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| =====Das Gauß-Verfahren===== | | =====Das Gauß-Verfahren===== |
| {{Box| Das Gauß-Verfahren| Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht. Schaue dir folgende Gleichungen an: | | {{Box| Das Gauß-Verfahren| Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht. Schaue dir folgende Gleichungen an: |
| | I. <math>3x+5y+4z=6</math> |
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| Wir schreiben die Gleichungen in einer Matrix untereinander:
| | II. <math>2x+1y+7z=15</math> |
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| | III. <math>1x+2y+3z=5</math> |
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| 1. Um die x-Variable in III zu eliminieren rechnen wir | | 1. Um die x-Variable in II zu eliminieren rechnen wir II+ (-2)*III: |
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| | I. <math>3x+5y+4z=6</math> |
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| | II. <math>-3y+1z=5</math> |
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| 2. Um die x-Variable in II zu eliminieren rechnen wir
| | III. <math>1x+2y+3z=5</math> |
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| | 2. Um die x-Variable in III zu eliminieren rechnen wir III*(-3)+I: |
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| 3. Nun soll auch die y-Variable in II eiminiert werden. Dazu rechnen wir | | I. <math>3x+5y+4z=6</math> |
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| | II. <math>-3y+1z=5</math> |
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| | III. <math>-1y-5z=-9</math> |
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| | 3. Nun soll auch die y-Variable in III eiminiert werden. Dazu rechnen wir III*(-3)+II |
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| Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus: | | Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus: |
| | I. <math>3x+5y+4z=6</math> |
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| | II. <math>-3y+1z=5</math> |
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| | III. <math>16z=32</math> |
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| Wir können Gleichung III nun nach z auflösen. Dann setzen wir den z-Wert in II ein und lösen nach y auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten y- und z-Wert in I ein und lösen nach x. Wir erhalten so unsere dritte Variable. | | Wir können Gleichung III nun nach z auflösen. Dann setzen wir den z-Wert in II ein und lösen nach y auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten y- und z-Wert in I ein und lösen nach x. Wir erhalten so unsere dritte Variable. |
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| | Es folgt also: |
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| | <math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math> |
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| |Arbeitsmethode}} | | |Arbeitsmethode}} |
Lineare Gleichungssysteme
Einführung
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes Beispiel zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.
Beispiel
Löse folgende Gleichung:
Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.
Unterschiedliche Vorgehensweisen
Das Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren verwendest Du, um ein Gleichungssystem mit 2 Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.
Schaue dir folgende Gleichungen an:
a) 
b) 
Gleichung b) ist bereits nach der Variable y aufgelöst. Diese Fügen wir nun statt des y in die die Gleichung a) ein. Das sieht folgendermaßen aus:
1. Wir vereinfachen
2. Und stellen nach x um
3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich
4. Das können wir nun in eine der Gleichungen einsetzen und nach y umstellen. Gleichung b) eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:
und damit folgt
.
Wir haben die Gleichungssysteme gelöst.
Merke
Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 Variablen. Dabei stellst du die eine Gleichung nach einer Variable um und setzt diese dann in die andere Gleichung ein. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.
Das Gauß-Verfahren
Das Gauß-Verfahren
Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht. Schaue dir folgende Gleichungen an:
I. 
II. 
III. 
1. Um die x-Variable in II zu eliminieren rechnen wir II+ (-2)*III:
I.
II. 
III.
2. Um die x-Variable in III zu eliminieren rechnen wir III*(-3)+I:
I.
II.
III. 
3. Nun soll auch die y-Variable in III eiminiert werden. Dazu rechnen wir III*(-3)+II
Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:
I.
II.
III. 
Wir können Gleichung III nun nach z auflösen. Dann setzen wir den z-Wert in II ein und lösen nach y auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten y- und z-Wert in I ein und lösen nach x. Wir erhalten so unsere dritte Variable.
Es folgt also:
, 
, 
