>
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| <div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div>
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| </div>
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| <br>
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">1. Möglichkeit:<br> Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.<br>
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| K = 1000€; p% = 5% = 0,05
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| {{(!}} class=wikitable
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| {{!-}}
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| {{!}} Jahre
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| {{!}} Guthaben(€)
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| {{!-}}
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| {{!}} 0
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| {{!}} 1000
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| {{!-}}
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| {{!}} 1
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| {{!}} 1050
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| {{!-}}
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| {{!}} 2
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| {{!}} 1100
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| {{!-}}
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| {{!}} 3
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| {{!}} 1150
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| {{!-}}
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| {{!}} ...
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| {{!}} ...
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| {{!-}}
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| {{!}} 18
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| {{!}} ...
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| {{!)}}
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| </div>
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| <div class="width-1-2">2. Möglichkeit: <br>Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.<br>
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| K = 1000€; p% = 5% = 0,05<br>
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| {{(!}} class=wikitable
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| {{!-}}
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| {{!}} Jahre
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| {{!}} Guthaben(€)
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| {{!-}}
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| {{!}} 0
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| {{!}} 1000
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| {{!-}}
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| {{!}} 1
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| {{!}} 1050
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| {{!-}}
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| {{!}} 2
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| {{!}} 1102,50
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| {{!-}}
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| {{!}} 3
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| {{!}} 1157,625
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| {{!-}}
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| {{!}} ...
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| {{!}} ...
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| {{!-}}
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| {{!}} 18
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| {{!}} ...
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| {{!)}}
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| </div>
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| </div>
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| Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02<br>
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| {{#ev:youtube|RPFoUkR9PvA|800|center|||start=160&end=210}}
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| <br>
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| Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
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| K<sub>18</sub> = ...</div>
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| <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
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| K<sub>18</sub> = ...</div>
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| </div>
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| <br>
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| {{Box|Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins|Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.<br>
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| Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals. <br>
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| blau: einfache Verzinsung<br>
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| rot: Zinseszins<br>
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| Was fällt dir auf?|Arbeitsmethode}}
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| <ggb_applet id="prrakbnx" width="900" height="700" border="888888" />
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| <small>nach Pöchtrager
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| </small>
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| <br>
| | {| class="wikitable" |
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| {{Box|1=Hefteintrag: Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br>
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| Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br>
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| '''<big>K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ (1+p%)<sup>n</sup><br>
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| <br>
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| '''= K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> mit q = 1+p%'''</big>'''<br>
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| <br>
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| Beispiel:<br>
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| geg: K<sub>0</sub> = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre<br>
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| ges: K<sub>n</sub> (Kapital nach n Jahren)<br>
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| <br>
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| K<sub>18</sub> = 1000 ∙ 1,05<sup>18</sup><br>
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| = 2406,62 (€)<br>
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| Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br>
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| [[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
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| {{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=132&end=193}}|Video zum Zusammenhang zwischen p% und q (bei Bedarf)|Verbergen}}
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| <br>
| | ! style="width:40%;" |Ich kann ... |
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| Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
| | ! style="width:10%;" |Buch S. 66 |
| <br>
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| ==2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor== | | !Übungen online |
| {{Box|1=Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|2=Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br> | | |- |
| Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr '''um'''''' 5%'''. Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.<br>
| | | - Prozente in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt |
| Das Kapital wächst also '''auf das 1,05-Fache'''.<br>
| | |Nr. 1 |
| Dies ist der''' Wachstumsfaktor q '''= 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:<br>
| | |{{LearningApp|app=pkhjyustj21|width=100%|height=100px}}{{LearningApp|app=p6a1cuvet21|width=100%|height=100px}} |
| q = 100% + p%<br>
| | |- |
| Das neue Kapital/den neuen Wert W<sub>1</sub> berechnest du also mit der Gleichung:<br>
| | | - den Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert berechnen. |
| K<sub>1</sub> = K<sub>0</sub> · q oder <br>
| | |Nr. 2 |
| W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q|3=Arbeitsmethode}}
| | |{{LearningApp|app=pd83efk6t20|width=100%|height=150px}}{{LearningApp|app=pu4us6qqc20|width=100%|height=150px}} |
| <br>
| | {{LearningApp|app=11309986|width=100%|height=150px}} |
| {{LearningApp|app=17054417|width=100%|heigth=600px}} | | |- |
| {{LearningApp|app=p4md60yua21|width=100%|height=600px}} | | | - den vermehrten bzw. verminderten Prozentsatz und Grundwert berechnen. |
| <br>
| | |Nr. 3 |
| Beispiele<br>
| | |{{#ev:youtube|RAKS6Iad9lQ|200}}{{#ev:youtube|gq0clIHMgiY|200}}{{#ev:youtube|vQAjV3g8Frw|200}} |
| 1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.<br>
| | {{LearningApp|app=p4oz355ra20|width=100%|height=100px}}{{LearningApp|app=pqnvfsxta20|width=100%|height=100px}} |
| Geg: W<sub>0</sub> = 550; Wachstumsrate p% = 8% <br>
| | |- |
| Ges: W<sub>1</sub> ; q<br>
| | | - mit Potenzen und Wurzeln rechnen |
| Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.<br>
| | |Nr. 4, 5 |
| Wachstumsfaktor q q = 1 + p% <br>
| | |{{LearningApp|app=p09gchx5c19|width=100%|height=150px}}{{LearningApp|app=pbxaqe6ja20|width=100%|height=150px}} |
| Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:<br>
| | |- |
| W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q <br>
| | | - lineare und quadratische Funktionen darstellen (Text, Wertetabelle, Geichung, Graph) |
| W<sub>1</sub>= 550 ∙ 1,08<br>
| | |Nr. 6, 7 |
| = 594 (Schüler)<br>
| | |{{LearningApp|app=parhhe1zt20|width=100%|height=150px}} |
| Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.<br>
| | {{LearningApp|app=ph9posdfa19|width=100%|height=150px}} |
| | |- |
| | |} |
| | Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch! |
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| 2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2007 bis 2008 von 440 auf 462. Bestimme die Wachstumsrate.<br>
| | {{Fortsetzung|weiter=1) Wachstum und Abnahme|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum}} |
| Geg: W<sub>0</sub> = 440; W<sub>1</sub> = 462<br>
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| Ges: p% Wachstumsrate<br>
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| Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:<br>
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| Wachstumsrate: p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math> = <math>\tfrac{462 - 440}{440}</math> = 0,05 = 5%<br>
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| Wachstumsfaktor: q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math> = <math>\tfrac{462}{440}</math> = 1,05 (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)<br>
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| oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05 ( Probe: 440 ∙ 1,05 = 462)<br>
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