Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1

Grundlage: Klett Lambacher Schweizer Q1 GK/LK

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Einstiegsaufgabe S. 16

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen - Einstieg

geg: g(x) = -$\tfrac{5}{3}$x + 5; Rechteck mit Eckpunkt C auf der Geraden, Eckpunkt A(0 0), B auf der x-Achse und D auf der y-Achse.
ges: Maximaler Flächeninhalt
Nutze das Applet, um die Seitenlängen zu bestimmen, bei denen der Flächeninhalt maximal wird.
Verschiebe den Punkt P so, dass der Flächeninhalt maximal wird.

Wie könntest du rechnerisch vorgehen?

Originallink https://www.geogebra.org/m/yhxtyx27

Applet von C. Buß-Haskert

Extremwertproblem: rechnerische Lösung

gesucht: maximaler Flächeninhalt (Rechteck)
1. Formel aufstellen: A = a·b
2. Nebenbedingung: Was haben a und b mit der gegebenen Geraden zu tun?
Der Punkt P liegt immer auf der Geraden g(x) = -$\tfrac{5}{3}$x + 5
Länge a = x
Breite b = g(x) = -$\tfrac{5}{3}$x + 5
3. Zielfunktion: Setze ein:
A = a·b
    = x·g(X)
    = x·(-$\tfrac{5}{3}$x + 5)   |ausmultiplizieren
    = -$\tfrac{5}{3}$x² + 5x
Also lautet die Zielfunktion:
f(x) = -$\tfrac{5}{3}$x² + 5x
4. Bestimme das globale Maximum. Beachte den Definitionsbereich und die Randbetrachtung.
Erinnerung:
notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle: f'(x) = 0

hinreichende Bedingung f(x₀) $\lessgtr$ 0

Extremwertproblem - minimale Oberfläche berechnen

Bestimme die minimale Oberfläche eines Zylinders mit 1 Liter Volumen. (S. 17 oben)
Finde die Maße zunächst mithilfe des GeoGebra-Applets und dem Schieberegler für den Radius r heraus.

Berechne danach.

Originallink https://www.geogebra.org/m/cgntwxbh

Applet von C. Buß-Haskert

Extremwertproblem: minimalen Umfang berechnen

Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks mit A=400 mit einem minimalen Umfang. (S. 17, Nr. 3)

Nutze zunächst das Applet unten, löse dann rechnerisch.

Origianllink https://www.geogebra.org/m/stmxskmy

Applet von C. Buß-Haskert

Lösungshinweise für die rechnerische Lösung:
1. Formel: Umfang u = 2a + 2b

2. Nebenbedingung: A = a·b |umstellen nach b
$\tfrac{A}{a}$ = b
$\tfrac{400}{a}$ = b

3. Zielfunktion: u(a) = 2a + 2b
= 2·a + 2·$\tfrac{400}{a}$

Das nachfolgende Video zeigt das Vorgehen noch einmal schrittweise an einem Beispiel:

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Hinweise zu den Aufgaben im Buch

Applet zu S. 18, Nr. 4 Originallink https://www.geogebra.org/m/mwx4bgtg

Applet von C. Buß-Haskert

Tipps zu den weiteren Aufgaben:

1.Formel: A = a·b

2. Nebenbedingung: u = 50 (50 cm Draht, also steht der Umfang fest)

Formel: Materialbedarf = G + M = πr² + 2πrh
Nebenbedingung:
V = πr²h

10 = πr²h |umstellen nach h und dann einsetzen, um die Zielfunktion zu erhalten

Originallink https://www.geogebra.org/m/ptj2ja97

Originallink https://www.geogebra.org/m/bymgtymm

Applet zu Nr. 9
Originallink https://www.geogebra.org/m/n8eyw7yd

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 11
Originallink https://www.geogebra.org/m/zazebqc7

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 12
Originallink https://www.geogebra.org/m/dqv2dven

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 15
Originallink https://www.geogebra.org/m/v9qm9bkk

Applet von C. Buß-Haskert

Applet zu Nr. 16
Originallink https://www.geogebra.org/m/f6mzrwvc

Applet von C. Buß-Haskert

Ganzrationale Funktionen bestimmen

Bisher war die Funktionsgleichung gegeben, du hast dann den Verlauf des Graphen untersucht (Verhalten gegen Unendlich, Nullstellen, Extrema, Wendestellen usw.). Nun arbeitest du umgekehrt. Du hast Informationen zum Verlauf des Graphen und sollst die Funktionsgleichung aufstellen:

Einstiegsaufgabe S. 20

Ganzrationale Funktionen bestimmen - Einstieg

gesucht: ganzrationale Funktion 3. Grades.
gegeben: * T(1|-3), Tiefpunkt

• schneidet die x-Achse bei x0 = 2
• geht durch Punkt B(3|)
  

Wie gehst du vor?

1. Stelle die allgemeine Funktionsgleichung auf mit den Parametern a, b, c, ... . Der höchste Exponent richtet sich nach dem Grad der Funktion.
hier: Funktion 3. Grades, also ist der höchste Exponent 3:
   f(x) = ax³ + bx² + cx + d. 2. Bestimme die 1. und 2. Ableitung (allgemein):
   f'(x) = 3ax² + 2bx + c
   f(x) = 6ax + b

Jede Eigenschaft des Graphen hat eine Bedingung für die Funktionsgleichung bzw. die Ableitungen. Aus diesen Bedingungen ergeben sich Gleichungen, mithilfe derer die Werte für die Parameter a, b, c usw. berechnet werden (mit dem MMS/Geogebra).
   Wie viele Gleichungen musst du finden?
   Du musst so viele Gleichungen finden, wie du Parameter hast, hier also 4 Gleichungen (a, b, c und d).
   Die Tabelle unten hilft dir, die Gleichungen zu finden.
3. Stelle mit den Gleichungen ein lineares Gleichungssystem auf löse es mit dem MMS/GeoGebra. Also a=..., b=... usw. 4. Setze die Werte für a, b, ... in die Funktionsgleichung ein. Dies ist die gesuchte Gleichung.