Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen
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= 100 · 0,5<sup>3</sup> = 12,5 (g)<br> | = 100 · 0,5<sup>3</sup> = 12,5 (g)<br> | ||
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{{Lösung versteckt|1=Nach 2 Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden, also nach 2·5 = 10 Tagen.|2=Tipp zu Nr. 10b|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Nach 2 Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden, also nach 2·5 = 10 Tagen.|2=Tipp zu Nr. 10b|3=Verbergen}} | ||
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Zeit = 6 Minuten = 360 s<br> | |||
ges: n; W<sub>n</sub><br> | |||
n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math> = <math>\tfrac{360}{240}</math> = 1,5<br> | |||
W<sub>1,5</sub> = 48 · 0,5<sup>1,5</sup> = ... | |||
|2=Tipp zu Nr. 4a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=geg: Radium-229 mit T<sub><math>\tfrac{1}{2}</math></sub> = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W<sub>0</sub> = 48mg.<br> | |||
W<sub>n</sub> = 1,5 mg <br> | |||
ges: n; t (Zeit)<br> | |||
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1,5 = 48 · 0,5<sup>n</sup><br> | |||
Löse durch systematisches Probieren.<br> | |||
Lösung: n = 5, also t = 5·240 s = 1200 s = 20 min | |||
|2=Tipp zu Nr. 4b|3=Verbergen}} | |||
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Version vom 27. Dezember 2021, 18:40 Uhr
SEITE IM AUFBAU
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum
4) Die Exponentialfunktion
3 Exponentielles Wachstum
Prognose für das Jahr 2030: n = 11
W11 = W0 ∙ q11
= 7,70 ∙ 1,02511
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.
3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen
geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025)
ges: W5
Wn = W0 · qn
W5 = 1,38 · 1,0085
= 1,436
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):
geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30
ges: W0
Wn = W0 · qn | : qn
W0 =
W0 =
=
≈ 7,86
geg: W0 = 600 €; W5 = 730 €; n = 5
ges: q bzw. p%
Wn = W0 · qn | : W0
= qn |
W0 = q
1,04 ≈ q
p% = q - 1 = 0,04 = 4%
geg: W0 = 100°; Wn = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95
ges: n
Wn = W0 · qn | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle)
Für n = 1 gilt:
W1 = W0 · q1 |
= 100 · 0,951
= 95 (°C)
...
Für n = 8 gilt:
W8 = W0 · q8 |
= 100 · 0,958
≈ 66,3 (°C)
Für n = 9 gilt:
W9 = W0 · q9 |
= 100 · 0,959
≈ 63,0 (°C)
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3
ges: W1; W2; ...; W5
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g
ges: n
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren.
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g
geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015)
ges: W2
geg: W2 = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009
ges: W0 (2013) und W1 (2014)
geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023)
ges: W5
geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050)
ges: W40
geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe)
ges: W10
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2%
3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K5 = K0 ∙ q5
= 7500 ∙ 1,0155
a) geg:...
ges: q; Kn
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
b) geg:...
ges: p%; Kn
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
c) geg: ...
ges: K0; p%
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K0 = 500€; K0 = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€
3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf leifiphysik)
Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:
- Halbwertszeit (Atome)
Direkter Link: https://www.geogebra.org/m/cq62nsqj
Applet von Hegius, Mathezone
Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:
- Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)
Direkter Link: passt das Applet??
Applet von Hegius, R. Schürz
geg: Wismut 210 mit T = 5 Tage; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 100g.
Zeit = 30 Tage, in 5 Tagesabschnitten, also für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6
ges: Wertetabelle:
W1 = W0 · 0,51
= 100 · 0,5 = 50 (g)
W2 = W0 · 0,52
= 100 · 0,52 = 25 (g)
W3 = W0 · 0,53
= 100 · 0,53 = 12,5 (g)
...
geg: Radium-229 mit T = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48g.
Zeit = 6 Minuten = 360 s
ges: n; Wn
n = = = 1,5
geg: Radium-229 mit T = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48mg.
Wn = 1,5 mg
ges: n; t (Zeit)
1,5 = 48 · 0,5n
Löse durch systematisches Probieren.