Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Zweistufige Zufallsexperimente: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Übung 5|Löse Buch S. 47 Nr. 7 und 8.|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Ein Dodekaeder ist ein Würfel mit 12 Flächen, also mit den Ziffern 1 bis 12. Die zwei Stufen des Baumdiagrammes sind der 1. Wurf und der 2. Wurf.<br> | |||
a) Eine Augensumme größer als 21 betrifft nur die Ergebnisse, bei denen die Würfel mindestens 10, 11 oder 12 anzeigen. Also reichen als Äste die möglichen Ausgänge 1-9, 10, 11, 12 aus. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast <math>\tfrac{9}{12}</math> und für die weiteren je <math>\tfrac{1}{12}</math>.<br> | |||
Für das Ereignis E:"eine Augensumme größer als 21 erzielen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (10,12), (11,11), (11,12), (12,10), (12,11), (12,12) mit der Produktregel.<br> | |||
Bestimme dann P(E) mit der Summenregel.|2=Tipp zu Nr. 7a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|b) Für das Ereignis E:"bei höstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" ist für die Ausgänge des Würfelns nur wichtig, ob die Zahl eine 1, eine 12 oder eine 2-11 ist. Also reichen als Äste diese möglichen Ausgänge. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast <math>\tfrac{1}{12}</math> und für den zweiten Ast ebenfalls <math>\tfrac{1}{12}</math> und für den letzen Ast (2-11) <math>\tfrac{10}{12}</math>.<br> | |||
Für das Ereignis E:"bei höchstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (1) (2-11,1), (2-11,12), (12) mit der Produktregel.<br> | |||
Bestimme dann P(E) mit der Summenregel.|2=Tipp zu Nr. 7b|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Für das Ereignis E:"jedes Mal eine durch 10 teilbare Zahl zu erhalten" sind die Äste mit den Ausgängen "durch 10 teilbare Zahl" und "nicht durch 10 teilbare Zahl" nötig. Der erste Ast hat dann die Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{3}{30}</math> = <math>\tfrac{1}{10}</math>, denn von den Zahlen von 1 bis 30 sind die 10,20 und 30 durch 10 teilbare Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Astes beträgt dann <math>\tfrac{27}{30}</math> = <math>\tfrac{9}{10}</math>.|2=Tipp zu 8a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Für das Ereignis E:"eine Summe kleiner als 5 zu erzielen" sind die Ausgänge 1, 2, 3 und 4-30 wichtig. Die Ergebnisse (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1) sind dann die günstigen Ergebnisse für das Ereignis.|2=Tipp zu 8b|3=Verbergen}} | |||
===3.3 Ziehen mit und ohne Zurücklegen=== | ===3.3 Ziehen mit und ohne Zurücklegen=== | ||
Version vom 17. Oktober 2020, 12:33 Uhr
Die Darstellung, die im Video verwendet wird, heißt Baumdiagramm.
3.1 Wie zeichne ich ein Baumdiagramm?
Ein Baumdiagramm besteht aus einer verschiedenen Anzahl von Pfaden (Ästen) und Stufen. Zweistufige Zufallsexperimente bestehen immer aus zwei Stufen, mehrstufige Zufallsexperimente aus mehreren Stufen. Bevor du ein Baumdiagramm zeichnest, überlege genau, welche Bedeutung die Stufen im Experiment haben und welche Bedeutung die Pfade (Äste).
Du kannst es von links nach rechts zeichnen oder von oben nach unten.
Du beginnst jedes Baumdiagramm mit dem Zeichnen von Pfaden (Ästen).
1. Zeichne die Pfade (Äste). (Achte darauf, dass die Aste auf einer Linie enden.) Wie viele Äste du zeichnen musst, hängt davon ab, wie viele mögliche Ausgänge es in dieser Stufe gibt. Hier hast du 3 mögliche Ergebnisse: eine rote, blaue oder gelbe Kugel ziehen.
2. Ergänze die möglichen Ausgänge.
Hier entspricht also die 1. Stufe des Baumdiagramms dem 1. Ziehen einer Kugel.
3. Schreibe die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an die Pfade (Äste).
4. Nun wiederholst du das Vorgehen für die 2. Stufe, den 2. Ziehen einer Kugel. Zeichne an jeden Ausgang der 1. Stufe erneut Pfade (Äste) mit den möglichen Ausgängen und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
3.2 Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten (mithilfe eines Baumdiagramms)?
Um zu einem möglichen Ergebnis zu gelangen, musst du einen bestimmten Pfad des Baumdiagrammes gehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.
Beispiel:
P(r,b) = ∙ = = 0,15 = 15%
P(b,r) = ∙ = = 0,15 = 15%
Nun betrachten wir nicht mehr nur einzelne Ergebnisse sondern berechnen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.
Ein Ereignis setzt sich aus mehreren günstigen Ergebnissen zusammen.
Beispiel:
Das Ereignis E: "Eine rote und eine blaue Kugel wird gezogen" setzt sich aus den Ergebnissen (r,b) und (b,r) zusammen.
Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (geordnete Paare) addiert.
Beispiel:
E: "Eine rote und eine blaue Kugel wird gezogen"
P(E) = P(r,b) + P(b,r)
= +
= = 0,3 = 30%
Nun berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E1) = P(r,g) + P(g,r) mithilfe der Summenregel.
Nun berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E2) = P(r,r) + P(b,r) + P(g,r) mithilfe der Summenregel.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 7 blaue und 3 rote Kugeln. Nacheinander wird zweimal eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kugel dann wieder zurückgelegt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen.
Gehe zur Lösung der Aufgabe schrittweise vor, wie oben beschrieben.
2. Schritt:
Das Ereignis E: "eine rote und eine blaue Kugel ziehen" setzt sich zusammen aus den einzelnen Ergebnissen (r,b) und (b,r).
P(r,b) = ∙ = = 0,21 = 21%
3. Schritt:
P(E) = P(r,b) + P(b,r)
=+
"zweimal hintereinander Rot" ist das Ergebnis (r,r), wende die Produktregel an.
"erst Rot, dann Blau" ist das Ergebnis (r,b), wende die Produktregel an
Die zweite Stufe ist der Zug eines Buchstabens aus dem Gefäß mit den Konsonanten, also sind dies auch jeweils die möglichen Ausgänge (Pfade). Die Wahrscheinlichkeit, z.B. den Konsonaten "h" zu ziehen, beträgt = , da es 2 Karten mit dem Buchstaben "h" gibt von 8 Karten insgesamt.
Die Aufgabenteile a, b und c beziehen sich auf die Ergebnisse a) (r,b), b) (b,r) und c) (r,r). Berechne die Wahrscheinlichkeiten also mit der Produktregel.
In Aufgabenteil d) lautet das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (r,b), (r,ge), (r,r) und (r,gr) günstige Ergebnisse. Wende also zunächst die Produkt- und dann die Summenregel an.
Für Schnelldenker: Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten einer Verzweigung beträgt immer 1 (denn es wird ja sicher eine Kugel der Farbe blau, gelb, rot oder grün gezogen). Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot" gleich P(r).
In Aufgabenteil e) lautet das Ereignis E:"Die zweite Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (b,r), (ge,r), (r,r) und (gr,r) günstige Ergebnisse. Vergleiche mit Aufgabenteil d).
Die zwei Stufen des Baumdiagramms sind der erste und zweite Wurf des Würfels, die Pfade (Äste) sind jeweils die Zahlen 1, 2, 3 und 4.
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses P(S,S) mit der Produktregel.
Um die Häufigkeit dieses Ergebnisses bei 100000 Test zu berechnen, multipliziere die Wahrscheinlichkeit mit 100000.
Die 2. Stufe des Baumdiagramms ist dann der Zug einer Kugel. Die Pfade (Äste) führen also zu den Ausgängen schwarz oder weiß. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Äste sind unterschiedlich, je nach Farbverteilung im jeweiligen Behälter.
Berechne dann P(W,W,W) mit der Produktregel.
Verkürzte Baumdiagramme
Ein Dodekaeder ist ein Würfel mit 12 Flächen, also mit den Ziffern 1 bis 12. Die zwei Stufen des Baumdiagrammes sind der 1. Wurf und der 2. Wurf.
a) Eine Augensumme größer als 21 betrifft nur die Ergebnisse, bei denen die Würfel mindestens 10, 11 oder 12 anzeigen. Also reichen als Äste die möglichen Ausgänge 1-9, 10, 11, 12 aus. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast und für die weiteren je .
Für das Ereignis E:"eine Augensumme größer als 21 erzielen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (10,12), (11,11), (11,12), (12,10), (12,11), (12,12) mit der Produktregel.
b) Für das Ereignis E:"bei höstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" ist für die Ausgänge des Würfelns nur wichtig, ob die Zahl eine 1, eine 12 oder eine 2-11 ist. Also reichen als Äste diese möglichen Ausgänge. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann für den ersten Ast und für den zweiten Ast ebenfalls und für den letzen Ast (2-11) .
Für das Ereignis E:"bei höchstens zwei Versuchen einmal eine 1 oder 12 werfen" berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (1) (2-11,1), (2-11,12), (12) mit der Produktregel.
3.3 Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Lösung:
Lösung:
Im Aufgabenteil d) geht es um das Ereignis E:"zweite Mannschaft nicht aus Europa". Günstige Ergebnisse sind hier also (Am,...) (also (Am, Am), (Am,Af), (Am,Eu), (Am,As)), (Af,...) (also (Af,Am),(Af,Af), (Af, Eu), (Af,As)) und (As,...) (also (As,Am), (As,Af), (As,Eu), (As,As)).
Hier kannst du also kurz mit der Summmenregel rechnen:
Du kannst die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E auch mithilfe des Gegenereignisses bestimmen: :"eine Mannschaft aus Europa". Hier sind die günstigen Ergebnisse (Am,Eu), (Af,Eu), (Eu), (As,Eu).
P(E) = 1 - P() = ...=
Die zwei Stufen des Experimentes sind das zweimalige Ziehen ohne Zurücklegen. Die Pfade (Äste) je Stufe führen zu den möglichen Ausgängen 0 bis 9. Da hier nur nach zwei bestimmten Ergebnissen (2,1) und (2,2) gefragt ist, reicht es aus, ein verkürztes Baumdiagramm zu zeichnen.
