Laplace Aufgaben/Larissa

Laplace-Experimente

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Experiment. 

Bei n Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment für jedes Ergebnis 1/n.

Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit von mehreren Ergebnissen ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlichkeit von jedem einzelnen Ergebnis.

Aufgabe 1: Kartenspiel

Bei einem Skatkartenspiel gibt es 12 Bildkarten. Es gibt 4 Buben, 4 Damen und 4 Könige. Karo und Herz werden auch „rote Karten“ genannt und Pik und Kreuz auch „schwarze Karten“. Berechne nun die Wahrscheinlichkeit, mit der du die angegebene Karte aus den 32 Spielkarten ziehst.

a) Dame

a) Die Gesamtmenge der Karten beträgt 32. Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Karte beträgt also 1/32. (Laplace)

E = Eine Dame wird gezogen

Für das Ereignis eine Dame zu ziehen gibt es insgesamt 4 Karten. Also 4 mögliche Ergebnisse, dessen Wahrscheinlichkeiten nach der Summenregel addiert werden können.

P(E) = 1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 = 4 * 1/32 = 4/32 = 1/8

b) Kreuz-Karte

Es gibt insgesamt 8 Kreuz-Karten.

b) E = Eine Kreuzkarte wird gezogen

Es gibt insgesamt 8 Kreuz-Karten.

Also gilt mit der Summenregel: P(E) = 1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 = 8*1/32 = 8/32 = ¼

c) Schwarze Karte

Es gibt insgesamt 16 schwarze Karten.

c) E = Eine schwarze Karte wird gezogen.

Es gibt 8 Pik und 8 Kreuz-Karten, also insgesamt 16 schwarze Karten.

Also gilt mit der Summenregel: P(E) = 16*1/32 = 16/32 = ½

Aufgabe 2: Scrabble

Bei einem Spieleabend wird Scrabble gespielt. Sieh dir die beiden bereits gelegten Wörter an. Die dafür verwendeten Steine werden in einen leeren Sack gelegt. Gehe davon aus, dass die Spielsteine alle dieselbe Größe und Beschaffenheit haben.

Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit folgende Steine zu ziehen?

a) Es wird ein D gezogen.

Es gibt insgesamt 13 Spielsteine.

a) Insgesamt gibt es 13 Spielsteine. Aufgrund der übereinstimmenden Größe und Beschaffenheit der Steine, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Spielstein gleich und beträgt 1/13. Aus diesem Grund handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Laplace Experiment.

E = Es wird ein D gezogen.

Da unter den Steinen nur einmal der Buchstabe D vorhanden ist gilt: P(E) = 1/13.

b) Es wird ein N gezogen.

b) E = Es wird ein N gezogen.

Es gibt zwei Spielsteine mit dem Buchstaben N, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/13 gezogen werden.

Wegen der Summenregel für Laplace-Experimente können die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Ergebnisse bzw. Spielsteine für das Ereignis addiert werden.

Es gilt also: P(E) = 1/13 + 1/13 = 2/13

c) Es wird ein O gezogen.

c) E = Es wird ein O gezogen.

Es gibt insgesamt 3 Spielsteine mit dem Buchstaben N, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/13 gezogen werden. Wegen der Summenregel für Laplace-Experimente können die Wahrscheinlichkeiten der drei möglichen Ergebnisse bzw. Spielsteine für das Ereignis addiert werden.

Es gilt also: P(E) = 1/13 + 1/13 + 1/13 = 3/13

d) Es wird ein Vokal gezogen.

Die Vokale im Deutschen werden durch die Buchstaben a, e, i, o, u und durch die Umlaute ä, ö und ü gebildet.

d) E = Es wird ein Vokal gezogen.

Insgesamt gibt es einen Spielstein mit A und drei mit einem O. Die restlichen Vokale sind nicht vorhanden.

Somit folgt mit der Summenregel: P(E) = 1/13 + 3/13 = 4/13

Aufgabe 3: Würfeln

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass…

a) …die Differenz der Augenzahlen gleich drei ist

b) …ein Pasch gewürfelt wird

c) …die Summe der Augenzahlen eine Primzahl ist