Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 8. Juni 2021, 14:39 Uhr

SEITE IM AUFBAU, NUR IDEENSAMMLUNG!!

Exponentialfunktion

In diesem Lernpfad lernst du

was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet
worin sich lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden
was eine Exponentialfunktion ist
Anwendungen zur Exponentialfunktion kennen

Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differenzierende Ausgabe - Klett-Verlag

Wachstum und Abnahme

Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.

Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?

Mögliche Antworten:

Bevölkerungswachstum
Bakterienwachstum
Haarwachstum
Druckzunahme je nach Meerestiefe
Temperaturanstieg
Sprunghöhe Flummi
Zerfall von Bierschaum
Kerzenhöhe je nach Dauer
Lichtintensität
Wertverlust bei Neuwagen

1 Lineares und exponentielles Wachstum

Sparmodell (vgl. Zinseszins) Erinnerung: Sparmodelle

1) Einstieg: Sparschwein

Sparschwein

Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.

Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.

1. Möglichkeit:
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre	Guthaben(€)
0	1000
1	1050
2	1100
3	1150
...	...
18	...

2. Möglichkeit:
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre	Guthaben(€)
0	1000
1	1050
2	1102,50
3	1157,625
...	...
18	...

Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02

Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?

Kapital nach 18 Jahren:
K₁₈ = ...

Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins

Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.
Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals.
blau: einfache Verzinsung
rot: Zinseszins

Was fällt dir auf?

nach Pöchtrager

Hefteintrag: Zinseszins

Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel
K_n = K₀ ∙ (1+p%)ⁿ

= K₀ ∙ qⁿ mit q = 1+p%

Beispiel:
geg: K₀ = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre
ges: K_n (Kapital nach n Jahren)

K₁₈ = 1000 ∙ 1,05¹⁸
= 2406,62 (€)

Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.

Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):

Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.

2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz Wachstumsrate p%.
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr um' 5%'. Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.
Das Kapital wächst also auf das 1,05-Fache.
Dies ist der Wachstumsfaktor q = 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:
q = 100% + p%
Das neue Kapital/den neuen Wert W₁ berechnest du also mit der Gleichung:
K₁ = K₀ · q oder

W₁ = W₀ · q

Beispiele
1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.
Geg: W₀ = 550; Wachstumsrate p% = 8%
Ges: W₁ ; q
Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.
Wachstumsfaktor q         q = 1 + p%
   Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:
W₁ = W₀ ∙ q
W₁= 550 ∙ 1,08
   = 594 (Schüler)
Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.

2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2007 bis 2008 von 440 auf 462. Bestimme die Wachstumsrate.
Geg: W₀ = 440; W₁ = 462
Ges: p% Wachstumsrate
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:
Wachstumsrate: p% = $\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}$ = $\tfrac{462 - 440}{440}$ = 0,05 = 5%
Wachstumsfaktor: q = $\tfrac{W_1}{W_0}$ = $\tfrac{462}{440}$ = 1,05 (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05 ( Probe: 440 ∙ 1,05 = 462)

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 * Wertverlust bei Neuwagen|Mögliche Anworten|Verbergen}}
-== 1 Lineares und exponentielles Wachstum ==
+==1 Lineares und exponentielles Wachstum==
 Sparmodell (vgl. Zinseszins)
+Erinnerung: Sparmodelle
+===1) Einstieg: Sparschwein===
+{{Box|Sparschwein|Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.|Arbeitsmethode}}
+<div class="grid">
+ <div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div>
+ <div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div>
+</div>
+<br>
+<div class="grid">
+ <div class="width-1-2">1. Möglichkeit:<br> Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.<br>
+K = 1000€; p% = 5% = 0,05
+{{(!}} class=wikitable
+{{!-}}
+{{!}} Jahre
+{{!}} Guthaben(€)
+{{!-}}
+{{!}} 0
+{{!}} 1000
+{{!-}}
+{{!}} 1
+{{!}} 1050
+{{!-}}
+{{!}} 2
+{{!}} 1100
+{{!-}}
+{{!}} 3
+{{!}} 1150
+{{!-}}
+{{!}} ...
+{{!}} ...
+{{!-}}
+{{!}} 18
+{{!}} ...
+{{!)}}
+</div>
+ <div class="width-1-2">2. Möglichkeit: <br>Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.<br>
+K = 1000€; p% = 5% = 0,05<br>
+{{(!}} class=wikitable
+{{!-}}
+{{!}} Jahre
+{{!}} Guthaben(€)
+{{!-}}
+{{!}} 0
+{{!}} 1000
+{{!-}}
+{{!}} 1
+{{!}} 1050
+{{!-}}
+{{!}} 2
+{{!}} 1102,50
+{{!-}}
+{{!}} 3
+{{!}} 1157,625
+{{!-}}
+{{!}} ...
+{{!}} ...
+{{!-}}
+{{!}} 18
+{{!}} ...
+{{!)}}
+</div>
+</div>
+Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02<br>
+{{#ev:youtube|RPFoUkR9PvA|800|center|||start=160&end=210}}
+<br>
+Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
+<div class="grid">
+ <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
+K<sub>18</sub> = ...</div>
+ <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
+K<sub>18</sub> = ...</div>
+</div>
+<br>
+{{Box|Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins|Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.<br>
+Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals. <br>
+blau: einfache Verzinsung<br>
+rot: Zinseszins<br>
+Was fällt dir auf?|Arbeitsmethode}}
+<ggb_applet id="prrakbnx" width="900" height="700" border="888888" />
+<small>nach Pöchtrager
+</small>
-== 2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ==
+<br>
-{{Box|Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br>
-Beispiel: Das
+{{Box|1=Hefteintrag: Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden  in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br>
+Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br>
+'''<big>K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ (1+p%)<sup>n</sup><br>
+<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''= K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; mit q = 1+p%'''</big>'''<br>
+<br>
+Beispiel:<br>
+geg: K<sub>0</sub> = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre<br>
+ges: K<sub>n</sub> (Kapital nach n Jahren)<br>
+<br>
+K<sub>18</sub> = 1000 ∙ 1,05<sup>18</sup><br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 2406,62 (€)<br>
+Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.|3=Arbeitsmethode}}
+{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br>
+[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
+{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=132&end=193}}|Video zum Zusammenhang zwischen p% und q (bei Bedarf)|Verbergen}}
+<br>
+Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
+<br>
+==2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor==
+{{Box|1=Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|2=Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br>
+Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr '''um'''''' 5%'''. Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.<br>
+Das Kapital wächst also '''auf das 1,05-Fache'''.<br>
+Dies ist der''' Wachstumsfaktor q '''= 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:<br>
+q = 100% + p%<br>
+Das neue Kapital/den neuen Wert W<sub>1</sub> berechnest du also mit der Gleichung:<br>
+K<sub>1</sub> = K<sub>0</sub> · q  oder <br>
+W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q|3=Arbeitsmethode}}
+<br>
+{{LearningApp|app=17054417|width=100%|heigth=600px}}
+{{LearningApp|app=p4md60yua21|width=100%|height=600px}}
+<br>
+Beispiele<br>
+) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.<br>
+Geg: W<sub>0</sub> = 550; Wachstumsrate p% = 8% <br>
+Ges: W<sub>1</sub> ; q<br>
+Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.<br>
+Wachstumsfaktor q     &nbsp;&nbsp;&nbsp;     q = 1 + p%    <br>
+Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:<br>
+W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q              <br>
+W<sub>1</sub>= 550 ∙ 1,08<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 594 (Schüler)<br>
+Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.<br>
+) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2007 bis 2008 von 440 auf 462. Bestimme die Wachstumsrate.<br>
+Geg: W<sub>0</sub> = 440; W<sub>1</sub> = 462<br>
+Ges: p% Wachstumsrate<br>
+Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:<br>
+Wachstumsrate:     p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{462 - 440}{440}</math> = 0,05 = 5%<br>
+Wachstumsfaktor: q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{462}{440}</math> = 1,05        (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)<br>
+oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05           ( Probe: 440 ∙ 1,05 = 462)<br>

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