Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

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In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben in lilaner Farbe sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Freds Herausforderung

Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

Um die Winkelgrößen zu bestimmen, fertigt er eine Zeichnung an.

Freds Zeichnung.

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Halte deine Überlegungen fest und begründe sie. Die Auflösung erhältst du nach Bearbeitung des Kapitels.

Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen

Aufgabe 1

Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

Merksätze

Merksatz Scheitelwinkel

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel Scheitelwinkel. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α $=$ β.

Merksatz Nebenwinkel

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel Nebenwinkel. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β $=$ 180°.

Merksatz Stufenwinkel

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, Stufenwinkel. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α$=$ β.

Merksatz Wechselwinkel

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man Wechselwinkel, indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel bestimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α$=$ β.

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Hinweis: Wähle eine der drei Aufgaben aus.

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

Lösung

β=120°

mögliche Begründungen:

1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.

2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

γ=60°

mögliche Begründungen:

1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.

2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

δ=120°

mögliche Begründungen:

1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.

2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.

3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

Lösung

α=70°

mögliche Begründung:

α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

β=110°

mögliche Begründungen:

1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.

2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

γ=110°

mögliche Begründungen:

1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.

2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

δ=80°

mögliche Begründung:

δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

ε=100°

mögliche Begründung:

ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.

Lösung

α=120° und β=60°

mögliche Begründung:

α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

γ=120°

mögliche Begründung:

Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.

δ=66°

mögliche Begründung:

Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

Aufgabe 3: Wer bin ich?

Aufgabe 3: Winkelarten

Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?

Tipp 1

Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.

Tipp 2

Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.

Lösung

Ich bin der Nebenwinkel.

Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?

Tipp 1

Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.

Tipp 2

Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.

Lösung

Ich bin der Scheitelwinkel.

Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?

Tipp 1

Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.

Tipp 2

Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.

Lösung

Ich bin der Wechselwinkel.

Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?

Tipp 1

Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.

Tipp 2

Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.

Lösung

Ich bin der Stufenwinkel.

Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle

Aufgabe 4.1: Winkel berechnen

Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Einstieg das Problem aus dem Sportunterricht akkurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

Lösung

α=90°

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

ε=30°

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

γ=90°

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

δ'=90°

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

τ=30°

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.

Nachdem du alle Aufgaben bis hier bereits erfolgreich gelöst hast, versuche Fred in der folgenden Aufgabe dabei zu unterstützen, seine Note zu verbessern.

Aufgabe 4.2: Berücksichtigung der Voraussetzungen

Freds Lehrerin will ihm die bessere Note noch nicht geben, da er eine wichtige Sache noch nicht berücksichtigt hat. Überlege ein weiteres Mal, ob Freds Herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen, vergleiche sie mit deinen Notizen vom Anfang und gleiche sie mit der Lösung ab.

Erster Tipp

Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.

Zweiter Tipp

Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?

Lösung

Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parallel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.

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