Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1

Grundlage: Klett Lambacher Schweizer Q1 GK/LK

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Einstiegsaufgabe S. 16

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen - Einstieg

geg: g(x) = -$\tfrac{5}{3}$x + 5; Rechteck mit Eckpunkt C auf der Geraden, Eckpunkt A(0 0), B auf der x-Achse und D auf der y-Achse.
ges: Maximaler Flächeninhalt
Nutze das Applet, um die Seitenlängen zu bestimmen, bei denen der Flächeninhalt maximal wird.
Verschiebe den Punkt P so, dass der Flächeninhalt maximal wird.

Wie könntest du rechnerisch vorgehen?

Originallink https://www.geogebra.org/m/yhxtyx27

Applet von C. Buß-Haskert

Extremwertproblem: rechnerische Lösung

gesucht: maximaler Flächeninhalt (Rechteck)
1. Formel aufstellen: A = a·b
2. Nebenbedingung: Was haben a und b mit der gegebenen Geraden zu tun?
Der Punkt P liegt immer auf der Geraden g(x) = -$\tfrac{5}{3}$x + 5
Länge a = x
Breite b = g(x) = -$\tfrac{5}{3}$x + 5
3. Zielfunktion: Setze ein:
A = a·b
    = x·g(X)
    = x·(-$\tfrac{5}{3}$x + 5)   |ausmultiplizieren
    = -$\tfrac{5}{3}$x² + 5x
Also lautet die Zielfunktion:
f(x) = -$\tfrac{5}{3}$x² + 5x
4. Bestimme das globale Maximum. Beachte den Definitionsbereich und die Randbetrachtung.
Erinnerung:
notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle: f'(x) = 0

hinreichende Bedingung f(x₀) $\lessgtr$ 0

Extremwertproblem - minimale Oberfläche berechnen

Bestimme die minimale Oberfläche eines Zylinders mit 1 Liter Volumen. (S. 17 oben)
Finde die Maße zunächst mithilfe des GeoGebra-Applets und dem Schieberegler für den Radius r heraus.

Berechne danach.

Originallink https://www.geogebra.org/m/cgntwxbh

Applet von C. Buß-Haskert

Extremwertproblem: minimalen Umfang berechnen

Bestimme die Seitenlängen eines Rechtecks mit A=400 mit einem minimalen Umfang. (S. 17, Nr. 3)

Nutze zunächst das Applet unten, löse dann rechnerisch.

Origianllink https://www.geogebra.org/m/stmxskmy

Applet von C. Buß-Haskert

Lösungshinweise für die rechnerische Lösung:
1. Formel: Umfang u = 2a + 2b

2. Nebenbedingung: A = a·b |umstellen nach b
$\tfrac{A}{a}$ = b
$\tfrac{400}{a}$ = b

3. Zielfunktion: u(a) = 2a + 2b
= 2·a + 2·$\tfrac{400}{a}$

Applet zu S. 18, Nr. 4 Originallink https://www.geogebra.org/m/mwx4bgtg

Applet von C. Buß-Haskert

Tipps zu den weiteren Aufgaben:

1.Formel: A = a·b

2. Nebenbedingung: u = 50 (50 cm Draht, also steht der Umfang fest)

Formel: Materialbedarf = G + M = πr² + 2πrh
Nebenbedingung:
V = πr²h

10 = πr²h |umstellen nach h und dann einsetzen, um die Zielfunktion zu erhalten

Originallink https://www.geogebra.org/m/ptj2ja97