Buss-Haskert/Ähnlichkeit und Strahlensätze

Vorwissen zum Thema Ähnlichkeit

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Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!

Ähnlichkeit - Beispiel aus dem Alltag

Dieses Foto ist das Original. Die nachfolgenden Fotos sind ähnlich, aber nur ein Bild zeigt eine maßstabsgetreue Vergrößerung oder Verkleinerung. Welches Bild ist maßstabsgetreu vergrößert bzw. verkleinert?Begründe deine Antwort!

Das nachfolgende GeoGebra-Applet zeigt zwei Dreiecke, die im geometrischen Sinn ähnlich sind. Bewege die Punkte B und C und beobachte die Größe der Innenwinkel.

Kreuze die richtige Aussage an. (!Wenn man den Punkt C verschiebt, ändern sich nur beim rechten Dreieck die Winkel.) (!Ähnliche Dreiecke haben immer parallele Seiten) (Die Winkel in beiden Dreiecken sind immer gleich groß.) (!Genau ein Winkel in beiden Dreiecken ist gleich groß.)

Und nun untersuche die Seitenlängen der Dreiecke:

1) Vergrößern und Verkleinern

Ein Zeichengerät zum Vergrößern bzw. Verkleinern von Figuren ist der Pantograph. Er wurde früher zum Verkleinern oder Vergrößern von Plänen oder Karten genutzt. Im nachfolgenden Applet kannst du dieses Gerät ausprobieren.

Klicke in das Feld 1 und wähle "Spur ein". Dann ziehe am blauen Punkt. Was passiert?

Kannst du mit dem Feld 2 herausfinden, mit welchem Faktor vergrößert wird?

Das folgende Geogebra-Applet zeigt den Buchstaben T. Verändere die Größe des rechten Buchstaben mithilfe des Schiebereglers.

Welche Bedeutung hat der Schieberegler?

Vergrößern und Verkleinern

Ziehe die richtigen Lösungen in die Lücken und schreibe dann den Merksatz in dein Heft ab.

Beim Vergrößern oder Verkleinern einer Figur werden alle Streckenlängen mit demselben Faktor k multipliziert. Dabei ist k immer eine positive Zahl.

Für k > 1 wird die Figur vergrößert.

Für k < 1 wird die Figur verkleinert.

Für die Streckenlängen gilt a' = k∙a, also gilt k = ${\operatorname{a'}\over\operatorname{a}\!}$.

Übung 1: Vergrößern und Verkleinern

Zeichne die Buchstaben H oder L in dein Heft, vergrößere und verkleinere das Original und gib den  Faktor k an.

Schau ins Buch S. 92 oben, dort findest du Beispiele für den Buchstaben L.

Übung 2: Rechtecke vergrößern und verkleinern

Lies im Buch S. 92 unten Beispiel a). Bearbeite danach S. 93 Nr. 1, 2, 3 und 4.

Link GeoGebra-Applet https://www.geogebra.org/classic/rhctngwz

Seitenlänge des Originals: a=7cm Seitenlänge des vergrößerten Bildes: a=10,5cm Erinnerung: k = ${\operatorname{a'}\over\operatorname{a}\!}$=..., denn a'=k∙a

Für die Breite des vergrößerten Bildes gilt: b'=k∙b=...

Erinnerung: k = ${\operatorname{a'}\over\operatorname{a}\!}$=${\operatorname{10}\over\operatorname{6}\!}$=... (Kürze!)

Für die Breite des vergrößerten Bildes gilt: b'=k∙b=...Setze k ein und berechne.

Übung 3: Vielecke vergrößern

Lies im Buch S. 93 oben Beispiel b). Bearbeite danach S. 94 Nr. 6 und 7

Übung 4: Wie ändert sich der Flächeninhalt beim Vergrößern und Verkleinern?

Bearbeite S. 94 Nr. 11. Das nachfolgende GeoGebra-Applet hilft dabei.

a) Vergrößere das Rechteck mit dem Faktor k (Schieberegler). Wie ändert sich der Flächeninhalt? Notiere in einer Tabelle, wie auf S.94 Nr. 11a) dargestellt. (Lies die Tabelle spaltenweise.)

Beim Vergrößer bzw. verkleinern eines Rechtecks ändert sich der Flächeninhalt mit dem Quadrat des Vergrößerunsfaktors k. Also A' = k²· A.

A = a · b , vergrößere/verkleinere das Rechteck mit dem Faktor k, also a'=k·a und b'=k·b, dann gilt

A’ = a’ · b’ = k·a · k·b = k² · a · b = k² · A

Übung 5: Der Kopierer

Wende dein Wissen aus Übung 4 an und löse S. 95 Nr. 18.

Nutze auch hier das GeoGebra-Applet. Stelle k=71%=0,71 und danach k=141%=1,41 ein. Wie ändert sich der Flächeninhalt?

Wenn k =71% ist, dann wird die Fläche halbiert: f = 0,5.

Wenn k=141% ist, dann wird die Fläche verdoppelt: f = 2.

Erklärung:

A'=k²∙A=0,71²∙A $\approx$0,5∙A, denn 0,71²=0,5041$\approx$0,5.

A'=k²∙A=1,41²∙A $\approx$2∙A, denn 1,41²=1,9881$\approx$2.

Tipp zu b): Bestimme zunächst den Vergrößerungsfaktor k für die Seitenlängen mit k=$\frac{a'}{a}$=a':a

29,7 : 25,8 = 1,15 = 115 %, 21 : 19 = 1,10 = 110 %.

Damit alles auf der Seite abgebildet wird, sollte der Kopierer also auf 110 % gestellt werden.

Übung 6: Wie verändert sich das Volumen beim Vergrößern und Verkleinern?

Bearbeite S.94 Nr.12. Das nachfolgende GeoGebra-Applet hilft dir dabei.

Das GeoGebra-Applet zeigt einen Quader mit a=3cm; b=2cm und c=1cm. Vergrößere die Seitenlängen mit dem Faktor k (Schieberegler). Wie verändert sich das Volumen des Quaders? Notiere V₁=6cm³; V₂ = 48cm³ = ____ ∙V₁; V₃ = ... = ____∙V₁; usw. Was fällt dir auf?

1=Vergrößert man die Kantenlängen des Quaders mit k, so vergrößert sich das Volumen des Quaders mit k³. Also V' = k³· V.

V = a · b · c , vergrößere/verkleinere die Kantenlängen mit dem Faktor k, also a'=k·a und b'=k·b, c=k·c' dann gilt

V’ = a’· b’· c’= k·a · k·b · k·c = k³ · a · b · c = k³ · V

2) Ähnliche Figuren

Schreibe den Merksatz in dein Heft:

Ähnliche Figuren

Wird eine Figur maßstäbliches vergrößert oder verkleinert, heißen die Figuren zueinander ähnlich.

Dabei müssen zwei Bedingungen gelten:

-      Alle Winkel sind gleich groß.

-      Alle Strecken müssen im gleichen Maßstab vergrößert bzw. verkleinert sein.

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Übung 1

Welche Dreiecke sind ähnlich? Öffne das GeoGebra-Applet und gib die richtige Antwort ein.

Aufgabe 2

Sucht in eurer Umgebung im geometrischen Sinn ähnliche Figuren, macht ein Foto und ladet es im Gruppenorder Mathematik hoch.

Beispiel: Ähnliche Dreiecke konstruieren

Konstruiere das Dreieck ABC mit a=4cm; b=5cm und c=6cm. Konstruiere dann das dazu ähnliche Dreieck A'B'C' mit a'=6cm.

1. Schritt: Konstruiere das Dreieck ABC mit a=4cm; b=5cm und c=6cm. Erinnerung: Kongruenzsatz SSS In der nachfolgenden App sind die Schritte zur Konstruktion dargestellt, du musst sie in die richtige Reihenfolge bringen. Übertrage danach die Konstruktion in dein Heft.

Das verlinkte GeoGebra-Datei zeigt die die Konstruktion mit den Kongruenzsatz SSS noch einmal Schritt für Schritt: https://www.geogebra.org/m/CCQrYPXZ

2. Schritt: Berechne den Vergrößerungsfaktor k und damit dann b' und c'.

k=$\tfrac{a'}{a}$=$\tfrac{6}{4}$=1,5; also gilt $\tfrac{b'}{b}$=1,5

$\tfrac{b'}{5}$=1,5

b'=1,5·5

b'=7,5 [cm];

ebenso gilt c'=1,5·c = 1,5·6 = 9[cm]

3. Schritt: Konstruiere das Dreieck A'B'C' (Konstruktion mit SSS wie oben).

Übung 3: Ähnliche Dreiecke - Berechnungen

Löse zunächst die folgende LearningApp und mit derselben ausführlichen Schreibweise S. 97 Nr. 2. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet.

Prüfe deine Lösungen zu S. 97 Nr. 2: Stelle k so ein, dass die jeweiligen Seitenlängen zur Aufgabe passen. Dann lies k und die fehlenden Seitenlängen ab.

Übung 4: Konstruktion ähnlicher Dreiecke

Löse schrittweise (wie im Beispiel oben) S. 97 Nr. 1 a), d) und S. 97 Nr. 3.

Prüfe deine Lösungen mit dem zugehörigen GeoGebra-Applet.

k=$\tfrac{a'}{a}$=$\tfrac{8}{4}$=2; also gilt

$\tfrac{b'}{b}$=2

$\tfrac{b'}{5}$=2

b'=2·5

b'=10 [cm];

ebenso gilt c'=2·c = 2·6 = 10[cm]

k=$\tfrac{b'}{b}$=$\tfrac{6}{5}$=1,2; also gilt

$\tfrac{a'}{a}$=1,2

$\tfrac{a'}{4}$=1,2

a'=1,2·4

a'=4,8 [cm];

ebenso gilt c'=1,2·c = 1,2·6 = 7,2[cm]

Prüfe deine Lösung von S. 97 Nr. 1 a,d:

Prüfe deine Lösung von S. 97 Nr. 3

Übung 5: Vermischte Übungen

Löse S. 97 Nr. 4, 5, 6, 7 und 8 im Heft.

Berechne jeweils das Verhältnis der Bildstreckenlängen zu den Originallängen. Es muss immer gleich sein, wenn die Dreiecke ähnlich sind (nämlich k). Gilt $\tfrac{a'}{a}$=$\tfrac{b'}{b}$=$\tfrac{c'}{c}$

Bestimme zunächst den Ähnlichkeitsfaktor k=$\tfrac{a'}{a}$, denn nur von diesen beiden Seiten kennst du die Bild- und Originalstreckenlänge. Dann kannst du die fehlenden Längen von b' und c durch Umstellen der Formel k=$\tfrac{b'}{b}$ nach b' und k=$\tfrac{c'}{c}$ nach c berechnen.

Umstellen der Formel nach b' k=$\tfrac{b'}{b}$ I∙b

also gilt k∙b = b' (einsetzen und ausrechen)

Umstellen der Formel c k=$\tfrac{c'}{c}$ I∙c

k∙c = c' I:k

c = $\tfrac{c'}{k}$ (einsetzen und ausrechnen)

zu a) Es gilt k=$\tfrac{2}{3}$.

zu b) Die Dreiecke sind ähnlich, also stimmen in drei Winkeln überein. Sie stimmen in zwei Seiten überein, allerdings ist die Reihenfolge der Seiten unterschiedlich (a = b’; b = c’).

Bestimme zunächst den Ähnlichkeitsfaktor k mit u und u'. Da der Umfang die Summe der Seitenlängen ist, gilt für den Ähnlichkeitsfaktor k = $\tfrac{u'}{u}$. Bestimme k (Zwischenergebnis: k=1,5). Damit kannst du nun die Längen des Dreiecks A'B'C' bestimmen.

Du kannst deine Rechnunge wieder mit GeoGebra prüfen:https://www.geogebra.org/classic/qbwddt9z

Erinnerst du dich an den Faktor, mit dem sich der Flächeninhalt bei der Vergrößerung der Seitenlängen mit der Zahl k? (Vgl. Übung 4 im Kapitel 1), scrolel noch einmal hoch.

Wenn die Seitenlängen mit dem Faktor k vergrößert werden, vergrößert sich der Flächeninhalt mit dem Faktor k². Also gilt k²=4 I$\surd$

k = 2

Die Seitenlängen werden also jeweils verdoppelt.

Mit GeoGebra kannst du deine Lösung überprüfen: https://www.geogebra.org/classic/gpghwvrm

3) Strahlensätze

In der Umwelt lassen viele Strecken sich nicht messen, wie z.B. die Höhe von Bäumen oder die Breite eines Sees. Hier hilft die Mathematik!

Wir können mithilfe von Vergleichsstrecken jeweils die Breite bzw. Höhe bestimmen. Wie genau, das lernst du in diesem Kapitel. Wir werden verschiedene Messmethoden kennen lernen, zur "Schattenmethode" sollt ihr schon jetzt Aufgaben selbst zusammenstellen (natürliche ohne sie schon zu lösen):

Aufgabensammlung Schattenmethode

Suche bei Sonnenschein ein Gebäude, einen Baum, eine Straßenlaterne, ein Windrad,... mit zugehörigem Schattenwurf und fotografiere den Gegenstand samt Schatten. Nun wird gemessen: Miss die Länge des Schattens des Gegenstandes und miss deine Körpergröße sowie die Länge deines eigenen Schattens. Das Foto samt der 3 gemessenen Längen lade im Gruppenordner Mathematik deiner Klasse hoch. Wir werden damit später berechnen, wie hoch das Gebäude, der Baum, die Laterne, das Windrad... ist. Die Aufgabe oben (Baumhöhe) und das Bild S. 103 Nr. 10 zeigen mögliche Situationen.

Nun aber zunächst zu den nötigen mathematischen Fähigkeiten, die du zur Lösung der Aufgaben benötigst.

Einstiegsbeispiel

Konstruiere die ähnlichen Dreiecke: ① a = 3cm; c = 5cm; β = 110° und ② a = 6cm; c = 10 cm; β = 110°. a) Begründe, warum die Dreiecke ähnlich sind. b) Bestimme den Streckungsfaktor k. Notiere verschiedene Möglichkeiten. c) Bilde verschiedene Streckenverhältnisse $\tfrac{a}{b}$, $\tfrac{a'}{b'}$, $\tfrac{a'}{a}$ uws.

Was fällt dir auf?

Für die Streckenverhältnisse ergeben sich immer gleiche Werte:

$\tfrac{a}{b}$=$\tfrac{3}{6,7}$ $\approx$0,45

$\tfrac{a'}{b'}$=$\tfrac{6}{13,4}$ $\approx$0,45

$\tfrac{a}{c}$=$\tfrac{3}{5}$ = 0,6

$\tfrac{a'}{c'}$=$\tfrac{6}{10}$ = 0,6

$\tfrac{b}{c}$=$\tfrac{6,7}{5}$ $\approx$ 1,3

$\tfrac{b'}{c'}$=$\tfrac{13,4}{10}$ $\approx$ 1,3

$\tfrac{a'}{a}$=$\tfrac{6}{3}= 2$ Erinnerung: Das ist der Streckungsfaktor k

$\tfrac{b'}{b}$=$\tfrac{13,4}{6,7}$ = 2

$\tfrac{c'}{c}$=$\tfrac{10}{5}$ = 2

Diese Dreiecke "schieben" wir nun übereinander.

Datei:Dreiecke Konstruktion übereinander gelegt mit Maßen.png.

Und wenn wir die Seiten jeweils mit Geraden ergänzen und die Beschriftungen anpassen, erhalten wir eine sogenannte Strahlensatzfigur. Sie besteht aus zwei Geraden, die von zwei Parallelen geschnitten werden. Es entstehen dabei unsere zwei kongruenten Dreiecke.

Der Name "Strahlensatzfigur" wird gewählt, weil die Dreiecksseiten c und b bzw. c' und b' vom Punkt S aus gesehen zwei Strahlen (mit dem Anfangspunkt S) sind. Die parallelen Geraden g und g' sind die Verlängerungen der Seiten a bzw. a'. Die Strahlensätze machen Aussagen über die Streckenverhältnisse, die du oben für die zwei ähnlichen Dreieck aufgestellt hast. Die Bezeichnungen der Strecken ist dann entsprechend der Strahlensatzfigur, also c =$\overline{SA}$ ; c' = $\overline{SA'}$ usw. Die Streckenverhältnisse des Einsteigsbeispiels gelten demnach auch hier. Dies sind die Strahlensätze.

Hefteintrag: Die Strahlensätze

Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei parallelen Geraden geschnitten, entstehen zwei zueinander ähnliche Dreiecke SAB und SA'B'. Die Seitenlängen einander entsprechender Seiten stehen im gleichen Verhältnis zueinander.

Schreibe die Strahlensätze in dein Heft und zeichne auch die Strahlensatzfiguren

Der erste Strahlensatz mach also Aussagen über die Streckenverhältnisse von Strecken auf den Strahlen, der zweite Strahlensatz über die Streckenverhältnisse von Strecken auf den parallelen Geraden und den Strahlen.

Die Streckenverhältnisse des ersten Strahlensatz heißen für unsere ähnlichen Dreiecke im Beispiel

$\tfrac{c'}{c}$=$\tfrac{b'}{b}$=k

Die Streckenverhältnisse des zweiten Strahlensatzes sind in unserem Beispiel entsprechend

$\tfrac{a'}{a}$=$\tfrac{c'}{c}$=k und $\tfrac{a'}{a}$=$\tfrac{b'}{b}$=k

Zum besseren Verständnis noch einmal links die Erklärung und rechts einige Beispiele in Videos:

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Übung 1

Formuliere die Strahlensätze in der folgenden App.

Längen mit den Strahlensätzen berechnen: Beispiele

Um Längen mit den Strahlensätzen zu berechnen, gehen wir schrittweise vor. Übertrage die Beispiele in dein Heft.

Übung 2

Bearbeite Buch S. 99 Nr. 1 und 2, S. 100 Nr. 3 und S. 100 Nr. 7 a, b, d. Notiere die Lösungsschritte ausführlich wie in den Beispielen.

Du kannst eine Ergebnisse mithilfe des GeoGebra-Applets prüfen. Stelle dazu die Längen mit den Schiebereglern passend ein.

Um die Strecke $\overline{SB'}$ einzustellen, nutze den Schieberegler für die Strecke $\overline{SB}$ (oder bei Nr. 3 auch Schieberegler für die Strecke $\overline{SA}$) und verändere diese Länge so lange, bis der passende Wert für die Länge von $\overline{SB'}$ erscheint.

Die Figur sieht teils anders aus, als die Abbildungen im Buch, entscheidend sind aber nur die Streckenverhältnisse.

Die Strahlensätze für die x-Figur

Bisher haben wir nur Strahlensatzfiguren betrachtet, bei denen beide ähnlichen Dreiecke auf einer Seite vom Punkt S lagen. Bewege die roten Punkte beim folgenden GeoGebra-Applet und erkläre, wie sich die Strahlensatzfigur ändert. Welche Strecken entsprechen sich nun?

Übung 3

Löse Buch S. 100 Nr. 4 und 7c. Kontrolliere deine Ergebnisse mit GeoGebra.