Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Zweistufige Zufallsexperimente: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Übung 3|Löse Buch S. 38 Nr. 1, 2, 3 und 4|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|Die zwei Stufen des Experimentes sind die zwei Drehungen des Glückrades. Die Pfade (Äste) sind die möglichen Ausgänge, die verschiedenen Farben.|Tipp zu Nr. 1a|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|"zweimal hintereinander Rot" ist das Ergebnis (r,r), wende die Produktregel an.<br> | |||
"erst Rot, dann Blau" ist das Ergebnis (r,b), wende die Produktregel an<br> | |||
das Ereignis "einmal Rot, einmal Blau" setzt sich zusammen aus den Ergebnissen (r,b) und (b,r), wende zuerst die Produktregel und dann die Summenregel an.|Tipp zu Nr. 1b|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Zeichne ein Baumdiagramm. Die erste Stufe ist der Zug eines Buchstabens aus dem Gefäß mit Vokalen. Dies sind dementsprechend die möglichen Ausgänge a, i ,u und o (Pfade). Die Wahrscheinlichkeit, z.B. den Vokal "a" zu ziehen, beträgt <math>\tfrac{4}{8}</math> = <math>\tfrac{1}{2}</math>, da es 4 Karten mit dem Buchstaben "a" gibt von 8 Karten insgesamt.<br> Die zweite Stufe ist der Zug eines Buchstabens aus dem Gefäß mit den Konsonanten, also sind dies auch jeweils die möglichen Ausgänge (Pfade). Die Wahrscheinlichkeit, z.B. den Konsonaten "h" zu ziehen, beträgt <math>\tfrac{2}{8}</math> = <math>\tfrac{1}{4}</math>, da es 2 Karten mit dem Buchstaben "h" gibt von 8 Karten insgesamt.|2=Tipp zu Nr. 2 (Baumdiagramm)|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind immer Wahrscheinlichkeiten von einzelnen Ergebnissen, wende also jeweils die Produktregel an.<br>zu g) (a,u) ist ein unmögliches Ereignis, da zwei Vokale gezogen werden sollen, aber im zweiten Gefäß nur Konsonanten enthalten sind. Daher gilt P(a,u) = 0.<br>zu h) (i,f) ist ebensfalls ein unmögliches Ereignis, da im zweiten Gefäß der Buchstabe "f" nicht enthalten ist.|Tipp zu Nr. 2 (Wahrscheinlichkeiten)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Das Baumdiagramm hat als Stufen den ersten und zweiten Zug einer Kugel. Die einzelnen Pfade (Äste) sind die Farben blau, gelb, rot und grün. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade ergeben sich aus der Farbverteilung. Da die Kugeln wieder zurückgelegt werden, bleiben beim zweiten Zug die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Pfade gleich.|Tipp zu Nr. 3 (Baumdiagramm)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Die Aufgabenteile a, b und c beziehen sich auf die Ergebnisse a) (r,b), b) (b,r) und c) (r,r). Berechne die Wahrscheinlichkeiten also mit der Produktregel.<br> | |||
In Aufgabenteil d) lautet das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (r,b), (r,ge), (r,r) und (r,gr) günstige Ergebnisse. Wende also zunächst die Produkt- und dann die Summenregel an.<br>Für Schnelldenker: Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten einer Verzweigung beträgt immer 1 (denn es wird ja sicher eine Kugel der Farbe blau, gelb, rot oder grün gezogen). Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot" gleich P(r).<br> | |||
In Aufgabenteil e) lautet das Ereignis E:"Die zweite Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (b,r), (ge,r), (r,r) und (gr,r) günstige Ergebnisse. Vergleiche mit Aufgabenteil d).<br> | |||
In Aufgabenteil f) lautet das Ereignis E:"Keine Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (b,b), (b,ge), (b,gr), (ge,b), (ge,ge), (ge,gr), (gr,b), (gr,ge), (gr,gr) günstige Ergebnisse. Wende also zunächst die Produkt- und dann die Summenregel an.|Tipp zu Nr. 3 (Wahrscheinlichkeiten)|Verbergen}} | |||
Verkürzte Baumdiagramme | Verkürzte Baumdiagramme | ||
Version vom 17. Oktober 2020, 08:00 Uhr
Die Darstellung, die im Video verwendet wird, heißt Baumdiagramm.
3.1 Wie zeichne ich ein Baumdiagramm?
Ein Baumdiagramm besteht aus einer verschiedenen Anzahl von Pfaden (Ästen) und Stufen. Zweistufige Zufallsexperimente bestehen immer aus zwei Stufen, mehrstufige Zufallsexperimente aus mehreren Stufen. Bevor du ein Baumdiagramm zeichnest, überlege genau, welche Bedeutung die Stufen im Experiment haben und welche Bedeutung die Pfade (Äste).
Du kannst es von links nach rechts zeichnen oder von oben nach unten.
Du beginnst jedes Baumdiagramm mit dem Zeichnen von Pfaden (Ästen).
1. Zeichne die Pfade (Äste). (Achte darauf, dass die Aste auf einer Linie enden.) Wie viele Äste du zeichnen musst, hängt davon ab, wie viele mögliche Ausgänge es in dieser Stufe gibt. Hier hast du 3 mögliche Ergebnisse: eine rote, blaue oder gelbe Kugel ziehen.
2. Ergänze die möglichen Ausgänge.
Hier entspricht also die 1. Stufe des Baumdiagramms dem 1. Ziehen einer Kugel.
3. Schreibe die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an die Pfade (Äste).
4. Nun wiederholst du das Vorgehen für die 2. Stufe, den 2. Ziehen einer Kugel. Zeichne an jeden Ausgang der 1. Stufe erneut Pfade (Äste) mit den möglichen Ausgängen und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
3.2 Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten (mithilfe eines Baumdiagramms)?
Um zu einem möglichen Ergebnis zu gelangen, musst du einen bestimmten Pfad des Baumdiagrammes gehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.
Beispiel:
P(r,b) = ∙ = = 0,15 = 15%
P(b,r) = ∙ = = 0,15 = 15%
Nun betrachten wir nicht mehr nur einzelne Ergebnisse sondern berechnen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.
Ein Ereignis setzt sich aus mehreren günstigen Ergebnissen zusammen.
Beispiel:
Das Ereignis E: "Eine rote und eine blaue Kugel wird gezogen" setzt sich aus den Ergebnissen (r,b) und (b,r) zusammen.
Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse (geordnete Paare) addiert.
Beispiel:
E: "Eine rote und eine blaue Kugel wird gezogen"
P(E) = P(r,b) + P(b,r)
= +
= = 0,3 = 30%
Nun berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E1) = P(r,g) + P(g,r) mithilfe der Summenregel.
Nun berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(E2) = P(r,r) + P(b,r) + P(g,r) mithilfe der Summenregel.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 7 blaue und 3 rote Kugeln. Nacheinander wird zweimal eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kugel dann wieder zurückgelegt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen.
Gehe zur Lösung der Aufgabe schrittweise vor, wie oben beschrieben.
2. Schritt:
Das Ereignis E: "eine rote und eine blaue Kugel ziehen" setzt sich zusammen aus den einzelnen Ergebnissen (r,b) und (b,r).
P(r,b) = ∙ = = 0,21 = 21%
3. Schritt:
P(E) = P(r,b) + P(b,r)
=+
"zweimal hintereinander Rot" ist das Ergebnis (r,r), wende die Produktregel an.
"erst Rot, dann Blau" ist das Ergebnis (r,b), wende die Produktregel an
Die zweite Stufe ist der Zug eines Buchstabens aus dem Gefäß mit den Konsonanten, also sind dies auch jeweils die möglichen Ausgänge (Pfade). Die Wahrscheinlichkeit, z.B. den Konsonaten "h" zu ziehen, beträgt = , da es 2 Karten mit dem Buchstaben "h" gibt von 8 Karten insgesamt.
Die Aufgabenteile a, b und c beziehen sich auf die Ergebnisse a) (r,b), b) (b,r) und c) (r,r). Berechne die Wahrscheinlichkeiten also mit der Produktregel.
In Aufgabenteil d) lautet das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (r,b), (r,ge), (r,r) und (r,gr) günstige Ergebnisse. Wende also zunächst die Produkt- und dann die Summenregel an.
Für Schnelldenker: Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten einer Verzweigung beträgt immer 1 (denn es wird ja sicher eine Kugel der Farbe blau, gelb, rot oder grün gezogen). Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E:"Die erste Kugel ist rot" gleich P(r).
In Aufgabenteil e) lautet das Ereignis E:"Die zweite Kugel ist rot." Hier sind also die Ergebnisse (b,r), (ge,r), (r,r) und (gr,r) günstige Ergebnisse. Vergleiche mit Aufgabenteil d).
Verkürzte Baumdiagramme
3.3 Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Lösung:
Lösung:
