Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1: Unterschied zwischen den Versionen

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Einstiegsaufgabe S. 16<br>
Einstiegsaufgabe S. 16<br>
{{Box|1=Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen - Einstieg|2=geg: f(x) = -<math>\tfrac{5}{3}</math>x + 5; Rechteck mit Eckpunkt C auf der Geraden, Eckpunkt A(0&nbsp;0), B auf der x-Achse und D auf der y-Achse.<br>
{{Box|1=Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen - Einstieg|2=geg: g(x) = -<math>\tfrac{5}{3}</math>x + 5; Rechteck mit Eckpunkt C auf der Geraden, Eckpunkt A(0&nbsp;0), B auf der x-Achse und D auf der y-Achse.<br>
ges: Maximaler Flächeninhalt<br>
ges: Maximaler Flächeninhalt<br>
Nutze das Applet, um die Seitenlängen zu bestimmen, bei denen der Flächeninhalt maximal wird.<br>
Nutze das Applet, um die Seitenlängen zu bestimmen, bei denen der Flächeninhalt maximal wird.<br>
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<ggb_applet id="yhxtyx27" width="548" height="412" border="888888" />
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Applet von C. Buß-Haskert<br>
Applet von C. Buß-Haskert<br>
{{Box|1=Extremwertproblem: rechnerische Lösung|2=gesucht: maximaler Flächeninhalt (Rechteck)<br>
1. Formel aufstellen: A = a·b<br>
2. Nebenbedingung: Was haben a und b mit der gegebenen Geraden zu tun?<br>
Der Punkt P liegt immer auf der Geraden g(x) = -<math>\tfrac{5}{3}</math>x + 5
Länge a = x<br>
Breite b = g(x) = -<math>\tfrac{5}{3}</math>x + 5<br>
3. Zielfunktion: Setze ein:<br>
A = a·b<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = x·g(X)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = x·(-<math>\tfrac{5}{3}</math>x + 5) &nbsp;&nbsp;&#124;ausmultiplizieren<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; = -<math>\tfrac{5}{3}</math>x² + 5x<br>
Also lautet die Zielfunktion:<br>
f(x) = -<math>\tfrac{5}{3}</math>x² + 5x<br>
4. Bestimme das globale Maximum. Beachte den Definitionsbereich und die Randbetrachtung.<br>
Erinnerung:<br>
notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle: f'(x) = 0<br>
hinreichende Bedingung f''(x<sub>0</sub>) <math>\lessgtr</math> 0|Idee}}

Version vom 22. August 2025, 18:12 Uhr

Grundlage: Klett Lambacher Schweizer Q1 GK/LK

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Einstiegsaufgabe S. 16

Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen - Einstieg

geg: g(x) = -x + 5; Rechteck mit Eckpunkt C auf der Geraden, Eckpunkt A(0 0), B auf der x-Achse und D auf der y-Achse.
ges: Maximaler Flächeninhalt
Nutze das Applet, um die Seitenlängen zu bestimmen, bei denen der Flächeninhalt maximal wird.
Verschiebe den Punkt P so, dass der Flächeninhalt maximal wird.

Wie könntest du rechnerisch vorgehen?

Originallink https://www.geogebra.org/m/yhxtyx27

GeoGebra

Applet von C. Buß-Haskert


Idee

gesucht: maximaler Flächeninhalt (Rechteck)
1. Formel aufstellen: A = a·b
2. Nebenbedingung: Was haben a und b mit der gegebenen Geraden zu tun?
Der Punkt P liegt immer auf der Geraden g(x) = -x + 5 Länge a = x
Breite b = g(x) = -x + 5
3. Zielfunktion: Setze ein:
A = a·b
    = x·g(X)
    = x·(-x + 5)   |ausmultiplizieren
    = -x² + 5x
Also lautet die Zielfunktion:
f(x) = -x² + 5x
4. Bestimme das globale Maximum. Beachte den Definitionsbereich und die Randbetrachtung.
Erinnerung:
notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle: f'(x) = 0

hinreichende Bedingung f(x0) 0
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