Aufgaben für Lernpfadkapitel: Unterschied zwischen den Versionen

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==Aufgabe 10: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation==


==Aufgabe 10 - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation==
<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren a+b als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
 
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung''' und wird zum '''Gegenvektor'''.
 
Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''unterschiedliche''' '''Richtungen'''  zeigen oder nicht.
</div> 




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- <math> P(5|2|-3)</math>
- <math> P(5|2|-3)</math>
- <math> P(-5|-2|3)</math>
- <math> P(-5|-2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=Mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
<quiz display="simple">
 
 
{c) wir betrachten nun wieder das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
{c) wir betrachten nun wieder das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>  
+ <math> P(6|2|7)</math>  
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- <math> P(6|3|-1)</math>  
- <math> P(6|3|-1)</math>  
  </quiz>
  </quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf <math> ABC </math> und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

Aktuelle Version vom 28. April 2021, 13:09 Uhr

Aufgabe 8 - Länge und Abstände von Vektoren

Aufgabe 8 - Länge und Abstände von Vektoren

Berechne die Länge der Vektoren:

1 a)

4
5
6
7

2 b)

11
12
13
14

3 c)

1
2

Berechne den Abstand der Punkte:

1 a) und

3
6
9
12

2 b) und

9,5
7
8
6,5


Gegeben ist ein Dreieck mit den Punkten und . Berechne den Umfang des Dreiecks.

14,123
11,256
15,123
13,894


Aufgabe 9 - Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren


Aufgabe 10: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation

Wir definieren zwei für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die bezeichnet das bilden der zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele haben. Man bildet die Summe, indem man die der Vektoren addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „“ von zwei von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir und Vektoren. Wir deuten diese als und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der von und die „“ von übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der bekannt. Dort werden oftmals und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren a+b als der durch und dargestellten gesehen werden kann.

Das Bilden des eines Vektors wird auch als bezeichnet. Wir nennen unseren wieder und das bezeichnen wir mit . Von jedem Vektor kann das gebildet werden, indem von werden. Ist so wird der „Pfeil“ von um den Faktor aufgeblasen () oder geschrumpft (). Ist , so erhält der Pfeil, der um den Faktor aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine und wird zum .

Wir nennen zwei Vektoren (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein ist. Mit anderen Worten: Wenn und zwei Vektoren sind, so sind sie zueinander, falls ein existiert, sodass gilt: . Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in zeigen oder nicht.

Kräftemit multipliziertkollinearHintereinander-AusführenPfeileSkalarAnfangVektorMultiplikation mit einem SkalarStreckenSkalar Gegenvektorfalls falls RichtungsumkehrungSummeRichtungenAneinanderlegenunterschiedlicheRechenoperationenVektoradditionVielfachenSpitzeverschiedeneKomponentenVerschiebungenEinträgekomponentenweiseVielfaches des anderenparallel/kollinearPhysik -Fachealle Komponenten

 


Aufgabe 11 - Für die ganz Schnellen eine Knobelaufgabe: Besondere Vierecke

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , und gegeben.

a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?

rechtwinkliges Dreieck
gleichseitiges Dreieck
gleichschenkliges Dreieck


b) Sei nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss haben, damit gemeinsam mit , und die Eckpunkte einer Raute bildet?

c) wir betrachten nun wieder das Dreieck . Ein neuer Punkt solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu ? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!