Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1

Grundlage: Klett Lambacher Schweizer Q1 GK/LK

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Einstiegsaufgabe S. 14

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen - Einstieg

geg: g(x) = -$\tfrac{5}{3}$x + 5; Rechteck mit Eckpunkt C auf der Geraden, Eckpunkt A(0|;0), B auf der x-Achse und D auf der y-Achse.
ges: Maximaler Flächeninhalt
Nutze das Applet, um die Seitenlängen zu bestimmen, bei denen der Flächeninhalt maximal wird.
Verschiebe den Punkt P so, dass der Flächeninhalt maximal wird.

Wie könntest du rechnerisch vorgehen?

Originallink https://www.geogebra.org/m/yhxtyx27

Applet von C. Buß-Haskert

Extremwertproblem: rechnerische Lösung

gesucht: maximaler Flächeninhalt (Rechteck)
1. Hauptbedingung: Formel aufstellen: A = a·b
2. Nebenbedingung: Was haben a und b mit der gegebenen Geraden zu tun?
Der Punkt P liegt immer auf der Geraden g(x) = -$\tfrac{5}{3}$x + 5
Länge a = x
Breite b = g(x) = -$\tfrac{5}{3}$x + 5
3. Zielfunktion: Setze ein:
A (x) = a·b
    = x·g(x)
    = x·(-$\tfrac{5}{3}$x + 5)   |ausmultiplizieren
    = -$\tfrac{5}{3}$x² + 5x
Also lautet die Zielfunktion:
A(x) = -$\tfrac{5}{3}$x² + 5x
4. Bestimme das globale Maximum. Beachte den Definitionsbereich und die Randbetrachtung.
Du kannst für x die Werte von 0 bis zur Nullstelle der Funktion 3 einsetzen, also D = [0;3]. Erinnerung:
notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle: A'(x) = 0
hinreichende Bedingung A‘’(x₀) $\lessgtr$ 0
Oder mit MMS:

Randbetrachtung: A(0) = 0 und A(3) = -$\tfrac{5}{3}$3² + 5·3 = 0
Also ist der maximale Flächeninhalt bei x = 1,5 (globales MAximum).
5. Antwort: Berechne den Flächeninhalt für x=1,5:
A(1,5) = -$\tfrac{5}{3}$(1,5)² + 5·1,5 = 3,75 (dm²)

Der maximale Flächeninhalt beträgt 3,75 dm².

Extremwertproblem - minimale Oberfläche berechnen (Beispiel S. 15)

Bestimme die minimale Oberfläche eines Zylinders mit 1 Liter Volumen. (S. 17 oben)
Finde die Maße zunächst mithilfe des GeoGebra-Applets und dem Schieberegler für den Radius r heraus.

Berechne danach.

Originallink https://www.geogebra.org/m/cgntwxbh

Applet von C. Buß-Haskert

Extremwertproblem Beispiel S. 15: rechnerische Lösung

gesucht: minimale Oberfläche (Zylinder)
1. Formel aufstellen: O = 2G + M = 2πr² + 2πr·h
2. Nebenbedingung: Was hat das gegebene Volumen von 1 l mit r und h zu tun?
V = G·h
   = πr²·h |Setze V = 1 (Liter) ein.
1 = πr²·h | Stelle nach h um, also :πr²
$\tfrac{1}{πr²}$ = h
3. Zielfunktion: Setze für h ein:
O = 2πr² + 2πr·h
    = 2πr² + 2πr·$\tfrac{1}{πr²}$ | Kürze (mit π und r).
    = 2πr² + $\tfrac{2}{r}$
Also lautet die Zielfunktion:
O = 2πr² + $\tfrac{2}{r}$
Definitionsbereich: (Welche Werte darf ich für r einsetzen? Alle Zahlen größer als 0.) D = ]0;∞]
4. Bestimme das globale Minimum. Beachte den Definitionsbereich und die Randbetrachtung.
Für r dürfen alle positiven Zahlen außer die 0 eingesetzt werden, denn r steht im Nenner und durch 0 darf nicht geteilt werden! Daher muss die Klammer die 0 ausnehmen.
D = ]0;$\infty$[ Erinnerung:
notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle: O‘(x) = 0
hinreichende Bedingung O‘‘(x₀) $\lessgtr$ 0
Löse mit MMS.

5. Antwort: ...

Extremwertproblem: minimalen Umfang berechnen

Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks mit A=400 mit einem minimalen Umfang. (S. 15, Nr. 3)

Nutze zunächst das Applet unten, löse dann rechnerisch.

Origianllink https://www.geogebra.org/m/stmxskmy

Applet von C. Buß-Haskert

Lösungshinweise für die rechnerische Lösung:
1. Formel: Umfang u = 2a + 2b
2. Nebenbedingung: A = a·b |umstellen nach b
$\tfrac{A}{a}$ = b
$\tfrac{400}{a}$ = b

3. Zielfunktion: u(a) = 2a + 2b
= 2·a + 2·$\tfrac{400}{a}$

Das nachfolgende Video zeigt das Vorgehen noch einmal schrittweise an einem Beispiel:

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Hinweise zu den Aufgaben im Buch

Applet zu S. 18, Nr. 4 Originallink https://www.geogebra.org/m/mwx4bgtg

Applet von C. Buß-Haskert

Tipps zu den weiteren Aufgaben:
Applet zu Nr. 5
Originallink https://www.geogebra.org/m/pyscfzxj

1.Formel: A = a·b

2. Nebenbedingung: u = 50 (50 cm Draht, also steht der Umfang fest)

Formel: Materialbedarf = G + M = πr² + 2πrh
Nebenbedingung:
V = πr²h

10 = πr²h |umstellen nach h und dann einsetzen, um die Zielfunktion zu erhalten

Originallink https://www.geogebra.org/m/ptj2ja97

Originallink https://www.geogebra.org/m/bymgtymm

Applet zu Nr. 9
Originallink https://www.geogebra.org/m/n8eyw7yd

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 11
Originallink https://www.geogebra.org/m/zazebqc7

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 12
Originallink https://www.geogebra.org/m/dqv2dven

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 15
Originallink https://www.geogebra.org/m/v9qm9bkk

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 16
Originallink https://www.geogebra.org/m/f6mzrwvc

Applet von C. Buß-Haskert

Ganzrationale Funktionen bestimmen - Steckbriefaufgaben

Bisher war die Funktionsgleichung gegeben, du hast dann den Verlauf des Graphen untersucht (Verhalten gegen Unendlich, Nullstellen, Extrema, Wendestellen usw.). Nun arbeitest du umgekehrt. Du hast Informationen zum Verlauf des Graphen und sollst die Funktionsgleichung aufstellen:

Einstiegsaufgabe S. 20

Ganzrationale Funktionen bestimmen - Einstieg

gesucht: ganzrationale Funktion 3. Grades.
gegeben: * T(1|-3), Tiefpunkt

• schneidet die x-Achse bei x₀ = 2
• geht durch Punkt B(3|5)
  

Wie gehst du vor?

1. Stelle die allgemeine Funktionsgleichung auf mit den Parametern a, b, c, ... . Der höchste Exponent richtet sich nach dem Grad der Funktion.
hier: Funktion 3. Grades, also ist der höchste Exponent 3:
   f(x) = ax³ + bx² + cx + d.
2. Bestimme die 1. und 2. Ableitung (allgemein):
   f'(x) = 3ax² + 2bx + c
   f(x) = 6ax + b

Jede Eigenschaft des Graphen hat eine Bedingung für die Funktionsgleichung bzw. die Ableitungen. Aus diesen Bedingungen ergeben sich Gleichungen, mithilfe derer die Werte für die Parameter a, b, c usw. berechnet werden (mit dem MMS/Geogebra).
Wie viele Gleichungen musst du finden?
Du musst so viele Gleichungen finden, wie du Parameter hast, hier also 4 Gleichungen (a, b, c und d):

• Eigenschaft: T(1|-3): Der Punkt liegt auf dem Graphen, also gilt: f(1) = -3
  

Gleichung: I. a·1³ + b·1² + c·1 + d = -3 bzw. 1a + 1b + 1c + d = -3

• Eigenschaft: T(1|-3) ist ein Tiefpunkt, also gilt: f'(1) = 0 (notwendige Bedingung für Extrema)
  

Gleichung: II. 3a·1² + 2b·1 + c = 0 bzw. 3a + 2b + c = 0

• Eigenschaft: schneidet die x-Achse bei x0 = 2, also hat der Graph die Nullstelle N(2|0), es gilt: f(2) = 0
  

Gleichung: III. a·2³ + b·2² + c·2 + d = 0 bzw. 8a + 4b + 2c + d = 0

• Eigenschaft: B(3|5): Der Punkt liegt auf dem Graphen, also gilt: f(3) = 5
  

Gleichung: IV. a·3³ + b·3² + c·3 + d = 5 bzw. 27a + 9b + 3c + d = 5

3. Stelle mit den Gleichungen ein lineares Gleichungssystem auf löse es mit dem MMS/GeoGebra.
I. 1a + 1b + 1c + d = -3
II. 3a + 2b + c = 0
III. 8a + 4b + 2c + d = 0
IV. 27a + 9b + 3c + d = 5
Also a=-1, b=7, c=-11, d=2
4. Setze die Werte für a, b, ... in die Funktionsgleichung ein:
f(x) = -x³ + 7x²-11x+2
Dies ist die gesuchte Gleichung.

Originallink https://www.geogebra.org/m/v93mdqwe

Ganzrationale Funktionen bestimmen - Lösungsschritte

1. Allgemeine Funktionsgleichung f(x) aufstellen (entsprechend dem Grad der Funktion) und f'(x) und f(x) bestimmen.
2. Mithilfe der gegebenen Eigenschaften Gleichungen aufstellen. (Hier hilft die Tabelle unten!)
3. Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen (mit MMS/GeoGebra)
4. Funktionsgleichung angeben (Werte von a, b, ... einsetzen) und mit GeoGebra prüfen.

Von der Eigenschaft des Graphen zur Bedingung für die Gleichung

Eigenschaft des Graphen	Bedingung	Beispiel
Punkt P(x0|y0) ist gegeben: x0 einsetzten in f(x)	f(x0) = y0	P(3|5), f(3) = 5
Extremstelle bei x0 gegeben: Steigung ist 0, also	f'(x0) = 0 (Notwendige Bedingung für Extrema)	x0 = 1, dann gilt f'(1) = 0
Extrempunkt (Hochpunkt/Tiefpunkt) H/T(x0|y0) ist gegeben: Du kennst dann 2 Bedingungen! (Punkt und Extremstelle)	f(x0) = y0 und f'(x0) = 0	H(1|2), f(1) = 2 und f'(1) = 0
Wendestelle x0ist gegeben	f''(x0) = 0 (Notwendige Bedingung für Wendestellen)	x0 = 3, dann gilt f''(3) = 0
Wendepunkt (x0|y0) ist gegeben: Du kennst dann 2 Bedingungen! (Punkt und Wendestelle)	f(x0) = y0 und f''(x0) = 0	W(3|4), f(3) = 4 und f''(3) = 0
Der Graph ist achsensymmetrisch, also hat x nur gerade Exponenten.	Beispiel: f(x) = ax4+bx²+c
Der Graph ist punktsymmetrisch, also hat x nur ungerade Exponenten.	Beispiel: f(x) = ax³+bx
Tangenten: Der Graph hat eine waagerechte Tangente an der Stelle x0, also ist die Steigung an dieser Stelle 0 (Steigung, also 1. Ableitung!)	f'(x0) = 0	Der Graph hat eine waagerechte Tangente im Punkt P(3|4) f(3) = 4 und f'(3) = 0
Die Steigung der Tangenten an der Stelle x0 beträgt mt	f'(x0) = mt	Steigung der Tangenten an der Stelle x0=3 beträgt 6 f'(3) = 6
Die Tangentengleichung an der Stelle x0 lautet t(x) = -2x+5 Du kennst also den Wert der Steigung der Tangenten (m=-2) und damit die Steigung der Funktion an dieser Stelle.	f'(x0) = mt	Stelle x0 = 3lautet t(x) = -2x+5 f'(3) = -2
Gleichung der Wendetangenten im Punkt (x0|y0) ist gegeben: Du kennst 3 Bedingungen:	f(x0) = y0 (Punkt einsetzen) f'(x0) = mt (Steigung der Tangenten = Wert der 1. Ableitung bei x0) f''(x0) = 0 (Notwendige Bedingung für Wendestellen)	Gleichung der Wendetangenten im Punkt (1|-1) ist t(x) = -2x+4 f(1) = -1 (Punkt einsetzen) f'(1) = -2 (mt=-2) f''(1) = 0 (Notwendige Bedingung für Wendestellen)

Das nachfolgende Video zeigt das Vorgehen noch einmal schrittweise an einem Beispiel:

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Umkehrfunktion

Umkehrbarkeit prüfen

Lies die Informationen auf der Seite Umkehrfunktion - lernen mit Serlo!.

Potenzfunktionen ableiten

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Funktionsscharen

S. 24, Nr. 5

Zeichne den Graphen der Funktionsschar (t>0) mit GeoGebra:
  _t(x) = x³ - 3tx² + 3t - 6;
Originallink https://www.geogebra.org/classic/skcmkdmj

a) Alle Graphen der Schar verlaufen durch den Punkt P(-1|-7), denn
f_t(-1) = -7, unabhängig von t:
-7 = (-1)³ - 3t(-1)² + 3t - 6
-7 = -1 - 3t + 3t - 6
-7 = -1 - 6
-7 = -7 (w), also liegt der Punkt P(-1|-7) auf allen Scharen.

b) Art und Lage der Extremstellen (in Abhängigkeit von t):
f_t(x) = x³ - 3tx² + 3t - 6
f'_t(x) = 3x² - 6tx
f"_t(x) = 6x - 6t

Notwendige Bedingung für Extrema: f'_t(x) = 0
3x² - 6tx = 0
x(3x - 6t) = 0   |Satz vom Nullprodukt
x = 0 und 3x - 6t = 0  |-6t
x = 0 und 3x = 6t  |:3
x₁ = 0 und x₂ = 2t
Hinreichende Bedingung für Extremstellen: f"_t(x) $\gtrless$ 0
f"_t(0) = 6·0 - 6t = -6t < 0 (da t>0), also HP
f"_t(2t) = 6·2t - 6t = 6t > 0 (da t>0), also TP

c) t=2; f₂(x) = x³ - 3·2·x² + 3·2 - 6 = x³ - 6x²
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Hoch-und Tiefpunkt:
Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt): x = 0
f₂(0) = 0³ - 6·0² = 0   also P(0|0)
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstellen, y = 0): f₂(x) = 0
f₂(x) = 0
x³ - 6x²= 0
x² (x - 6) = 0   |Satz vom Nullprodukt
x² = 0; x - 6 = 0
x = 0; x = 6   N₁(0|0); N₂(6|0)

Hoch- und Tiefpunkt (aus Teil b)): x₁ = 0 und x₂ = 2t = 2·2 = 4
f₂(0) = 0³ - 6·0² = 0   H(0|0)
f₂(4) = 4³ - 6·4² = 64 - 96 = -32  T(4|-32)

Um den Graphen zu skizzieren, trage die berechneten Punkte in eine Koordinatensystem ein und skizziere.

S. 24, Nr. 6
g_k(x) = $\tfrac{1}{12}x^3 - \tfrac{k}{4}x^2 + \tfrac{k^2+2}{4}x - \tfrac{1}{4}$
Originallink https://www.geogebra.org/m/v8nnujk8

a) Alle Graphen haben genau eine Wendestelle:
g_k(x) = $\tfrac{1}{12}x^3 - \tfrac{k}{4}x^2 + \tfrac{k^2+2}{4}x - \tfrac{1}{4}$
g'_k(x) = $\tfrac{1}{4}x^2 - \tfrac{k}{2}x + \tfrac{k^2+2}{4}$
g"_k(x) = $\tfrac{1}{2}x - \tfrac{k}{2}$
g"'_k(x) = $\tfrac{1}{2}$

Notwendige Bedingung für Wendestellen: g"_k(x) = 0
g"_k(x) = 0
$\tfrac{1}{2}x - \tfrac{k}{2}$ = 0   |+$\tfrac{k}{2}$
$\tfrac{1}{2}x = \tfrac{k}{2}$   |·2
x = k
Hinreichende Bedingung für Wendestellen:
g"'_k(k) = $\tfrac{1}{2}$ ≠ 0
Alle Graphen haben eine Wendestelle bei x = k.

b) Die Wendetangenten aller Graphen der Schar verlaufen parallel:
Die Wendetangenten verlaufen parallel, wenn sie immer dieselbe Steigung haben!
Die Steigung wird angegeben durch die 1. Ableitung g'_k(x) = $\tfrac{1}{4}x^2 - \tfrac{k}{2}x + \tfrac{k^2+2}{4}$
Berechne die Steigung an der Wendestelle x = k:
g'_k(k) = $\tfrac{1}{4}k^2 - \tfrac{k}{2}k + \tfrac{k^2+2}{4}$
   = $\tfrac{1}{4}k^2 - \tfrac{2k^2}{4} + \tfrac{k^2+2}{4}$
   = $\tfrac{1}{2}$
Die Wendetangente hat immer die Steigung m = 0,5, daher verlaufen alle Wendetangenten parallel.