Benutzer:Nina WWU-6/lineareGleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme

Einführung

Auf dieser Seite lernst Du, wie Du Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes Beispiel zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.

Beispiel

Löse folgende Gleichung: $6x-5=37$

Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.

$x=7$

Unterschiedliche Vorgehensweisen

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren verwendest Du, um ein Gleichungssystem mit 2 Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen. 

Schaue dir folgende Gleichungen an:

a) $3x+5y=58$

b) $x+2=y$

Gleichung b) ist bereits nach der Variable y aufgelöst. Diese Fügen wir nun statt des y in die die Gleichung a) ein. Das sieht folgendermaßen aus:

$3x+5*(x+2)=58$

1. Wir vereinfachen

$3x+5x+10=58$

2. Und stellen nach x um

$8x=48$

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

$x=6$

4. Das können wir nun in eine der Gleichungen einsetzen und nach y umstellen. Gleichung b) eignet sich dafür natürlich am besten. Es gilt:

$6+2=y$ und damit folgt

$8=y$.

Wir haben die Gleichungssysteme gelöst.

Merke

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 Variablen. Dabei stellst du die eine Gleichung nach einer Variable um und setzt diese dann in die andere Gleichung ein. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du  die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht. 

Schaue dir folgende Gleichungen an:

I. $3x+5y+4z=6$

II. $2x+1y+7z=15$

III. $1x+2y+3z=5$

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}$

1. Um die x-Variable in II zu eliminieren rechnen wir II+ (-2)*III:

I. $3x+5y+4z=6$

II. $-3y+1z=5$

III. $1x+2y+3z=5$

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}$

2. Um die x-Variable in III zu eliminieren rechnen wir III*(-3)+I:

I. $3x+5y+4z=6$

II. $-3y+1z=5$

III. $-1y-5z=-9$

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}$

3. Nun soll auch die y-Variable in III eiminiert werden. Dazu rechnen wir III*(-3)+II

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

I. $3x+5y+4z=6$

II. $-3y+1z=5$

III. $16z=32$

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}$

Wir können Gleichung III nun nach z auflösen. Dann setzen wir den z-Wert in II ein und lösen nach y auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten y- und z-Wert in I ein und lösen nach x. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

$z=2$, $y=-1$, $x=1$

Merke

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als (obere oder untere) Dreiecksmatrix. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.

Aufgaben

Gleichungssysteme lösen.

Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten. 

a)

I. $7x+3y=50$

II. $18y=6$

Nutze das Einsetzungsverfahren.

$x=7$,$y=1/3$

b)

I. $3x+6y=6$

II. $-2x+12y=0$

Nutze das Einsetzungsverfahren.

Eliminiere die y-Variable in der unteren Zeile.

$x=3/2$,$y=1/4$

c)

I. $x+12y+6z=-2$

II. $-2x+7y+18z=24,5$

III. $4x+2y+24z=-31$

Nutze das Gauß-Verfahren.

Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.

Eliminiere zuerst die x-Variable in der zweiten Zeile.

Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. $\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}$.

$x=-9$,$y=7$, $z=1/6$

d)*

I. $3x+4y-5z+6v=-7,5$

II. $6x+5y-6z+5v=-7,5$

III. $9x+-4y+2z+3v=69$

IV. $2y-3z+1v=-14,5$

Nutze das Gauß-Verfahren.

Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.

Eliminiere zuerst den X-Wert in II.

Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden.

$x=3,5$,$y=-7$, $z=1$, $v=2,5$

Alles klar?

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