Gymnasium Philippinum Marburg/EinstiegDifferentialrechnung

Lernpfad

Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist.

Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.

Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie mittlere und momentane Änderungsrate, Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient und Ableitung kennen.

Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt.

Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.

Abgeänderte Version des Lernpfads https://unterrichten.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Differentialrechnung

Einstiegsaufgabe - Barringer-Krater

Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.

Barrington-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion $k(x)=0,002x^2$ für $0 \leq x \leq 300$ beschrieben werden.

Aufgabe 1

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?

Wird eine Steigung, wie z.B. bei einem Verkehrschild, angegeben, so bezieht sich die Prozentangabe auf eine Höhenänderung im Verhältnis zur horizontalen Entfernung. Eine Steigung von 20% bedeutet z. B. eine Höhenänderung von 20m je 100m horizontaler Strecke.

Vorwissenstest

Vor der Bearbeitung der weiteren Aufgaben sollten Sie in einem kurzen Vorwissenstest überprüfen, ob Sie mit für die weitere Arbeit benötigten Rechnungen vertraut genug sind.

1a) Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x+1. Welchen Wert hat f(3)?

Antwortmöglichkeiten: f(3)=1, f(3)=3, f(3)=5, f(3)=7, f(3)=9

f(3)=7

1b) Die Rechenvorschrift $t(v) = \frac{100}{v}$ gibt an, wie viele Stunden t man für 100 km bei einer bestimmten Geschwindigkeit v (in km/h) benötigt. Welchen Wert hat t(50)?

Antwortmöglichkeiten: t(50)=2, t(50)=1, t(50)=3, t(50)=4, t(50)=50, t(50)=100

t(50)=2

1c) Für die Rechenvorschrift aus 1b gilt: t(25) = 4. Was bedeutet das?

Antwortmöglichkeiten:

Für 100 km benötigt man 4 Stunden bei 25 km/h

Für 25 Kilometer benötigt man 1/4 Stunde bei 100 km/h

Für 4 Kilometer benötigt man 25 Sekunden bei 100 km/h

Für 100 km benötigt man 4 Stunden bei 25 km/h

1d) Wenn man einen Gegenstand von z.B. einem Turm fallen lässt, kann die Fallstrecke s (in Meter) näherungsweise mit der Formel s(t) = 5t² beschrieben werden, wobei t die Fallzeit in Sekunden angibt. Um wie viel Meter fällt ein Gegenstand zwischen Sekunde 1 und 2?

Antwortmöglichkeiten: 15 Meter, 5 Meter, 10 Meter, 20 Meter, 25 Meter

15 Meter

Wenn deine Lösungsrate der obigen mindestens 75% beträgt, gehe zu den weiteren Aufgaben. Wenn du weniger als 75% richtig hast, schaue dir das folgende Video an, bearbeite die Testaufgaben erneut und finde deine Fehler in den Testaufgaben:

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